第二章 科学严谨的几何证明

初等几何研究 广西民族师范学院数学与计算机科学系张龙军13123411259909242428 02 科学严谨的几何证明 主要内容 2020 4 12 3 1几何证明概述 2证度量关系 3证位置关系 2020 4 12 4 学习重点 重点是几何题的各种证明方法及应用 同一法 三角法 向量法等方法的应用是难点 度量关系 线段或角的相等 和差倍分线段角 比例线段 定值问题的证法 位置关系 平行的证法 垂直的证法 共线点的证法 共点线的证法 共圆点的证法 共点圆的证法 1几何证明概述 一 几何证明的一般方法1 按推理的逻辑结构分 2020 4 12 5 逻辑推理 演绎推理 证明推理 合情推理 归纳推理 类比推理 一 几何证明的一般方法 2020 4 12 6 演绎法 证题时由一般规律推导特殊事项的推理方法称为演绎法 换句话说 演绎法是从一般到特殊的推理方法 归纳法 以个别或特殊的知识为前提推导出一般性知识为结论的推理方法称为归纳法 即归纳法是从特殊到一般的推理方法 1几何证明概述 一 几何证明的一般方法2 按推理的序列方向分 2020 4 12 7 分析法 由命题的结论出发 执果索因 探寻结论 及中间结论 成立的必要条件 如此逐步往上逆求 直至达到已知的事实 综合法 由命题的假设入手 由因导果 通过一系列的正确推理 逐步靠近目标 最终得出结论 证题方法 1几何证明概述 一 几何证明的一般方法3 按所证明的命题类型分 2020 4 12 8 直接证法 由命题的假设出发 根据定义 公理 定理进行一系列正面的推理 最后得出命题的结论 此证明方法称为直接证法 间接证法 对于不能直接证明的命题 我们往往证明它的等效命题 如逆否命题 这种证明方法称为间接证法 1几何证明概述 间接证法包括反证法与同一法 反证法 由否定结论的正确性出发 根据假设 定义 公理 定理进行一系列正确的推理 最后得出一个与命题的假设或某个公理 定理或自相矛盾的结果 表明结论的反面不能成立 从而可以肯定原结论的正确性 利用反证法 当结论的反面只有一款时 否定了这一款便完成了证明 这种反证法叫归谬法 当结论的反面有多款时 必须驳倒其中每一款 这种反证法称为穷举法 同一法 若欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时 有时可以作出具有所有性质的图形 然后证明所作的图形与所给的某图形就是同一个 把他们等同起来 这种证明方法称为同一法 2020 4 12 9 1几何证明概述 一 几何证明的一般方法3 按所证明的命题类型分 一 几何证明的一般方法4 按所选知识工具分 2020 4 12 10 证题方法 平面几何证法 三角法 代数法 如复数法 坐标法 解析法 向量法 1几何证明概述 1几何证明概述 例1 在单位正方形的周界上任意两点之间连一条曲线l 如果它将正方形分为面积相等的两部分 试证 这曲线的长度不小于1 2020 4 12 11 二 例题选讲 分类思想 化归思想 1几何证明概述 例2以正方形 的一边 为底向形内做等腰三角形 使其两底角都是 则 是等边三角形 2020 4 12 12 二 例题选讲 同一法 1几何证明概述 例2 以正方形 的一边 为底向形内做等腰三角形 使其两底角都是 则 是等边三角形 2020 4 12 13 二 例题选讲 2 1 三角法 1几何证明概述 2020 4 12 14 思考题 1 证明 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 已知 直角三角形 是斜边 的中点 求证 D E 穷举法 1几何证明概述 例3 设 为任意四边形 E F将AB分成三等分 G H将 分成三等分 求证 SEFGH SABCD 2020 4 12 15 二 例题选讲 1几何证明概述 例3 设 为任意四边形 E F将AB分成三等分 G H将 分成三等分 求证 SEFGH SABCD 2020 4 12 16 二 例题选讲 特殊化思想 只需证 1几何证明概述 二 例题选讲 2020 4 12 17 例4 如图 AD为 ABC的BC边上的中线 O为AD上一点 直线BO CO与AC AB分别交于E F 求证 EF BC 证法1 延长OD 补平行四边形 1几何证明概述 例5 在等腰直角三角形ABC中 M是腰AC的中点 过直角顶点C作CD BM于D CD延长线交AB于E 求证 AME CMB 2020 4 12 18 二 例题选讲 补形 F N 略证 易证 CAN BCM 因此N是AF的中点 由对称性可知 FM经过点E 立即可知 AME CMB 1几何证明概述 例5 在等腰直角三角形ABC中 M是腰AC的中点 过直角顶点C作CD BM于D CD延长线交AB于E 求证 AME CMB 2020 4 12 19 二 例题选讲 坐标法 略证 建立坐标系如图 欲证 AME CMB 只需证kBM kEM求出各点坐标计算斜率即可得证 1几何证明概述 例5 在等腰直角三角形ABC中 M是腰AC的中点 过直角顶点C作CD BM于D CD延长线交AB于E 求证 AME CMB 2020 4 12 20 二 例题选讲 三角法 三角法 1几何证明概述 2020 4 12 21 1几何证明概述 2020 4 12 22 复数法 1几何证明概述 2020 4 12 23 二 例题选讲 复数法 例6 如图 以平行四边形ABCD的边AB AD向外作正方形ADMX ABNY 求证 AC XY且AC XY 证明 以A为原点建立复平面 设点B D对应的复数为z1 z2 1几何证明概述 2020 4 12 24 向量法 1几何证明概述 2020 4 12 25 向量法 例7 证明 在三角形中 三条高交于一点 垂心 1几何证明概述 例8 设AD是 的高 P为AD上一点 BP CP的延长线分别交AC AB于E F 证明 AD平分 EDF 2020 4 12 26 二 例题选讲 证法一 1几何证明概述 例8 设AD是 的高 P为AD上一点 BP CP的延长线分别交AC AB于E F 证明 AD平分 EDF 2020 4 12 27 二 例题选讲 解析法 第三届 1993年 澳门数学竞赛题 第十四届 2001年 爱尔兰数学竞赛题 第十八届 1958年 普特南数学竞赛题 第二十六届 1994年 加拿大数学竞赛题 首届 1987年 友谊杯 国际数学竞赛题 1 图中 过AB为直径的半圆上任一点C 作CD垂直AB于D 圆H与CD 弧BC分别相切于E F 又与AB相切于G 求证 AC AG 2020 4 12 29 O R x r H 代数法 练习 2 在正方形 D中 作DE AC 在DE上取一点F 使AF AC 又作CE AF 交DE于F 求证 DAF FAE EAC 2020 4 12 30 试用坐标法证明 45 练习 3 已知 AC AB BD AB AD与BC交于E 过E作EF AB于F 求证 AFC BFD 2020 4 12 31 练习 C 2020 4 12 32 思考题 试用坐标法证明 2020 4 12 33 思考题 2 在 的两边 和 向外作正方形 和 则 1 A 的高线 必平分 2 反之 AFH的中线AM必垂直于BC 试用复数法证明 2 P Q 2020 4 12 34 思考题 3 证明 梯形两条对角线的中点连线平行于底边且等于两底之差的一半 试分别用坐标法 向量法证明 4 在三角形各边上取一点 分各边所成的比相等 证明这三点构成的三角形与原三角形有相同的重心 2证度量关系 2020 4 12 35 一 方法归纳 一 证线段相等 全等三角形的应用 等腰三角形的应用 平行四边形的应用 媒介线的应用 圆内等量的应用 二 证明角相等 全等三角形的应用 等腰三角形的应用 平行线的应用 媒介角的应用 三角形中内角与外角的关系 圆心角 圆周角 弦切角的关系 相似形的应用 2证度量关系 2020 4 12 36 三 证线段与角的和 差 倍 分关系 三角形两边中点的连线等于第三边的一半 梯形两腰中点的连线等于两底和的一半 平行四边形的对角线互相平分 菱形的角被对角线平分 直角三角形中若有一个锐角为30 则斜边是30 角对边的 倍 直角三角形斜边中点距三顶点等远 三角形一外角等于不相邻二内角之和等等 四 证明线段 角的不等关系 三角形中 大角对大边 圆内 直径是最大弦 点到直线的垂线段最短 4 三角形中两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 2证度量关系 2020 4 12 37 五 证比例线段关系 三角形的角平分线定理 圆幂定理 平行线分线段成比例定理 相似三角形对应线段成比例 2证度量关系 几个著名定理 2020 4 12 38 2证度量关系 几个著名定理 2020 4 12 39 2证度量关系 例1 等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中 最长的等于其余两线的和 即 证明AP BP PC 2020 4 12 40 二 例题选讲 证法1 延长BP至D使PD PC 连CD 然后证明AP BD 2证度量关系 例1 等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中 最长的等于其余两线的和 即 证明AP BP PC 2020 4 12 41 二 例题选讲 证法2 在AP上取一点C 使PC BP 连BC 然后证明AC PC 2证度量关系 例1 等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线中 最长的等于其余两线的和 即 证明AP BP PC 2020 4 12 42 二 例题选讲 证法3 托勒密定理 BC AP AC BP AB PC 所以AP BP PC 例3 证明等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和为常量 设 为等腰三角形 底边 上任一点 证明 为常量 2020 4 12 43 2证度量关系 例4 从圆心 向已知直线l作垂线OM 通过垂足M任作两条直线AB和CD 交圆于A B C D 交直线l于P Q 求证 MP MQ 2020 4 12 44 蝴蝶定理来由 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题 刊载于1815年的一份通俗杂志 男士日记 上 由于其几何图形形象奇特 貌似蝴蝶 便以此命名 蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法 其中最早的 应首推霍纳在1815年所给出的证法 至于初等数学的证法 在国外资料中 一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的 它给予出的是面积证法 例4 从圆心 向已知直线l作垂线OM 通过垂足M任作两条直线AB和CD 交圆于A B C D 交直线l于P Q 求证 MP MQ 2020 4 12 45 证法一 综合法 例4 如图 已知AC CB 求证 MC CN 2020 4 12 46 2证度量关系 三角法 例4 如图 已知AC CB 求证 MC CN 2020 4 12 47 2证度量关系 证明 连接DA DB FA FB D AM CB D AG EB F AG EB F AC NB 即 AM CB AC NB MC CN 射影几何法 圆也是二次曲线 2证度量关系 例5 设 是 的三条高线 则 称为 的垂足三角形 证明这些高线平分垂足三角形的内角或外角 2020 4 12 48 2证度量关系 例6 三角形垂心到顶点的距离 等于其外心到对边中点距离之二倍 2020 4 12 49 2证度量关系 例 在 ABC中 已知AB AC E是BC边上中线AD上一点 求证 ECD EBD 2020 4 12 50 不等关系的证明 2证度量关系 练习 1 圆内三弦AB CD EF两两相交于P Q R 且PC QE RA PB QD RF 求证 PQR是正三角形 2020 4 12 51 a a a b b b x z y 2证度量关系 2 在梯形ABCD中 A B 90 以AB为直径的圆切CD于E 过E作EF BC交AB于F 求证 AC平分EF 2020 4 12 52 连接BD交AC于M 先证明EM BC 从而M在EF上 再证明M是EF的中点 2证度量关系 7 在锐角 ABC中 作BD AC于D CE AB于E 取BC的中点F 求证 FED EDF A 2020 4 12 53 因为FE FD BF FC 所以 1 2 3 B 4 C 2 1 2 B 2 C 360 所以 1 180 B C A 1 3 2 4 E D 2证度量关系 31 如图 以 ABC的边AB AC向形外作正方形ABEF ACGH 求证 BH CF 2020 4 12 54 证 ABH AFC 2证度量关系 如图 已知 O和 O1外切于P点 AB为两圆的一条外公切线 A B为切点 AC为 O的直径 CD切 O1于D 求证 AC CD 2020 4 12 55 CD2 CP CBAC2 CP CB需证明C P B共线 思考题 P O O1 2证度量关系 13 在 ABC中 已知AB 1 2AC 求证 ACB 1 2 ABC 2020 4 12 56 D 平面几何中的位置关系证明问题 1 两直线平行 垂直2 点共线3 线共点4 点共圆5 圆共点 2020 4 12 57 3位置关系的证明 一 平行 垂直 2020 4 12 58 3位置关系的证明 平行 1 同时和第三条直线平行的两条直线平行 2 平行线的判定 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 3 在同一平面内 和同一直线垂直的两条直线平行 4 平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等 5 三角形中位线定理 6 梯形中位线定理 7 平行于三角形一边的直线的判定 如果一条直线截三角形的两边 或延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 8 经过圆的直径两端点的切线互相平行 一 平行 垂直 2020 4 12 59 3位置关系的证明 垂直 1 证两直线构成直角 2 利用等腰三角形的 三线合一 证明垂直 3 矩形的邻边 菱形的对角线互相垂直 4 利用勾股定理的逆定理可证明垂直 5 直径所对的圆周角是直角 一 平行 垂直 2020 4 12 60 3位置关系的证明 例1 已知 如图 点E F分别是平行四边形ABCD的边AB DC上的点 且AE DF AF与DE交于点H BF与EC交于点G 求证 GH CD 且 一 平行 垂直 2020 4 12 61 3位置关系的证明 例2 以 ABC的三边为边在BC边的同侧作等边三角形ABD BCF ACE 连结DF EF 求证 DF AE 一 平行 垂直 2020 4 12 62 3位置关系的证明 如图 两圆外切于P 过P任作一直线分别交两圆于A B 一条外公切线分别切两圆于C D 求证 AC BD Q 一 平行 垂直 2020 4 12 63 3位置关系的证明 圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别交于E F 求证 E F的平分线互相垂直 4 5 2 2 1 3 1 只需证 4 5 4 B 2 5 3 2而 3 B 2020 4 12 64 3位置关系的证明 24 已知 AB A B AC A C 求证 BC B C 65 3位置关系的证明 25 在 ABC中 AB AC A 90 B的三等分线交BC边上的高于M N CN的延长线交AB于E 求证 EM BN 1 1 分析 只需证这可以通过计算证明设AC 则可求得AE DM DN 2020 4 12 66 3位置关系的证明 27 以四边形ABCD的各边为直径作圆 求证 相邻两个圆的公共弦与另两个圆的公共弦平行 二 共点线的证法 证明三线共点的方法 1 转化为共线点的问题来证明2 利用已知的共点线定理 如外心 内心 重心 垂心等 3 应用Ceva定理4 利用位似形的性质 对应点连线过位似中心5 利用射影几何有关定理 德萨格 Desargues 定理 布利安双 Brianchon 定理等6 解析法 2020 4 12 67 3位置关系的证明 二 共点线的证法 已知 EFGH的各顶点分别在 ABCD的各边上 求证 AC BD EG FH四线共点 2020 4 12 68 3位置关系的证明 证法一 设AC BD交于O 再证明EG FH经过O 证法二 Desargues定理 3位置关系的证明 几个著名定理 2020 4 12 69 三 共线点的证法 证明三点 共线的方法 1 利用平角 证明 XYZ 180 或0 2 证明 与 平行于同一条直线 证明 同在一定直线上 证明 和某定直线的交点就是 3 利用已知的共线点定理 如欧拉线 西姆松线等 4 应用Menelaus定理5 利用位似形的性质 对应点连线过位似中心6 利用射影几何有关定理 德萨格 Desargues 定理 帕普斯 Pappus 定理 帕斯卡 Pascal 定理等 2020 4 12 70 3位置关系的证明 三 共线点的证法 两圆相切于P AB CD是这两个圆的平行弦 求证 若A P D共线 则B P C共线 2020 4 12 71 3位置关系的证明 1 2 3位置关系的证明 几个著名定理 2020 4 12 72 3位置关系的证明 几个著名定理 2020 4 12 73 3位置关系的证明 2020 4 12 74 3位置关系的证明 例1 证明 在三角形中 1 三条中线交于一点 重心 2 三条角平分线交于一点 内心 3 三条边的中垂线交于一点 外心 4 三条高交于一点 垂心 2020 4 12 75 例题选讲 Ceva定理 3位置关系的证明 例2 在 ABC中 设三边BC CA AB分别与三角形的内切圆相切于X Y Z 证明 AX BY CZ交于一点 葛尔刚 Gergonne 点 2020 4 12 76 例题选讲 Ceva定理 3位置关系的证明 例3 莱莫恩 Lemoine 定理如图 过 ABC的三个顶点A B C作它的外接圆的切线 分别和BC CA AB的延长线交于P Q R 求证 P Q R三点共线 2020 4 12 77 例题选讲 Menelaus定理 能否用射影几何中的Brianchon定理证明 3位置关系的证明 例4 西姆松 Simson 定理三角形外接圆周上任意一点 在三边 所在直线 上的射影共线 2020 4 12 78 例题选讲 1 2 证法一 只需证 1 2 180 证法二 应用Menelaus定理 四 共圆点的证法 证明四点共圆 通常用下列方法 1 证诸点到一定点的距离相等 圆的定义 2 证明 是圆内接四边形 或证对角互补 或证某两点视另两点连线段的视角相等 当然这两点要在这线段的同侧 3 相交弦定理之逆 若 O 证明 4 直径所对圆周角是直角 如果其中某两点的连线段为直径 可证明其余的点对这线段的视角均为直角 2020 4 12 79 3位置关系的证明 四 共圆点的证法 例4 三角形三