用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌.doc

第1期黄炳华等：用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌71用基波平衡原理分析非线性振荡与混沌黄炳华，黄新民，韦善革 （广西大学 电气工程学院，广西 南宁 530004）摘 要：用“基波平衡原理”求得注入网络的基波电流Is1。它的流向代表网络在脱离激励源以后,为维持自激振荡关于实功与虚功的盈亏情况，是判断网络稳定性和振荡性状的有力依据。当实功与虚功同时取得平衡时，能求得基波解的振荡频率ws和幅值Um，网络必然存在有对应的周期解。结论的普遍性可推广到三阶非线性微分方程。并阐明微分方程存在有多个周期解是产生混沌振荡的重要原因。其正确性可以用SIMULINK仿真验证。关键词：非线性；稳定性；虚功功率；极限环；混沌中图分类号：TN 722.3 文献标识码：A 文章编号：1000-436X(2008)01-0065-06Analysing nonlinear oscillation and chaos usingfundamental-wave balance principleHUANG Bing-hua，HUANG Xin-min，WEI Shan-ge(Electrical Engineering School Guangxi University, Nanning 530004,China)Abstract: The fundamental-wave current Is1 can be found by the theory of fundamental harmonic balance. Its flow direction represents profit and loss of active and reactive power in order to maintain self-oscillation, when the exciting source applied to the network is cut off. And it is powerfull basis of judging stability and self-excited oscillation shape and properties. Oscillation frequencyws and amplitude Um of fundamental- wave solution can be found, when active and reactive power of the network obtain balance synchronously. The respective periodic solution exist inevitably. The universality of the conclusion can be spread to third-order nonlinear differential equation. It is expounded that a differential equation possessing multiple periodic solutions is the important reason of generating chaotic oscillation. Its correctness can be verified by the Simulink.Key words: nonlinear; stability; reactive power; limit cycle; chaos1 引言收稿日期：2006-05-28；修回日期：2007-11-09基金项目：国家自然科学基金资助项目（60662001）Foundation Item: The National Natural Science Foundation of China(60662001)为消除寄生振荡，当前大多采用频率补偿法，各种补偿技术，都必须以牺牲原来电路的其他性能为代价。本文提出的基波平衡原理分析方法，是将微分方程的定性解建立在功率平衡的基础上，使压控非线性元件的控制电压作为端口变量，这样网络内部非基波分量的分布无论怎样复杂难解，集中在端口的电压是正弦，和非正弦端口电流形成的功率，包含有基波与非基波，实功和虚功成份，如果基波成份的功率能够获得平衡，基波平衡方程存在有基波解，则网络一定存在对应的周期解，相图有对应的闭轨线。如果虚功无法平衡，则网络不存在有周期解，因而可以用破坏虚功平衡的方法，达到消除寄生振荡的目的。本理论方法可通过实验，用幅值和频率可调的电压源检测注入集成芯片电流的实功与虚功成份。借以检验芯片的稳定度，若注入电流越大说明稳定的可靠系数越高，若注入电流很小，说明稳定性很低，处于临界稳定状态，外界负载稍有变化很容易导致寄生振荡。反之，对于含有寄生振荡的集成芯片，也可以检测释出的电流越大，说明寄生振荡越深。理论分析和实验检测的紧密结合，可以为消除寄生振荡提供各种最佳方案。本研究在南京电子器件研究所的大力支持下，做了大量测试，在分析集成芯片寄生振荡的原因方面，有力证明了基波平衡原理的正确性。2 含激励源基波解与不含激励源周期解存在的一致性在网络N适当端口，外接一个激励源，注入网络的电流为。用替代，则端口保持正弦。若 即，从这2个条件可求出基波解的幅值和频率为，如果接入替代源的网络存在有n个基波解，则未接入激励源的原网络，也对应的存在有n个周期解14。当，时，激励源已经没有向网络送入实功，网络有足够能量维持自激，加入激励源的网络如图1所示，脱离激励源的原网络，和增加一个反向的等效如图2所示，两者比较起来：图1的端口AA空载保持正弦；图2的端口AA接有一些幅值较低频率较高的非基波负载成份，因而振荡能自激维持，对应的周期解存在，但其波形会畸变成非正弦，u的基波幅值和振荡频率不等于。这种存在的一致性称为基波平衡原理。图1 接有替代源ish图2 脱离替代源ish3 用基波平衡原理分析Duffing方程的多种形式3.1 第一形式(1)(2)(3)记(4)(5)(6)(7)(8) (9)设非线性电路模型如图3所示，电路中各参数和非线性元件的伏安特性如式（1），式中是等效基波电导，是压控非线性电感，式（2）是Duffing方程的原有形式，本文称为第一形式。只有一个平衡点。加入激励源后的方程为式（3），引入符号式（4）、式（5），取式（3）的基波分量得式（6）,取非基波分量得式（7），如果，网络中的参数满足式（9），将式（6）和式（7）相加得式（8），式中包含2种含意；其一为保留替代源时如式（8）方程右边为0，端口变量做正弦变化，振荡频率为故等式两边各自平衡，另一种含意是脱离替代源，此时式（8）由于撤出项，方程右边不为0，为使方程两边保持平衡，迫使端口变量变成非正弦而有，式中其他各量也都会发生变化。在的情况下又撤消项,等于替代源脱离网络，可以说去除项重新平衡的式（8）返回成为式（2），不过要强调指出的是，此时在网络参数满足式（9）的前提条件下，比较式（8）和式（2）的区别，式（8）含有可以用图1描述，式（2）不含要用图2描述，从AA端口观察两图的差别，以上论述证明周期解和基波解对应存在。图3 非线性电路3.2 第二形式(10)(11) (12) (13)=(14) (15) (16)若改变非线性电感特性为 ，则可建立第二形式的杜芬方程为式（10），2种形式Duffing方程的主要区别在于，式（10）中前面的负号，使方程的性质发生根本的变化：称之为第二形式，由式（10）用基波平衡原理可以解出式（11），式（12）。和是基波解的频率和幅值。以参数d0/C0=400，3a3/C0=0.4 k=1 000代入式（10）构成式（13），有3个平衡点和，其中：是鞍点做为座标原点，的类型和参数有关，如表1所示。表1 平衡点的坐标位置与雅可比矩阵的特征值U2uvEigenvalues类型E1000鞍点E2.30.810680028.28040j1 264.28不稳焦点31063 00054.770400j2 416.6稳定焦点由式（13）用基波平衡原理解出式（14），式（15）。当时，无法找到一对正值解满足式（14），式（15）。网络参数出现这种情况，说明网络内部2个稳定平衡点储藏有足够能量u=54.77，但无法释放出来形成振荡。用基波平衡原理的解释就是，从式（14）可以看出若要使无法使取正值，这是虚功无法平衡的表现。所谓欠缺虚功是指网络内并不欠缺储能，而是欠缺不同形式的能量相互交换的能力（例如电能和磁能的交换，动能和势能的交换,只有具备这种交换的能力才会形成振荡）。式（14）的，欠缺这种能力，故不能振荡。这个结论用MATLAB验证是正确的，不论初激值的大小，相点最后落入2个稳定焦点。当时，3个平衡点排列成结构，其中表示不稳焦点S表示鞍点。可以找到一对正值解满足式（15），不管初激值的大小如何，相图总显示有极限环。3.3 Duffing方程的第三形式用虚功平衡分析非线性保守系统(17) (18)(19)(20)式（17）是不含阻尼项另一种形式的Duffing方程，有5个平衡点，见Math程序Duffing，都是不稳定的鞍点或节点，排列成，其中S表示鞍点，N表示不稳定节点，由式（17）用基波平衡原理可以求出式（18）式（20）。式（17）的，参看Math程序Duffing，当可解出式（20），程序Duffing还显示，使取正值的两族闭轨线的大体范围是，小闭轨线对应的基波解幅值大约为，大闭轨线的大体范围是，在这2个范围内，式（17）的括号内构成一个恢复力。可以找到一定的正实数值使，其意义是在恢复力范围内，有一个振荡频率能满足虚功平衡故振荡存在。用MATLAB仿真分析证明，当初激值在左右变化时，相图显示存在两簇大小不同的闭轨线，时出现小闭轨线；当时出现大闭轨线，如图4图6所示。这两簇闭轨线都不是极限环，图4的初激值，图5的，当时，相图出现大闭轨线如图6所示。两者幅值范围差别很大，固定闭轨线是从跳至，以上结果用Math程序分析和用MATLAB仿真验证获得一致的结论。图4 小闭轨线一，初激值0.1图5 小闭轨线二，初激值1图6 大闭轨线在满足，的条件下，只要有合适的正实数解存在，则电路存在有周期解,式（17）从Math程序Duffing以及MATLAB相图4图6可以看出，闭轨线的幅值不会出现在的区间，在这个范围内，参看式（20）满足虚功平衡的频率必须取负值，说明在此范围内式（17）的括号内构成一个排斥力，虚功无法平衡，振荡不存在。由此可见，在实功平衡恒成立的非线性保守系统，虚功平衡成为确定振荡性状的惟一依据。4 四漩涡结构的混沌振荡(21)式中 (22)(23)(24)(25)蔡氏电路如图7所示，各参数为L=0.0 082; c1=0.0 055106; c2=0.05106; g0=0.752103; a1=0.000 834 234; a3=6.1104/3;a5=5.8104/5; a7=1.28104/7。图7 蔡氏电路列状态方程式（21），参看Math程序chua-1,式（24）的和的伏安关系曲线如图8所示，令电感短路、电容开路求平衡点得，即曲线和横轴的7个交点为各平衡点在的座标值。各平衡点的座标位置和雅可比矩阵的特征值如表2所示。图8 伏安曲线表2 各平衡点的座标位置和雅可比矩阵的特征值iLvc2vc1Eigenvaluesf1点0.001 427 9501.898 88121 200, 621.862j45 945f2点0.001 105 4201.469 9750 937.3, 16 550.3j36 060f3点0.000 571 32300.759 73842 658.7, 4 605.73j32 112.7f4点00031 549, 15 818.7j30 094.3f5点0.000 571 32300.759 73842 658.7, 4 605.73j32 112.7f6点0.001 105 4201.469 9750 937.3, 16 550.3j36 060f7点0.001 427 9501.898 88121 200, 621.862j45 945(26)(27)在一个结构的电路，会产生双漩涡（double scroll）的混沌振荡5。设均为正实数，记O型平衡点的特征根为,记P型平衡点的特征根为，在三维空间中O型点含一维不稳定流形，含二维不稳定流形，相点离开O型点的第一瞬间有两种可能的走向，或趋向或趋向，而相点离开型点的第一瞬间只有一种走向即螺旋卷出，因而中间的O型点形成联系左右2个漩涡的键波6，这是产生双漩涡结构相图的一个重要原因，可见混沌的产生和多平衡点有密切的关系。其次，用基波平衡原理求证混沌振荡的机理，以任意频率的电压源激励端口，用正弦相量法或平衡方程系数法，求出图7电路端口的输入导纳为式(26)、式(27)。可以进一步求出有两组基波解满足。因为有2个周期解同时满足方程式（21），故可在任一瞬间任一相点从一个周期解转向另一个周期解，这是产生混沌轨线遍历性混乱性的重要原因。用基波平衡原理要注意到在端口施加正弦激励源，当进入网络的基波电流时，实功的条件严格成立，但端口的虚功没有平衡，维持振荡的要求显然是，由程序chua-2的作图语句可以看出当时，恒有，在蔡氏电路Bi仅和有关和Um无关，又由三维作图的语句可以看出，在上述的频率范围内，当时有无数组的满足，可见原理在推广的意义上，基波解显然存在。关于混沌在轨线遍历性的基础上，蔡氏电路又表现为多璇涡结构6，其中是P型焦节点，是O型焦节点，7点的排列为，曲线图8显示共包含有3个结构，,即；。显然可以产生四璇涡结构的相图，这个结论可用MATLAB的相图验证。以3个O型点为座标原点，可以验证基波平衡原理的正确性。座标平移时，式(26)惟一发生变化的是，因此只要求出的变化量就可以了。平衡点是平移前的座标原点，等效基波电导如式（23），当平衡点从平移到或后，的增加量参看程序chua-3最后一个语句为(28)这说明坐标体系平移后，和平移前比较起来，在新的原点上作正弦振荡，在幅值较小时，新坐标贡献的基波电导，比原坐标贡献的基波电导，新增的是负值，即元件在或贡现出较多的负电导。随电压的增大，新增加贡献的基波电导变成正值，即元件在或贡现出的负电导减少了。相点进入另2个O型点时，也会产生和原点类似的双漩涡振荡，故3个结构，能形成四璇涡的结构如相图9所示。如果图8的伏安特性采用分段线性化的折线，使折线和横轴的交点f2，f6的斜率，和交点f4的斜率相等，则。相同的正弦激励uS作用在 3个坐标原点，对贡献的基波量是相同的。4个漩涡的大小形状会相同。由于如式（28）所示，说明在图8新的座标原点f2，f6，曲线斜率的变化趋势，加剧了相轨线卷出时的收敛速度，故当中以为中心的双璇涡卷较长较大，靠两边以为中心的双璇涡,由于相轨线卷出时的收敛速度加快，故在靠尽头两边的涡卷较短较小，在边界处有被压缩的形状。5 结束语用基波平衡原理可以分析，随的变化和符号值的变化情况，从而可以进一步分析在Um范围内相图性状的变化规律。对于含多个平衡点的非线性电路，如果以不同的平衡点为坐标体系的原点，在端口作用频率和幅值可变的正弦源uS，求在uS的作用下，非线性元件贡献的基波电流和等效基波电导，在各个不同的平衡点，这个贡献量是不同的，因而对于不同的平衡点，Um范围的稳定性和振荡性状也是不同的。基波平衡原理的应用，如果只用一个座标体系，将分析范围推广到是不可能得到正确结果的。必须以各平衡点为坐标原点，对网络各个平衡点都进行分析，然后综合各平衡点的分析结果，才能得出网络全局的稳定性和振荡性状的正确结果。图9 四漩涡结构参考文献：1黄炳华. 非线性电子网络的基波分析法J. 固体电子学研究和进展, 2003, 23(1): 35-41.HUANG B H .Fundamental wave analysis for nonlinear electronic networsJ. 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