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文档简介
简化不等式运算的几种策略在解答不等式问题时,如果方法选择不当,那么将使解题过程冗长、繁杂,运算量大,直接影响速度与运算结果的准确。因此在解题过程中,若能充分挖掘问题潜在的特殊性,灵活地采用相应的解题策略,则可简化或避免分类讨论等一些不必要的繁杂运算,简化解题过程。本文就几类常用的策略归纳如下:1.挖掘隐含条件 充分挖掘不等式成立的必要条件,则可简化分类,迅速求解。如利用定义域,有界因子或因式等。例.设,且为常数,解不等式分析:注意到不等式的“定义域”,有,即: 。而 ,故。此时,所以不等式恒成立,其解集为: 。2.考查问题的等效性 利用绝对值不等式的性质、等效因子、等价变形等方法将原不等式转化为另一种形式求解,则可简化运算过程,迅速求解。例1.对于解不等式。分析:不等式与不等式等价。所以原不等式等价于:即:从而得解集: 。例2.解不等式.分析:由绝对值不等式的性质知:原不等式等价于: 即: 。解之易得。例3.解不等式.分析:原不等式等价于: 。解之,即得。3.数形结合 从不等式中抽象出函数,将问题转化为考查函数图解的位置关系。例.设,解关于的不等式.xyo分析:由题意知,设, 。考查方程:结合已知: ,易得: 。说明两曲线的位置关系如图所示:观察图象得,原不等式的解集为:。4.换元引参,合理转化 对不等式进行代数换元、三角换元等,将不等式形式简化或转化为其它问题。例.若关于的方程有解,试确定实数的取值范围。分析:令 ,则原问题转化为三角问题: 由角的范围知,实数的取值范围为:。5.函数思想的运用 变更主元,构造函数,利用函数的相关性质来解题。 例1.解不等式分析:设,则 。原不等式转化为: 即: 也就是: 由为减函数知,即: 。解之,即得: 。例2.若不等式对满足的所有都成立,求实数的取值范围。分析:原不等式等价于:则问题转化为:当时,函数恒成立。由函数的性质知,只须: 解得:或 。6.方程思想的运用 构造方程,将不等式问题转化为考查方程的根的相关性质。例.已知不等式,它的解集为,求的值。分析:利用方程思想,4和是不等式对应的方程的两根,所以有: 解之,即得: 。7.正难则反 从反面求解,转化为去求不等式的补集,可起到事半功倍的效果。例.解关于的不等式分析:注意到原不等式与不等式的关系,解不等式: ,即得:解之得: 。在全集中取的补集即得原不等式的解集为: 。8.合理构造,避免或优化讨论 充分分析给定的条件,确定解题目标,进行合理构造,可避免或优化分类讨论,精简运算过程。例1.,且,求证:分析: 构造数列: 则例2.设,。当时,。证明:当时,。分析:由题意知,构造如下:令 ,则:设 , ,而所以易证。所以: 。9.分离参变量 对涉及的参变量进行分离,转化为求解函数的最值
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