第四章-第三节-等腰三角形与直角三角形

第三节等腰三角形与直角三角形 知识点一等腰三角形1 等腰三角形 有 相等的三角形叫做等腰三角形 两条边 2 等腰三角形性质 1 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形的对称轴是底边的 2 等腰三角形的底边上的 底边上的中线及顶角的 重合 3 等腰三角形的两个底角 垂直平分线 高 平分 线 相等 3 等腰三角形的判定 1 有两条边相等的三角形是等腰三角形 2 有两个 相等的三角形是等腰三角形 简称等角对等边 角 逆向运用等腰三角形 三线合一 的性质也可以判定三角形是等腰三角形 1 一边上的高线与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形 2 一边上的高线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 3 一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形 知识点二等边三角形1 等边三角形 三边都相等的三角形叫做等边三角形 2 等边三角形的性质 1 等边三角形的三条边 三个角都等于 2 等边三角形是轴对称图形 有 条对称轴 都相等 60 3 3 等边三角形的判定 1 三条边都相等的三角形是等边三角形 2 三个角都相等的三角形是等边三角形 3 有一个内角等于60 的 是等边三角形 4 有两个角等于 的三角形是等边三角形 等腰三角形 60 知识点三直角三角形1 勾股定理及其逆定理 1 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果用a b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边 那么a2 b2 c2 2 逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的重要依据 2 直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 3 直角三角形中30 角所对的直角边等于 4 直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的角等于 互余 一半 斜边的一半 30 3 直角三角形的判定 1 有一个角是 的三角形是直角三角形 2 有两个角 的三角形是直角三角形 3 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 4 如果三角形一边上的 等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 90 互余 中线 知识点四角平分线与线段的垂直平分线1 角平分线 1 性质定理 角平分线上的点 到这个角的两边的距离 2 判定定理 角的内部到角的两边距离 的点在角的平分线上 相等 相等 2 线段的垂直平分线 1 线段的垂直平分线 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 3 判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的 上 相等 垂直平 分线 考点一等腰三角形的性质与判定 5年2考 命题角度 等腰三角形的性质与判定例1 2017 昌乐一模 在正方形网格中 网格线的交点称为格点 如图是3 3的正方形网格 已知A B是两格点 在网格中找一点C 使得 ABC为等腰直角三角形 则这样的点C有 A 6个B 7个C 8个D 9个 分析 根据已知条件 分情况进行讨论 自主解答 如图 AB是腰长时 有4个点可以作为点C AB是底边时 有2个点可以作为点C 满足条件的点C的个数是4 2 6 故选A 讲 分类讨论解等腰三角形问题在求解与等腰三角形有关的问题时 如果腰或者顶角不确定 那么需要分类讨论进行求解 最易犯错的地方就是忽略分类讨论 导致漏解 练 链接变式训练3 1 2017 烟台 某城市几条道路的位置关系如图所示 已知AB CD AE与AB的夹角为48 若CF与EF的长度相等 则 C的度数为 A 48 B 40 C 30 D 24 D 2 2016 滨州 如图 ABC中 D为AB上一点 E为BC上一点 且AC CD BD BE A 50 则 CDE的度数为 A 50 B 51 C 51 5 D 52 5 D 3 已知等腰三角形的底边长为10cm 一腰上的中线把三角形的周长分为两部分 其中一部分比另一部分长5cm 那么这个三角形的腰长为 cm 15 等边三角形的性质与判定例2如图 过边长为1的等边 ABC的边AB上一点P 作PE AC于E Q为BC延长线上一点 当PA CQ时 连接PQ交AC于D 则DE的长为 分析 过P作PF BC交AC于F 得出 APF为等边三角形 推出AP PF QC 根据等腰三角形性质求出EF AE 证得 PFD QCD 推出FD CD 进而求得DE 自主解答 如图 过P作PF BC交AC于F PF BC ABC是等边三角形 PFD QCD APF是等边三角形 AP PF AF PE AC AE EF AP PF AP CQ PF CQ 又 PDF QDC PFD QCD FD CD AE EF EF FD AE CD AE CD DE AC AC 1 DE 故选A 4 如图 直线l m n 等边 ABC的顶点B C分别在直线n和m上 边BC与直线n所夹锐角为28 则 的度数为 A 28 B 30 C 32 D 45 C 5 如图 等边 ABC的边长为6 ABC ACB的角平分线交于点D 过点D作EF BC 交AB AC于点E F 则EF的长度为 4 考点二勾股定理及其逆定理 5年3考 例3 2017 昌乐一模 如图 点C为线段AB上一点 将线段CB绕点C旋转 得到线段CD 若DA AB AD 1 BD 则BC的长为 分析 首先由旋转变换的性质得CD CB 运用勾股定理求出AB的长度 再次运用勾股定理列出关于CB的方程 求出CB即可 自主解答 由题意得CD CB 在Rt ABD中 AB 4 在Rt ACD中 由勾股定理得AC2 AD2 DC2 即 4 BC 2 12 BC2 解得BC 故答案为 6 如图 在 ABD中 D 90 CD 6 AD 8 ACD 2 B 则BD的长是 A 12B 14C 16D 18 C 7 如图 四边形ABCD中 AB AD于A AB 8 AD 8 BC 7 CD 25 则四边形ABCD的面积为 考点三直角三角形的性质 5年1考 例4如图 已知 AOB 60 点P在边OA上 OP 10 点M N在边OB上 PM PN 若MN 2 则OM A 3B 4C 5D 6 分析 过点P作PH MN于H 根据等腰三角形的性质求出MH 根据直角三角形的性质求出OH 进而求得OM 自主解答 如图 作PH MN于H PM PN MH NH MN 1 AOB 60 OPH 30 OH OP 5 OM OH MH 4 故选B 直角三角形的性质 1 两锐角互余 2 勾股定理 3 斜边的中线等于斜边的一半 4 30 角所对的直角边等于斜边的一半 8 如图 Rt ABC中 ACB 90 A 55 将其折叠 使点A落在边CB上A 处 折痕为CD 则 A DB A 40 B 30 C 20 D 10 C 9 如图 正方形网格的边长为1 点A B C在网格的格点上 点P为BC的中点 则AP 考点四角平分线与线段的垂直平分线 5年2考 命题角度 角平分线的性质与判定例5 2017 高密一模 如图 在 ABC中 CD是AB边上的高 BE平分 ABC 交CD于点E BC 5 DE 2 则 BCE的面积等于 A 10B 7C 5D 4 分析 作EF BC于F 根据角平分线的性质求得EF的长 然后根据三角形面积公式求解即可 自主解答 如图 作EF BC于F BE平分 ABC ED AB EF BC EF DE 2 S BCE BC EF 5 2 5 故选C 10 如图 AB CD BP和CP分别平分 ABC和 DCB AD过点P 且与AB垂直 若AD 8 则点P到BC的距离是 4 命题角度 线段的垂直平分线的性质与判定例6如图 在 ABC中 D为BC的中点 AD BC E为AD上一点 ABC 60 ECD 40 则 ABE A 10 B 15 C 20 D 25 分析 根据等腰三角形的性质可知AD是BC的垂直平分线 从而可求出 ABE的值 自主解答 D为BC的中点 AD BC EB EC AB AC EBD ECD 40 ABC ACD 60 ABE 60 40 20 故选C 线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 利用这个性质可以证明两条线段相等 进而由等腰三角形的性质解决相关的问