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文档简介

简化不等式运算的几种策略在解答不等式问题时，如果方法选择不当，那么将使解题过程冗长、繁杂，运算量大，直接影响速度与运算结果的准确。因此在解题过程中，若能充分挖掘问题潜在的特殊性，灵活地采用相应的解题策略，则可简化或避免分类讨论等一些不必要的繁杂运算，简化解题过程。本文就几类常用的策略归纳如下：1.挖掘隐含条件 充分挖掘不等式成立的必要条件，则可简化分类，迅速求解。如利用定义域，有界因子或因式等。例.设，且为常数，解不等式分析：注意到不等式的“定义域”，有，即： 。而 ，故。此时，所以不等式恒成立，其解集为： 。2.考查问题的等效性 利用绝对值不等式的性质、等效因子、等价变形等方法将原不等式转化为另一种形式求解，则可简化运算过程，迅速求解。例1.对于解不等式。分析：不等式与不等式等价。所以原不等式等价于：即：从而得解集： 。例2.解不等式.分析：由绝对值不等式的性质知：原不等式等价于： 即： 。解之易得。例3.解不等式.分析：原不等式等价于： 。解之，即得。3.数形结合 从不等式中抽象出函数，将问题转化为考查函数图解的位置关系。例.设，解关于的不等式.xyo分析：由题意知，设， 。考查方程：结合已知： ，易得： 。说明两曲线的位置关系如图所示：观察图象得，原不等式的解集为：。4.换元引参，合理转化 对不等式进行代数换元、三角换元等，将不等式形式简化或转化为其它问题。例.若关于的方程有解，试确定实数的取值范围。分析：令 ，则原问题转化为三角问题： 由角的范围知，实数的取值范围为：。5.函数思想的运用 变更主元，构造函数，利用函数的相关性质来解题。 例1.解不等式分析：设，则 。原不等式转化为： 即： 也就是： 由为减函数知，即： 。解之，即得： 。例2.若不等式对满足的所有都成立，求实数的取值范围。分析：原不等式等价于：则问题转化为：当时，函数恒成立。由函数的性质知，只须： 解得：或 。6.方程思想的运用 构造方程，将不等式问题转化为考查方程的根的相关性质。例.已知不等式，它的解集为，求的值。分析：利用方程思想，4和是不等式对应的方程的两根，所以有： 解之，即得： 。7.正难则反 从反面求解，转化为去求不等式的补集，可起到事半功倍的效果。例.解关于的不等式分析：注意到原不等式与不等式的关系，解不等式： ,即得：解之得： 。在全集中取的补集即得原不等式的解集为： 。8.合理构造，避免或优化讨论 充分分析给定的条件，确定解题目标，进行合理构造，可避免或优化分类讨论，精简运算过程。例1.,且，求证：分析： 构造数列： 则例2.设，。当时,。证明：当时,。分析：由题意知，构造如下：令 ，则：设 ， ，而所以易证。所以： 。9.分离参变量 对涉及的参变量进行分离，转化为求解函数的最值
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