毕业论文矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系.doc

矩阵的特征值与特征向量的求法及其关系 摘要 矩阵的特征值 特征向量以及它们的求解问题在代数学中具有重 要的意义 本文通过对其定义和性质的深入了解 总结出了三种求解方法 分别是特征方程法 初等变换法以及只对矩阵进行行列互逆变换即可同 时求出矩阵的特征值与特征向量的行列互逆变换法 这三种方法由浅 入深 计算过程由繁到简 最后把求矩阵特征特征值问题转化为数的四 则运算问题 避免了求高次方程根的难题 显示了其优越性 关键词 特征值 特征向量 初等变换 互逆变换 目 录 1 引言 1 2 特征值与特征向量的定义及其性质 1 2 1 定义 1 2 2 性质 1 3 特征值与特征向量的求法 2 3 1 特征方程法 2 3 2 初等变换法 3 3 2 1 初等行变换法 4 3 2 2 初等列变换法 7 3 3 行列互逆变换法 9 4 总结 13 参考文献 14 1 1 引言 物理学 力学 工程技术学中的许多问题在数学上都归结为求矩阵特 征值和特征向量问题 由特征方程求特征值 尤其是对阶较大的矩阵 是 比较困难的 而我们所掌握的由特征方程求特征值总要解带参数的行列式 且只有先求特征值方可由方程组求特征向量 本文给出了只通过行变换 和列变换即可同时求出特征值和特征向量的方法 但仍未摆脱带参数行列 式的计算问题 最后通过对矩阵特征值和特征向量进行系统归纳 给出一 种只需进行行列互逆变换即可同时求出特征值与特征向量的结论 简单快 捷 2 特征值与特征向量的定义及其性质 2 1 定义 设是阶方阵 如果存在实数和维非零向量 使得An nx 成立 则称为的特征值 是的对应特征值的特征向量 xAx AxA 2 2 性质 1 若是的重特征值 对应特征值有个线性无关的特征向 i A i rA i i s 量 2 若都是矩阵的属于特征值的特征向量 则当不全 12 x xA 0 12 k k 为零时 仍是的属于特征值的特征向量 1 122 k xk x A 0 3 若是矩阵的互不相同的特征值 其对应的特征向量分 n 21 A 别是则线性无关 21n xxx n xxx 21 4 若的特征值为则 nn ij aA n 21 Aaaa nnnn 21221121 5 实对称矩阵的特征值都是实数 属于不同特征值的特征向量正交 A 6 若是实对称矩阵的重特征值 则对应特征值恰好有个 i A i r i i r 线性无关的特征向量 7 设为矩阵的特征值 为多项式函数 则为矩阵多项 A xP P 式的特征值 AP 2 8 设为方阵的一个特征值 且为对应的特征向量 则对任何正 Ax 整数 为为的一个特征值且为对应的特征向量 一般地k k k Ax 对于任何多项式 则为方阵 01 axaxaxf m m f 的一个特征值 且为对应的特征向量 EaAaAaAf m m01 x 3 特征值与特征向量的求法 3 1 特征方程法 用特征方程法求解的步骤为 1 求出矩阵的特征多项式A AEf 2 再求出特征方程在数域中的全部根 即在 AEf 0 PA 数域中的全部特征值 P 3 把所求的的每个特征值逐个地带入齐次线性方程组 i 中 求出齐次线性方程组的全部非零解 0 xAE i 0 xAE i 即一个基础解系便是的属于的线性无关 irii aaa 21 A ni i 1 的特征向量 则的属于的全部特征向量是这个解系的非零线性A i 组合 其中是不全为零的数 irrii akakak 2211r kkk 21 例 1 求矩阵的特征值和特征向量 122 212 221 A 解 先求 的特征多项式A AE 122 212 221 51 2 故得特征值为A5 1 321 把代入中得 1 AE x0 0222 0222 0222 321 321 321 xxx xxx xxx 即0 321 xxx 3 它的一个基础解系为 故矩阵属于的全部特征向量 1 1 0 1 0 1 A1 为 不全为零 1 1 0 1 0 1 21 kk 21 k k 同理将代入得 5 0422 0242 0224 321 321 321 xxx xxx xxx 它的一个基础解系为 1 1 1 故属于的全部特征向量是 5 1 1 1 k 这种求矩阵的特征值的方法是通过求矩阵的特征方程AAAE 的根来实现的 而在求特征方程的根的时候往往有一定的0 AE 0 难度 特别是当矩阵的阶数较高的时候难度更大 A 以下给出一种新方法 只用一种运算 矩阵运算 即在求的A 特征值时 特征矩阵进行 矩阵的初等变换 这种方法计算 EA 量少 且运算规范 不易出错 3 2 初等变换法 定义 2 数域上矩阵的初等变换是指下列3 种变换 P 第一种 以中一个非零的数乘以矩阵的某一行 列 P 第二种 把矩阵的某一行 列 的倍加到另一行 列 k 第三种 互换矩阵中两行 列 的位置 4 a 3 2 1 初等行变换法初等行变换法 定理 1 对于齐次线性方程组 11mnmn OXA 1 其中 若 并且 nm ij aA T i xX rAR mn nrnm n T P EA r n rm O D 一系列初等行变换 2 其中为上三角矩阵 并且 则中的行向量 rm D rDR rm nrn P 是方程组 1 的一组基础解系 表示的转置 rni i 2 1 T AA 表示的秩 表示阶单位矩阵 ARA n En 证明 对矩阵施行一系列初等行变换相当于左乘以一个可逆矩 n T EA 阵 由已知可得 C mrn rm T O D CA 3 nrn n P CE 4 由 4 可知 是行满秩 及其行向量线性无关 nrn P i rni 2 1 将 4 带入 3 得 mrn rm T n nrn O D AE P 即两边同时进行转置得 mrn T nrn OAP 0 T AP 由此可知的行向量是方程组 1 的解 且是线P i rni 2 1 性无关的 所以即为方程组 1 的基础解系 证毕 5 定理 2 对任意方阵 特征矩阵经过行变换 可以A T AEF 化为上三角矩阵 且的主对角线上元素的乘积的多项式的根 G G 即为的特征值A 证明 显然 nnnn n n aaa aaa aaa F 21 22221 11211 nFR 首先考察的第 1 列 若不全为零 任取其一 记为 F 1 i a ni 2 1 通过行变换 将化为如下形式 若 1 d F H d 0 1 1 i a0 则本身即具有这种形式 ni 2 1 F 齐次再考察的第一列 若不全为零 若全为零 则 则 H nER 可选次数最低的元素 记为 如上实施初等行变换 循环往复 2 f 的次数有限 最后必将化为如下形式 继续对 1 f H J d 0 2 进行如上变换 则最终可化为 J F n d d d G 0 2 1 5 由以上可知 和等价 则和有相同的初等因子 于是 F G F G 该定义成立 定理 1 给出求解齐次线性方程组基础解系的一种方法 而定理2 实际 上给出了利用初等行变换求矩阵特征值的方法 下面具体给出利用初等 行变换求解矩阵特征值和特征向量的一般步骤 第一步 对方阵 设对做行变换 化成 A EF PD 6 6 其中为上三角矩阵 则主对角线上的元素乘积的 D D 多项的根即为的特征值 A i 第二步 对矩阵的任一特征值代入 6 若中非零行向量构A i i D 成满秩矩阵则 行向量中零向量所对应的中的行向量 i D i P 即为的特征向量 否则 继续进行行变换 i i ii PD 使得中非零行向量构成满秩矩 行初等变换 iiPD iD 阵 则中零行向量所对应的中的行向量即为 iD iP i 的特征向量 i 例 2 求矩阵的特征值与特征向量 1111 1111 1111 1111 解 4 EF 1000 0100 0010 0001 1111 1111 1111 1111 41 rr 0001 0100 0010 1000 1111 1111 1111 1111 14 13 12 1 rr rr rr 1001 1100 1010 1000 2220 2200 2020 1111 24 rr 011 1100 1010 1000 12200 2200 2020 1111 3 4 rr 7 1111 1100 1010 1000 22000 2200 2020 1111 由得特征值 022 3 2 2 4321 当时2 321 2 2 PD 0000 0000 0000 1111 3111 1100 1010 1000 因的非零向量的行构成行满秩矩阵 且其最后的三个行向量是零向量 2D 故中的最后三个行向量 2P T 1 0 1 0 1 T 1 1 0 0 2 是的线性无关的特征向量 T 3 1 1 1 3 1 2 32 同理的线性无关的特征向量是中的最后一个向量2 4 2 P T 3 1 1 1 与初等行变换类似 通过对矩阵进行初等列变换也可求得其特征值和特征 向量 b 3 2 2 初等列变换法初等列变换法 定理 3 设是秩为的阶矩阵 且Armn rmm rmrnrn m mn P OB E A 列初等变换 其中是秩为的列满秩矩阵 则矩阵所含的个列向量就是齐次BrPrm 线性方程组的一个基础解系 证明略 0 AX 定理 4 矩阵的特征矩阵经列的初等变换可化为下A AEF 三角的矩阵 且的主对角线上的元素乘积的多项式的根恰 B B 为的所有特征值 证明略 A 用这两个定理可以同步求解矩阵的特征值和特征向量 8 基本步骤如下 第一步 作如下初等变换 P L E AE 列初等变换 7 其中为下三角矩阵 则的主对角线上元素的乘积的 L L 多项式的全部根恰为的所有特征值 A i 第二步 将代入 7 中 若中非零列向量构成列满秩矩阵 则 i i L 中和中零向量所对应的列向量是属于特征值的特 i P i L i 征向量 否则 继续进行变换 其过程完全类似于行变换 这 里不再赘述 例 3 求矩阵的特征值与特征向量 A 0111 1011 1101 1110 解 4 E AE 1000 0100 0010 0001 111 111 111 111 41 cc 0001 0100 0010 1000 111 111 111 111 0 14 12 13 cc cc cc 111 0100 0010 1000 111 1101 1011 0001 2 24 cc 1111 0100 1010 1000 2111 1101 0011 0001 9 34 cc 2111 1100 1010 1000 3111 0101 0011 0001 由得特征值 三重 0311 2 1 3 4321 当时3 1 3 3 P B 1111 1100 1010 1000 0443 0401 0041 0001 因的非零向量的列构成列满秩矩阵 且其最后的一个向量 3 1 BB 零向量 故中的最后一个列向量是的线性无关的特 3 1 PP T 1 1 1 1 3 1 征 向量 同理的特征量是中的最后三个列向量 32 1 4 1P 1 0 1 0 1 T 3 1 1 1 1 1 0 0 32 TT 用定理 3 和定理 4 可以同步求解矩阵的特征值和特征向量 研究了初等行变换和初等列变换求解特征值后 我们发现其过程比特征方 程法简便了许多 但其求解过程中仍要解带参数的行列式 那么还有没 有更简洁的方法呢 下面继续探讨 3 3 行列互逆变换法 定义 3 把矩阵的下列三种变换称为行列互逆变换 10 1 互换两行 同时互换两列 ji ji 2 第 行乘非零数 同时第列乘 ikik 1 3 第 行倍加入第行 同时第列倍加入第列 ikjjk i 定理 5 为阶可对角化矩阵 并且An n T EA 一系列行列互逆变换 T PD 其中 n D 1 1 n T P inii bb 1 1ni 则为的全部特征值 为的对应的特征向量 n 1 A T ii A i 证明 由行初等变换等价于左乘初等阵 列变等价于右乘初等阵地性 质及行列互逆变换的定义知 为若干初等阵乘积 当然可逆 且 T P 即 DPAP TT 1 DDAPP T 1 所以 PDAP 因为 1 n D n P 1 所以 nn A 11 n 1 则 n AA 1 nn 11 所以 iii A 0 i 1ni 因此 该方法求出的为的特征值 为的对应特征值的特征向 i A i A i 11 量 为了运算上的方便 这里约定 1 表示矩阵的第行倍加入第行 ji krr jki 2 表示矩阵的第列倍加入第列 ji krr jk i 例 4 求的特征值与特征向量 0111 1011 1101 1110 A 解 4 EAT 10000111 01001011 00101101 00011110 43 21 34 12 rr rr rr rr 11001020 01001110 00102010 00011011 24 42 rr rr 11001020 01000110 11110030 00010011 42 32 12 21 41 41 rr rr rr 110010230 010001430 11110030 000100431 24 23 21 21 41 41 rr rr rr 212121211000 414341410100 11110030 414141430001 11113000 11110100 13110010 11130001 12 所以 特征值分别为 特征向量分别为3 1 4321 T 1 1 1 3 1 T 1 3 1 1 2 T 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 T 下面给出定理5 的推广定理 定理 6 为任意阶方阵 若 An T n T PJEA 一系列行列互逆变换 其中 为约当矩阵 r J J J 1 nr i i i J 1 1 为约当标准形 ri 1 则 1 r T P P P t ir i i P 1 ri 1 nrrr r 21 为的特征值 为的对应特征值的特征向量 i A T iri i A i 证明 由一般代数书中定理可知必相似于一约当矩阵 按定理A 4 中化简方法 则有 即 JPAP TtT 1 TT PJAPJAPP 1 其中 r T r T P 1111 T r T T J J J 1 i i T i J 1 1 ri 1 所以 A r T r T 1111 r T r T 1111 T r T J J 1 故有 iii A ri 1 所以为的特征值 为的对应的特征向量 i A i A i 13 例 5 求的特征值与特征向量 312 130 112 A 解 100311 010131 001202 3 EAT 13 31 rr rr 100411 010031 101011 21 12 rr rr 100410 111020 101012 32 23 21 21 rr rr 212121400 111020 101012 3 3 21 2 r r 111400 111020 101012 所以特征值为 对应特征值的特征向量2 21 4 3 2 21 对应的特征向量 T 1 1 1 1 T 1 0 1 2 4 3 1 1 1 3 T 行列互逆变换法求解矩阵特征值时只需对矩阵做行列互逆变换即可同步求 出矩阵特征值和特征向量的方法 而且不需要考虑带参数的特征矩阵 简 洁实用 能收到事半功倍的效果 4 总结 通过运用以上三种方法求解矩阵的特征值与特征向量 我们可以看出 用行列互逆变换的方法求矩阵的特征值相对时比较简单的 它把求把求特 征值的问题转化为数的四则运算问题 避免了求矩阵特征值时求高次方程 根的难题 特别是对于求阶数较高的矩阵的特征值 更能显示其优越性 参考文献 1 李浩 孙建东 高等代数习题与解析 M 北京 兵器工业出版社 2008 9 2 姚慕生 吴泉水 高等代数学 第二版 M 上海 复旦大学出版社 2008 6 14 3 同济大学 方程数学 线性代数 M 北京 高等教育出版社 1980 4 张禾瑞 郝炳新 高等代数 第四版 M 北京 高等教育出版社 1999 5 文香丹 矩阵的特征值与特征向量的同步求解方法 J 边延大学农学学报 1998 6 汪庆丽 矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量 J 岳阳师范学院学报 自然科学版 2001 7 张贺 岳崇山 初等变换求矩阵的特征值问题 J 河北北方学院学报 8 陈泽安 矩阵特征值与特征向量的新方法 J 长沙通信职业技术学院学报 2003 9 杨廷俊 阵特征值与特征向量的同步求解法 J 甘肃联合大学学报 2006 10 英 J R 布伦菲尔德 矩阵 M 北京 科学出版社 1986 11 Bondy J A USA Murty Graph Theroy with Applications J New York 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