北京理工 土木工程制图与CAD 第六章曲面立体

第6章曲面立体 6 1曲线与曲面6 2曲面立体的投影6 3平面截切曲面体6 4直线与曲面体相交6 5平面体与曲面体相贯6 6两曲面体相贯 6 1曲线与曲面 6 1 1曲线的形成与分类曲线可以是一个动点连续运动的轨迹 如图6 1 a 所示圆的渐开线 也可以是平面与曲面或曲面与曲面的交线 如图6 1 b 所示 根据曲线上各点的相对位置 曲线可分为平面曲线和空间曲线两大类 平面曲线 曲线上所有点都在同一平面内的曲线 称为平面曲线 如圆 椭圆 抛物线 双曲线等 空间曲线 曲线上的点不在一个平面内运动所形成的曲线 称为空间曲线 如圆柱螺旋线等 下 页返回 6 1曲线与曲面 6 1 2曲线的投影与投影特性平面曲线的投影一般仍为曲线 如椭圆的投影仍为椭圆 抛物线的投影仍为抛物线等 但是当平面曲线所在的平面垂直于某一投影面时 曲线在该投影面上的投影积聚成一条直线 如图6 2 b 所示 当平面曲线所在的平面平行于某一投影面时 曲线在该投影面上的投影反映实形 如图6 2 c 所示 6 1 3曲面的形成和分类1 曲面的形成曲面是一条动线在一定的约束条件下连续运动的轨迹 上 页下 页返回 6 1曲线与曲面 2 曲面的分类1 按母线的形状分类按母线的形状可分为直纹曲面和非直纹曲面 凡可由直线为母线形成的曲面 称为直纹曲面 而只能由曲线为母线形成的曲面 则称为非直纹曲面 直纹曲面 非直纹曲面也可分别称为直线面 曲线面 2 按曲面能否展开分类按曲面能否展开成平面可分为可展曲面和不可展曲面 3 按曲面能否由母线旋转分类按曲面能否由母线旋转而形成可分为回转面和非回转面 上 页下 页返回 6 1曲线与曲面 6 1 4圆柱螺旋面1 圆柱螺旋面的形成一条直母线一端以圆柱螺旋线为曲导线 另一端以回转轴线为直导线 并始终平行于与轴线垂直的导平面运动所形成的曲面 称为平螺旋面 如图6 5所示 平螺旋面在工程中应用广泛 其中螺旋楼梯就是平螺旋面在工程中的应用实例 由图6 7 a 可知 螺旋楼梯的每个踏步都是由扇形的踏面 矩形的踢面 平螺旋面的底面及里外两个圆柱面围成的 上 页下 页返回 6 1曲线与曲面 6 1 5非回转直纹曲面1 可展直纹曲面可展直纹曲面上相邻两素线是相交或平行的共面直线 这种曲面可以展开 即可以摊平在一个平面上 常用的可展直纹曲面有锥面和柱面 它们分别由直母线沿着一根曲导线移动 并始终通过一定点或平行于一直导线而形成 1 锥面直母线SA沿着曲导线AB移动 并始终通过定点S所形成的曲面称为锥面 锥面上相邻两素线是相交直线 如图6 8 a 所示 上 页下 页返回 6 1曲线与曲面 2 柱面直母线AC沿着曲导线AB移动 并始终平行于一直导线MN时 所形成的曲面称为柱面 如图6 10 a 所示 柱面上相邻两素线是平行直线 2 不可展直纹曲面不可展直纹曲面又称为扭曲面 扭曲面上相邻两素线是交错的异面直线 这种曲面不能摊平在一个平面上 只能近似地展开 建筑工程上常用的扭曲面有双曲抛物面 锥状面和柱状面 1 双曲抛物面 上 页下 页返回 6 1曲线与曲面 一直母线沿着两条交错的直导线连续移动 并始终平行于一个导平面所形成的曲面称为双曲抛物面 2 锥状面一直母线沿一直导线和一曲导线连续运动 并始终平行于一导平面所形成的曲面称为锥状面 3 柱状面一直母线沿两条曲导线连续运动 同时始终平行于一导平面所形成的曲面称为柱状面 上 页返回 6 2曲面立体的投影 1 圆柱面的形成及其投影直母线绕与其平行的轴线回转而形成的曲面 称为圆柱面 如图6 15 a 所示 图6 15 b 所示为一轴线垂直于H面的圆柱面及其在三个投影面上的投影 图6 15 c 所示为该圆柱面的三面投影图 由于圆柱面上的所有素线都垂直于H面 所以圆柱面在H面的投影为一圆形 2 圆柱面上的点确定圆柱面上点的投影 可以利用圆柱面在某一投影面上的积聚性进行作图 下 页返回 6 2曲面立体的投影 例6 1已知点A B C为网柱面上的点 根据图6 16 a 所给的投影 求它们的其余两投影 作图步骤 如图6 16 b 所示6 2 2圆锥1 圆锥面的形成及其投影直母线绕与其相交的轴线回转而形成的曲面 称为圆锥面 如图6 17 a 所示 锥面所有的素线与轴线交于一点S 称为锥顶 当圆锥面的轴线垂直于H面时 它的三面投影如图6 17 b 6 17 c 所示 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 2 圆锥面上的点确定圆锥面上点的投影 需要用辅助线作图 根据圆锥面的形成特点 用素线和纬圆作为辅助线进行作图最为简便 利用素线和纬圆作为辅助线来确定回转面上点的投影的作图方法 分别称为辅助素线法和辅助纬圆法 例6 2已知圆锥面上点A B的投影a b 如图6 18 a 所示 求作点A B的其余两投影 1 辅助素线法作图如图6 18 b 所示 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 2 辅助纬网法作图如图6 18 c 所示3 判断可见性点A的H面投影a在圆锥面左前部 a a 可见 点B的H面投影b在圆锥面右后部 b b 均不可见 6 2 3球1 圆球面的形成及其投影由圆母线绕圆内一直径回转而形成的曲面 称为网球面 如图6 19 a 所示 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 图6 19 b 所示为圆球面及其在三投影面上的投影 图6 19 c 所示为该圆球面的三面投影图 网球面的三面投影均为直径等于圆球面直径的圆 2 圆球面上的点在网球面上确定点的投影 根据网球面的形成特点 要用辅助纬圆法 为作图简便 可以设圆球面的固转轴线垂直任一投影面 纬圆在该投影面上的投影即反映实形 所以在圆球面上确定点的投影所应用的辅助纬圆法 可以认为是平行于任一投影面的辅助圆法 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 例6 3根据图6 20 a 所给出的网球面上点M N的投影m n 完成点M N的其余两投影 1 由m 求作点M的其余两投影时 可设网球面的回转轴线垂直于H面 作图步骤如图6 20 b 所示 2 当由n求作点 的其余两面投影时 也可设网球面的回转轴垂直于V面 过点N的纬网在V面上的投影反映实形 作图步骤如图6 20 c 所示 3 判断可见性 点m 在圆球面右前上方 m可见 m 不可见 点n在圆球面左后下方 n 不可见 n 可见 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 6 2 4环面一圆母线绕与它共面的圆外直线旋转而形成的曲面称为圆环面 如图6 21所示 该直线称为圆环面的轴线 1 圆环面的三面投影当圆环面的轴线垂直于H面时 网环面的水平投影是三个同心圆 它们分别是圆环面的赤道网 点a的运动轨迹 喉网 点b的运动轨迹 和母线圆心运动轨迹 用点面线表示 的实形投影 2 在圆环面上取点当网环面轴线垂直于投影面时 在圆环面上定点只能采用纬网法 上 页下 页返回 6 2曲面立体的投影 例6 4已知圆环面上各点的一个投影 如图6 22 a 所示 求它们的另一个投影 作图步骤如图6 22 b 所示 上 页返回 6 3平面截切曲面体 同平面截切平面立体类似 平面截切曲面体 可看作平面与立体相交或立体被平面所截 该平面称为截平面 截平面与立体表面的交线称为截交线 截交线所围成的平面图形称为断面 截交线的顶点称为截交点 在求作截交线时 常常先求出截交点 然后连成截交线 6 3 1平面截切圆柱1 作图分析如图6 23所示 因为截平面P是正垂面 所以椭圆的正面投影积聚在P 上 水平投影与圆柱面的水平投影重合为圆 侧面投影为椭圆 下 页返回 6 3平面截切曲面体 2 作图过程1 求特殊点由图6 23 a 可知 最低点4 最高点C是椭圆长轴两端点 也是位于圆柱最左 最右素线上的点 2 求中间点为了作图的准确性 还必须在特殊点之间作出适当数量的中间点 如图6 23 a 所示的E F G H各点 3 依次光滑连接a e b f c g d h 6 3 2平面截切圆锥当平面截切网锥时 由于截平面与圆锥的相对位置不同 截交线的形状也不同 见表6 2 上 页下 页返回 6 3平面截切曲面体 1 作图分析因为截平面为正平面 所以截交线的水平投影积聚为直线 并可由截交线的水平投影用辅助纬圆法或辅助素线法求作正面投影 如图6 24所示 1 求特殊点截交线的最低点a b是截平面与网锥底圆的交点 可直接作a b和a b 2 求中间点在截交线的适当位置作水平纬圆 该圆的水平投影与截交线的水平投影交于d e 即为截交线上两点的水平投影 由d e作出d e 上 页下 页返回 6 3平面截切曲面体 6 3 3平面截切球当平面与球相交时 截交线总是圆 当截平面平行于投影面时 截交线 圆 在该投影面上的投影反映实形 当截平面垂直于投影面时 截交线 圆 在该投影面上的投影积聚成一条长度等于截交线 圆 的直径的直线 当截平面倾斜于投影面时 截交线 网 在该投影面上的投影为椭网 这时 在作截交线 网 的特殊点中 应首先作出投影椭圆的长短轴顶点 上 页返回 6 4直线与曲面体相交 直线与曲面立体表面相交 在立体表面上产生的交点称为贯穿点 6 4 1直线与圆柱相交当直线或立体表面的投影具有积聚性时 可以利用积聚性投影直接得到贯穿点的一个投影 然后求出其他的投影 例6 6已知网柱体和直线相交 求贯穿点 作图步骤如图6 27 b 所示 1 求贯穿点的投影2 判别可见性 下 页返回 6 4直线与曲面体相交 6 4 2直线与圆锥相交例6 7如图6 28所示 已知圆锥体S和直线AB相交 求贯穿点 分析 从已知条件可知 一般位置直线与圆锥体的锥面相交 因此求贯穿点只能用辅助平面法 首先研究包含直线AB选取何种位置平面为辅助平面方可使截切圆锥体所得的截交线的一个投影为直线或圆 作图步骤如图6 28 c 所示 1 作辅助平面2 求辅助平面与圆锥体的截交线 上 页下 页返回 6 4直线与曲面体相交 3 求贯穿点4 判别可见性6 4 3直线与球相交例6 8求直线AB与网球体的贯穿点 如图6 29所示 作图步骤如下 1 求贯穿点2 判别可见性 上 页返回 6 5平面体与曲面体相贯 工程形体常常是由两个或更多的基本几何形体组合而成的 两立体相交 称为立体相贯 这样的立体称为相贯体 相贯线的基本性质如下 1 相贯线是两相贯体表面的共有线 相贯线上每个点都是两立体表面的共有点 2 由于立体表面有一定的范围 所以相贯线一般是闭合曲线 仅当两立体具有重叠表面时 相贯线才不闭合 6 5 1平面体与圆柱相贯有时当平面立体的某个侧面与圆柱或圆锥面的素线相贯时 相贯线可能有直线 此时相贯线是由平面曲线和直线组合而成 相贯线中的每一段平面曲线或直线均是平面立体的某个 下 页返回 6 5平面体与曲面体相贯 侧面与曲面立体的截交线 其相邻两平面曲线之间的转折点就是平面立体的棱线与曲面立体的贯穿点 6 5 2平面体与圆锥相贯例6 10求圆锥与四棱柱的相贯线的V W投影 如图6 32所示 分析由图6 32 a 可以看出 它可以看成是铅垂的方形立柱与圆锥形底座全贯 但只在上方产生一条相贯线 H投影积聚在方柱棱面上 四段曲线为双曲线 分别在V W面上积聚或反映实形 作图步骤如图6 32 b 所示 上 页下 页返回 6 5平面体与曲面体相贯 6 5 3曲面体与球相贯当两回转体共轴线时 其相贯线是垂直于回转体轴线的网 当轴线垂直于某投影面时 相贯线在该投影面上的投影为圆 且反映实形 另外两个投影面上的投影积聚为垂直于轴线的直线段 上 页返回 6 6两曲面体相贯 两曲面立体相交 其相贯线一般情况下是封闭的空间曲线 如图6 34显示两种相贯体的直观图 两曲面立体的相贯线是两曲面立体表面的共有线 相贯线上的点是两个相交曲面立体的共有点 因此 求作两曲面立体的相贯线时 一般是先作出两曲面立体表面上一系列共有点的投影 然后再连成相贯线的投影 6 6 1用直接作图法求作相贯线如果相交的两个曲面立体中 有一个立体表面的投影具有积聚性 如垂直于投影面的网柱体 时 就可以利用在曲面立体表面上取点的方法作出两曲面立体表面上的一系列共有点的投影 下 页返回 6 6两曲面体相贯 6 6 2用辅助面法作相贯线如图6 36所示 为求两个曲面立体的相贯线 可以用辅助截平面切割这两个立体 得到的两组截交线必然相交 根据 三面共点 两个曲面和辅助截平面的公共点 原理可知 该交点就是相贯线上的点 用辅助截平面求相贯线上点的方法称为辅助平面法 在作图时 首先要选取合适的辅助截平面 然后分别作出辅助截平面与两个曲面立体的截交线 得到截交线的交点 依次连接这些点并判别可见性 即得这两个曲面立体的相贯线 上 页下 页返回 6 6两曲面体相贯 6 6 3两曲面体相贯的几种特殊情况1 两圆柱面的轴线平行当两网柱面的轴线平行时 两网柱面的交线为直线 2 两圆锥面共顶当两网锥面共顶时 相贯线为直线 3 两回转体共轴当两回转体共轴时 它们的相贯线为圆 并且圆所在的平面垂直于公共轴线 如图6 40所示 4 两回转体共切于圆球面当两个二次曲面 如圆柱面 圆锥面 共切于另一个二次曲面 如网球面 时 则这两个二次曲面的相贯线是平面曲线 上 页返回 图6一1曲线的形成 返回 图6一2曲线的投影特性 返回 图6一5平螺旋面的形成 返回 图6一7螺旋楼梯的构成及投影图画法 返回 图6一8锥面的形成及投影 返回 图6一10柱面的形成及投影 返回 图6一15圆柱面 返回 图6一16圆