哈工大_计算方法实验_1拉格朗日.doc

实验题目1 Lagrange插值摘要给定平面上n+1个不同的数据点xk,fxk, k=0,1,n, xixj, ij:则满足条件Pnxk=fxk, k=0,1,n的n次拉格朗日插值多项式Pnxk=k=0nfxklkx是存在唯一的。若xka,b, k=0,1,n，且fxk充分光滑，则当xa,b时，有误差估计式fxk-Pnxk=fn+1n+1!x-x0x-x1x-xn, a,b前言利用拉格朗日插值多项式Pnx求fx的近似值程序设计流程拉格朗日插值框图开始结束输入(xi,yi),ni=0,1,2,nL=0i=0xl=1xl=*xlj=0,1,i-1,i+1,nL=L+xl*i=n?输出y否是i=i+1问题1 （1）N = 5时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -5, 5, 5, 0.75:4.75);将区间-5,5分为了5段计算插值的点 xi = 0.7500 1.7500 2.7500 3.7500 4.7500计算出的插值 yi = 0.9054 0.5258 0.0096 -0.3568 -0.1595插值点处函数值 yFact = 0.6400 0.2462 0.1168 0.0664 0.0424计算误差 err = -0.2654 -0.2796 0.1072 0.4232 0.2020N = 10时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -5, 5, 10, 0.75:4.75);将区间-5,5分为了10段计算插值的点 xi = 0.7500 1.7500 2.7500 3.7500 4.7500计算出的插值 yi = 0.6907 0.2330 0.1122 0.1084 -0.2360插值点处函数值 yFact = 0.6400 0.2462 0.1168 0.0664 0.0424计算误差 err = -0.0507 0.0132 0.0045 -0.0420 0.2785N = 20时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -5, 5, 20, 0.75:4.75);将区间-5,5分为了20段计算插值的点 xi = 0.7500 1.7500 2.7500 3.7500 4.7500计算出的插值 yi = 0.6413 0.2491 0.1282 0.1903 6.4150插值点处函数值 yFact = 0.6400 0.2462 0.1168 0.0664 0.0424计算误差 err = -0.0013 -0.0029 -0.0114 -0.1239 -6.3726问题1 （2）N = 5时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -1, 1, 5, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了5段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3863 0.9513 1.0512 2.5863插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-003 *0.4471 -0.1051 0.1069 -0.6129N = 10时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -1, 1, 10, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了10段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-008 * -0.3126 -0.0055 -0.0055 -0.3714N = 20时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -1, 1, 20, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了20段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-012 *0.7339 0 -0.0002 -0.5671问题2 （1）N = 5时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 5, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了5段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5136 0.9978 0.9978 0.5136插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err =0.0121 -0.0002 -0.0002 0.0121N = 10时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 10, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了10段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5243 0.9975 0.9975 0.5243插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err =0.0014 0.0000 0.0000 0.0014N = 20时，程序运行如下：TestLag(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 20, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了20段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err = 1.0e-005 * -0.7023 0.0000 0.0000 -0.7023实验2 （2）N = 5时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -5, 5, 5, -4.75 -0.25 0.25 4.75);将区间-5,5分为了5段计算插值的点 xi = -4.7500 -0.2500 0.2500 4.7500计算出的插值 yi = -1.9321 1.4275 0.5882 123.7146插值点处函数值 yFact = 0.0087 0.7788 1.2840 115.5843计算误差 err =1.9408 -0.6487 0.6958 -8.1303N = 10时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -5, 5, 10, -4.75 -0.25 0.25 4.75);将区间-5,5分为了10段计算插值的点 xi = -4.7500 -0.2500 0.2500 4.7500计算出的插值 yi = 0.0425 0.7796 1.2848 115.6630插值点处函数值 yFact = 0.0087 0.7788 1.2840 115.5843计算误差 err = -0.0339 -0.0008 -0.0008 -0.0788N = 20时，程序运行如下：TestLag(inline(exp(x), -5, 5, 20, -4.75 -0.25 0.25 4.75);将区间-5,5分为了20段计算插值的点 xi = -4.7500 -0.2500 0.2500 4.7500计算出的插值 yi = 0.0087 0.7788 1.2840 115.5843插值点处函数值 yFact = 0.0087 0.7788 1.2840 115.5843计算误差 err = 1.0e-007 * -0.0914 0.0000 0.0000 -0.1434问题3 （1）N =5时，程序运行如下：TestLag2(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 5, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了5段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5254 0.9978 0.9978 0.5254插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err = 1.0e-003 *0.2071 -0.3011 -0.3011 0.2071N =10时，程序运行如下：TestLag2(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 10, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了10段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5255 0.9972 0.9972 0.5255插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err = 1.0e-003 *0.1562 0.2603 0.2603 0.1562N =20时，程序运行如下：TestLag2(inline(1./(1+x.2), -1, 1, 20, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了20段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256插值点处函数值 yFact = 0.5256 0.9975 0.9975 0.5256计算误差 err = 1.0e-007 * 0.2318 0.2381 0.2381 0.2318问题3 （2）N =5时，程序运行如下：TestLag2(inline(exp(x), -1, 1, 5, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了5段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3867 0.9514 1.0511 2.5857插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-003 *0.0079 -0.1317 0.1339 -0.0108N =10时，程序运行如下：TestLag2(inline(exp(x), -1, 1, 10, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了10段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-009 * -0.5045 -0.4791 -0.4835 -0.5994N =20时，程序运行如下：TestLag2(inline(exp(x), -1, 1, 20, -0.95 -0.05 0.05 0.95);将区间-1,1分为了20段计算插值的点 xi = -0.9500 -0.0500 0.0500 0.9500计算出的插值 yi = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857插值点处函数值 yFact = 0.3867 0.9512 1.0513 2.5857计算误差 err = 1.0e-015 * 0.1665 0.3331 -0.4441 -0.8882问题4(1) 程序运行如下：TestLag3(1 4 9, 5 50 115 185)计算插值的点 xi = 5 50 115 185计算出的插值 yi = 2.2667 -20.2333 -171.9000 -492.7333插值点处函数值 yFact = 2.2361 7.0711 10.7238 13.6015计算误差 err = -0.0306 27.3044 182.6238 506.3348(2) 程序运行如下：TestLag3(36 49 64, 5 50 115 185)计算插值的点 xi = 5 50 115 185计算出的插值 yi = 3.1158 7.0718 10.1670 10.0388插值点处函数值 yFact = 2.2361 7.0711 10.7238 13.6015计算误差 err = -0.8797 -0.0007 0.5568 3.5626(3) 程序运行如下：TestLag3(100 121 144, 5 50 115 185)计算插值的点 xi = 5 50 115 185计算出的插值 yi = 4.4391 7.2850 10.7228 13.5357插值点处函数值 yFact = 2.2361 7.0711 10.7238 13.6015计算误差 err = -2.2030 -0.2139 0.0010 0.0658(4) 程序运行如下：TestLag3(169 196 225, 5 50 115 185)计算插值的点 xi = 5 50 115 185计算出的插值 yi = 5.4972 7.8001 10.8005 13.6006插值点处函数值 yFact = 2.2361 7.0711 10.7238 13.6015计算误差 err = -3.2611 -0.7291 -0.0767 0.0009实验所用函数function yh = LagInterp(x, y, xh)% LagInterp 计算拉格朗日插值% Synopsis: yh = LagInterp(x, y, xh)% Input: x = 一维向量，将要做插值x的值% y = 一维向量，将要做插值y的值% xh = 数值或一维向量，计算插值的位置，支持计算一列xh的值% Output: yh = 数值或一维向量，通过计算插值的位置算出的插值 if min(size(x) 1 | min(size(y) 1%判断x，y是否为一维向量 error(x,y must be vectors!); elseif length(x) = length(y)%判断x，y是否有同样多的元素 error(x and y must agree!); end yh = zeros(size(xh); L = zeros(length(x) - 1); for j = 1:length(xh) for i = 1:length(x) xCal = x; xCal(i) = ;%prod(xh(j) - xCal)/prod(x(i) - xCal)为拉格朗日基函数 L(i) = prod(xh(j) - xCal)/prod(x(i) - xCal); yh(j) = yh(j) + L(i) * y(i);%yh = sum(L(i) * y(i) endendfunction TestLag(fx, a, b, n, xi)% TestLag 实验题目1 1,2% Synopsis: TestLag(fun, a, b, n, xi)% Input: fx = 用来验证插值计算准确率的函数% a,b = 节点选取上下限% n = 多项式次数，固定区间-a,b分段数% xi = 要计算插值的点 x = linspace(a, b, n); y = feval(fx, x); yi = LagInterp(x, y, xi); yFact = feval(fx, xi); err = yFact - yi; fprintf(将区间%d,%d分为了%d段n, a, b, n); fprintf(计算插值的点 xi =n); disp(xi); fprintf(计算出的插值 yi =n); disp(yi); fprintf(插值点处函数值 yFact =n); disp(yFact); fprintf(计算误差 err =n); disp(err);function TestLag2(fx, a, b, n, xi)% TestLag2 实验题目1 3% Synopsis: TestLag2(fun, a, b, n, xi)% Input: fx = 用来验证插值计算准确率的函数% a,b = 节点选取上下限% n = 多项式次数，固定区间-a,b分段数% xi = 要计算插值的点 x = zeros(1,n); for k = 1:n x(k) = cos( (2*k-1)*pi/(2*n) ); %构造非等距节点 end y = feval(fx, x); yi = LagInterp(x, y, xi); yFact = feval(fx, xi); err = yFact - yi; fprintf(将区间%d,%d分为了%d段n, a, b, n); fprintf(计算插值的点 xi =n); disp(xi); fprintf(计算出的插值 yi =n); disp(yi); fprintf(插值点处函数值 yFact =n); disp(yFact); fprintf(计算误差 err =n); disp(err);function