两个单调函数乘积的单调性毕业论文.doc

2014届信息与计算科学专业毕业论文两个单调函数乘积的单调性毕业论文目 录摘要：I关键词IAbstractII1 引言12 单调函数基本理论12. 1 定义12. 2 性质33 单调函数的判定33. 1 定义法33. 2 利用复合函数性质判定43. 3 利用反函数性质判定53. 4 利用奇、偶函数性质判定63. 5 求导法74 函数单调性的应用84. 1 求函数的极值、最值以及值域84. 2 证明不等式94. 3 证明方程根的存在性以及判断根的个数115 探讨两个单调函数的乘积的单调情况115. 1 影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素115. 2 利用导数证明两个单调函数的乘积的单调情况125. 2. 1 乘积函数求导法则125. 2. 2 分情况讨论两个单调函数的乘积的单调性135. 3 举例论证相关结论146 结束语15致谢16参考文献171 引言 单调函数是历年高考考查的重要内容之一，考查方式之广，考查题目之多，无疑成为了老师教学的重点和学生学习的难点. 当只讨论一个简单函数的单调性时，问题并不难解决，如基本初等函数的单调性问题. 难点就在于函数经过运算之后的单调性问题，比如两个单调函数相乘或者是相除之后得到的新函数单调性问题. 对于这一点，有不少人会有错误的理解，如认为“两个单调增加函数的乘积必为单调增加函数”或者是“两个单调减少函数的乘积必为单调减少函数”. 这两种说法具体错在哪里呢？下面我们将紧紧围绕着函数单调性这个问题进行研究探讨. 2 单调函数基本理论2. 1 定义设函数的定义域为，若，且时，有（或），则称函数在上单调增加（或单调减少）. 若上式中等号不成立，即（或），则称函数在严格单调增加（或严格单调减少）. 函数在上单调增加、单调减少与严格单调增加、严格单调减少，均可称为函数在上单调. 严格单调增加与严格单调减少称为严格单调. 定义域称为函数的单调区间. 特别地，常数函数既是单调增加函数，又是单调减少函数【1】. （ 图2. 1单调增加函数） （图2. 2单调减少函数）例：几个常见函数的单调性.（1） 指数函数，当时，在上严格单调减少，当 时，在上严格单调增加；（2） 对数函数，当时，在上严格单调减少，当 时，在上严格单调增加；（3） 二次函数，当时，函数开口向上，在上严格单调减少，在 上严格单调增加，当时，函数开口向下，在上严格单调增加，在 上严格单调减少.（指数函数，） （指数函数，）（对数函数，） （对数函数） （二次函数，） （二次函数，）（4） 反正切函数在上严格增加，反余切函数在上严格减少；（5） 一次函数，当时，在上严格减少，当时，在上严格增加；2. 2 性质性质2.1 若函数为增函数，则其图像在单调区间上逐渐上升（因变量随着自变量的增加而增大）；若函数为减函数，则其图像在单调区间上逐渐下降（因变量随着自变量的增加而减小）. 性质2.2 是在上的单调增加函数，若，则在上是单调增加函数，若 ，则在上是单调减少函数.性质2.3 设都是在上的单调增加函数，则函数也是在上是单调增加 函数.证：，且，由题意有与，则它们的和有， 即它们的和在上也是单调增加. 性质2.4 若都是在上的非负单调增加函数，则在上是单调增加函数.性质2.5 若是在上的正单调增加函数，则它的倒函数在上是单调减函数；性质2.6 若函数和分别在定义域和上单调，则复合函数在其定义域内 也单调，当且仅当和同指向单调时单调增加（在3.2中将给出详细 证明）.性质2.7 若是在上的单调函数，则的反函数在上也是单调函数，且与单调性相同（在3.3中将给出详细证明）.性质2.8 由奇函数的图像关于原点成中心对称，可知其在原点两侧的单调性相同；由偶函数 的图像关于原点成轴对称，可知其在原点两侧的单调性相反. 3 单调函数的判定在熟悉了有关函数单调性的定义和性质之后，我们可以推出几种判别函数单调性的方法，如定义法，复合函数法，反函数法，奇、偶函数法. 除此之外，我们还可以利用导数这一工具，简单而有效地判断出函数的单调性，下面将对这些方法一一进行讨论. 3. 1 定义法设为定义在上的函数，为定义域内的两个任意自变量，一般假设，给出函数之后，我们用2. 1中的定义来判断函数在上的单调性. 一般步骤如下：（1） 在定义域内任取，且；（2） 比较和的大小，一般用差值法，令；（3） 若，则函数在上单调增加；若，则函数在上单调减少. 例：判断函数在其定义域内的单调情况. 解：当时，任取且，则，又因为，且，所以，即，可知在上单调减少. 同理可证：在区间上，也单调减少，所以函数在定义域单调减少.3. 2 利用复合函数性质判定定义3.1【1】 设函数定义域为，函数定义域为，是定义域中使的，关于的非空子集，即 由对应关系可知，对应唯一一个，又由对应关系可知，对应唯一一个. 所以由对应关系和可知，都有唯一一个与之对应，于是在上定义一个函数，称为函数与的复合函数，即，称为中间变量. 复合函数单调性相关结论如下【7】：（1） 、在定义域内单调性相同时，函数单调增加；（2） 、在定义域内单调性相反时，函数单调减少；证：（1）设在定义域上单调增加，在定义域上单调增加. ，且时，有.令，当时，有，即在定义域上单调增加. 同理可证：当、单调减少时，单调增加. （2）设在定义域上单调减少，在定义域上单调增加. ，且时，有.令，当时，有，即在定义域上单调减少. 同理可证：当单调增加，单调减少时，单调减少. 用表格表示如下：（其中“”表示“函数在定义域内为单调增加函数”，“”表示“函数在定义域内为单调减少函数”）（表3.1）利用复合函数性质判断函数单调性的一般步骤为：（1） 将复合函数分解成简单函数；（2） 判断自变量的取值范围；（3） 判断每一个初等函数的单调性及相应单调区间；（4） 得出此复合函数在不同区间的单调性. 例：求 的单调区间. 解：令，其中函数的定义域为，函数的定义域为，要想生成复合函数，则必须要满足条件：，即， 此时有，定义域为：. 又因为函数在为减函数，在为增函数，所以： （1） 当时，函数单调增加，所以函数在上单调减少，在上单调增加；（2） 当时，函数单调减少，所以函数在上单调增加，在单调减少. 3. 3 利用反函数性质判定定义3.2【1】 设函数在数集上有定义，它的值域是，若，有（或）， 则称函数在到上一一对应. 定义3.3【1】 设函数在数集到上是一一对应的，即，必存在唯一一个，使，这样就新形成了一种由到对应关系，我们称之为函数的反函数，表示为由反函数的定义不难看到，反函数的定义域恰好是函数的值域，并且反函数的值域恰好是函数的定义域，函数与互为反函数，即有，. 一个函数要想存在反函数，则原函数中自变量和因变量必须存在唯一的对应关系. 常见的互为反函数的函数有：与；与；与；与，与. 反函数其实就是中，和互换了角色，了解反函数要注意以下几点性质：性质3.1 原函数与相应反函数之间的对应关系是相互的，且具有唯一性；性质3.2 和它的反函数的函数图像关于直线成轴对称；性质3.3 函数的定义域与值域一一对应，是函数存在反函数的充分必要条件；性质3.4 由于一般的偶函数都有两个自变量对应一个因变量，所以偶函数一般都不存在反函数（特例：是偶函数，它的反函数是）；由关于原点成中心对称的原因，大部分奇函数都存在反函数（特例：分段函数是奇函数，但不存在反函数）.性质3.5 原函数与其反函数在同一区间上单调性相同. 由以上几点我们不仅可以根据与原函数对应的反函数的单调情况来判断原函数的单调情况，还可以将反函数的性质与单调函数的性质相结合，解决其它数学问题. 例：已知是定义在上的单调递增函数，且有，证明. 证：（反证法）假设存在，使得，不妨.又因为是单调递增函数，且，所以也是上的单调递增函数. 由，得，又，即，所以，由是单调递增函数可知，与题中假设矛盾，故假设不成立，是正确的. 3. 4 利用奇、偶函数性质判定如果对于函数定义域内任意，有，则函数为偶函数（如：，）. 若对定义域内，都有，则函数为奇函数（如：，）. 奇函数的函数图像关于原点成中心对称，若函数为奇函数，必含有原点为其定义域中的一点，且. 不同的是，偶函数的函数图像则关于轴成轴对称. 他们之间的共同之处在于：奇、偶函数的定义区间都必须是关于原点对称，否则我们不能将其称为奇函数或者偶函数. 利用奇、偶函数的性质判断函数单调性，相关性质如下：性质3.6 两个（或多个）偶函数相加得偶函数，两个（或多个）奇函数相加得奇函数；性质3.7 一个偶函数与一个奇函数相加得非奇、非偶函数；性质3.8 两个（或多个）偶函数相乘得偶函数，两个（或多个）奇函数相乘得偶函数，一个偶函数与一个奇函数相乘得奇函数；性质3.9 偶函数求导得奇函数，奇函数求导得偶函数.证：若函数为偶函数，则，两边求导得，即，得的导函数为奇函数； 若函数为奇函数，则，两边求导得，即，得的导函数为奇函数 （图3. 1奇函数） （图3. 2偶函数）例：已知，且为定义在上的偶函数，在上单调增加，判断函数的单调性. 解：因为为定义在上的偶函数，且在区间上单调增加，所以在上单调减少.又因为有，且，所以，即，解得. 由函数的对称轴为，且开口向下，所以函数单调增加区间是，单调减少区间是. 3. 5 求导法定义3.4 设函数在的邻域内有定义，当某一点的变化量为时，则相应的函数值的改变量为，若极限 （3.1）存在，我们则称函数在处可导（或者说存在导数），（3.1）式的极限称为函数在处的导数，记为，即若（3.1）中极限不存在（即（3.1）式不能得到一个具体的数值，而是正负无穷大时），我们则称函数在不可导.将一点的导数扩大到整个函数的导数时时，我们有：若函数可导，则记为的导函数. 在本文前部分，我们已经熟悉了用定义法，复合函数法，反函数法，奇、偶函数法来判断函数的单调性，但这几种方法都有各自的局限性，如定义法的生搬硬套，不灵活；复合函数法，反函数法，奇、偶函数法的变化多样，需要仔细观察，不断的揣摩. 而只要函数是连续的，在给定区间内，我们就可以通过简单的求导过程来求出原函数的导函数，然后根据导函数的正负性进而轻而易举的判断出原函数的单调性和相应的单调区间. 设函数在区间上连续，在内可导，则：法则3.1 若（至多有限个点使），则在上单调增加；法则3.2 若（至多有限个点使），则在上单调减少. 步骤：（1） 确定函数的定义域；（2） 求导函数；（3） 判断与0的大小，并按照法则3.1和3.2得到相应结论.例：求函数的单调区间. 解：对原函数求导得，令，解得或者，得的单调增区间为和，令，得，所以的单调减区间为4 函数单调性的应用 在了解了函数单调性的判定方法和相关性质之后，下一步我们需要解决的是函数单调性的应用问题，本节将函数单调性的应用问题分为以下三个方面. 4. 1 求函数的极值、最值以及值域 极值：若函数在点的去心邻域内对有，则称函数在点处为极大值，是极大值点. 若则称函数在点处取得极小值，是极小值点. 极大值与极小值都可称作极值，极大值点与极小值点都可称作极值点【5】. 最值：设函数的定义域为，若，满足，有；，使得这两个条件. 则称是的最小值；设函数的定义域为，若，满足，有；，使得这两个条件. 则称是的最大值；对于函数的极值、最值我们需要注意以下几个性质：性质4.1 一个函数可能存在多个极值；性质4.2 函数的极值之间不存在任何形式的绝对大小关系；性质4.3若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上必能取到最大值与最小值.（图4. 1 函数极值与最值）利用单调性求函数值域的一般步骤如下：（1） 确定函数的定义域，并令，则可求得函数的驻点；（2） 判断（1）中所求驻点是否为极值点，若是，则求出其相应函数值；（3） 找出函数中导数不存在的点和区间的端点，并求出这些点函数值（若定义区间为开区间，则求端点处的极限）；（4） 比较（2）、（3）中所有函数值的大小，得出函数的最值，即可求得函数的值域；例：求函数在区间的极大值、极小值以及值域. 解： ，令，得，所以导数为零的点将定义域分为三个区间，分别是，. 驻点函数值为， ，端点函数值为，. 列表如下：23端点00端点极大值2极小值1（表4.1）所以函数的极大值为，极小值为，值域为. 4. 2 证明不等式定理【1】 ：设函数在区间可导. 函数在区间单调增加（单调减少）有.证：只给出单调增加情况的证明，同法可证单调减少的情况.必要性（），取(若是区间的端点，则只讨论或).已知函数在区间单调增加，当时，有或；当时，有或，从而，.又已知函数在可导，根据极限的保号性可知，有.充分性（），且，函数在区间满足微分中值定理的条件，有，已知，有或（），即函数在区间单调增加.要想根据上述定理来证明不等式，首先假设不等式左右两边的式子分别为、，令函数，我们就可以根据定理得到证明函数不等式的系列结论【8】：（1） 设在定义区间内可导，当且时，有；反之当且时，有. 证：根据引理可知，当时，有在内单调增加，所以，即，进一步可知. 同理可证且时，有. （2） 设在定义区间内可导，当且时，有；反之当且时，有. 证：根据引理可知，当时，有在内单调增加，所以，即，进一步可知. 同理可证，且时，有. （3） 设在定义区间内可导，则有；反之当，且时，有. 证：由可知是在区间上的单调增函数，所以，即为上的单调增函数. 由增函数性质可知，即，所以. 同理可证，且时，有. （4） 设在定义区间内可导，则有；反之当，且时，有. 证：由可知是在区间上的单调增函数，所以，即为上的单调减函数. 由增函数性质可知，即，所以. 同理可证，且时，有. 例1：当时，证明证：令函数，则. 因为时，得，所以函数在内为严格单调减函数，即，而， ，所以，得证. 例2：若，证明【4】.证：记，则是关于的一次函数，又因为，所以，.故由一次函数的单调性可知，恒有，即，于是.4. 3 证明方程根的存在性以及判断根的个数零点定理1：如果函数在闭区间连续，且有（即与符号不同），那么函数在开区间上至少存在一个点，使得. 由零点定理可知，若函数满足上述条件，且在严格单调，则可知方程在定义域内有且仅有一个实根. 例：证明方程有一个实根，且这个实根是其唯一的实数根. 证：令，因为，且，得，所以在内至少有一个零点.由，且，得，即在上单调增加，所以方程有且仅有一个实根5 探讨两个单调函数的乘积的单调情况经过对以上问题的研究讨论之后，我们已经了解到了函数单调性的重要意义，接下来，我们将对单调函数进行推广，开始探讨单调函数之间经过简单运算之后得到的新函数的单调性问题. 在论文前部分2. 2的性质中已经提到了两个单调函数经过简单的加、乘、倒数、反函数以及复合函数等运算之后的单调性的变化情况，下面我们将着重讨论两个单调函数的乘积的单调性. 5. 1 影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素要想知道两个单调函数的乘积的单调性，必须先明白影响两个单调函数的乘积的单调性的可能因素. 毫无疑问，这必然跟原函数的单调性密切相关，所以在探讨两个单调函数的乘积的单调情况之前，我们必须先知道原函数的单调情况. 此外，由单调增函数（或者减函数）乘以一个负数，其单调性变为减（或者增），而单调增函数（或者减函数）乘以一个正数，其单调性仍为增（或者减）. 可以清楚的知道两个单调函数相乘之后的单调性还跟原函数函数值的正负性有关. 下面，我们将通过一个例题来引入这个问题. 例：已知，判断函数的单调性2. 解：令，求导得：，.令，即，求得函数值为零的点是：或者；令，即，求得驻点是：；令，即，求得拐点是：. 所以，在上单调增加，在上单调减少. 总结上述情况，我们可以将函数在定义域上分为六个区间，并把各个区间的单调情况用图表表示出来，（我们约定“”表示“函数值为正值，且函数为增函数”，“”表示“函数值为负值，且函数为增函数”，“”表示“函数值为正值，且函数为减函数”，“”表示“函数值为负值，且函数为减函数”）. 单调情况如下表所示：（表5.1）上述例题已经在一定程度上反应了两个单调函数的乘积的单调性与原函数的单调性和原函数函数值的正负性密切相关. 那么两个单调函数相乘是不是总能得到具有单调性的函数呢？事实并非如此，最容易想到的一个事例就是当，时，我们知道是整个上的单调增加函数，在是单调减函数. 它们的乘积，是常数函数，不具有单调性. 所以说，并不是所有的由单调函数相乘得到的新函数都具有单调性. 5. 2 利用导数证明两个单调函数的乘积的单调情况5. 2. 1 乘积函数求导法则在5. 1中，只是从一个简单例题的特殊角度观察出了影响两个单调函数的乘积的单调性的两个因素，并没有在理论上证明. 接下来，我们将借助导数理论，利用3.5中的法则3.1和法则3.2给出证明和相应的判断准则. 首先，我们需要知道乘积函数的求导法则：定理1：若函数与在可导，则函数在也可导，且 （5.1）证：设，有 ，则. 又因为函数与在可导， 所以与由可导连续可知，在连续，所以，所以 ，得证. 5. 2. 2 分情况讨论两个单调函数的乘积的单调性由公式（5. 1）中我们可以知道，有了这个公式之后我们就可以利用求导法来判断两个单调函数的乘积的单调性，具体证明如下表：第一种情况：当函数的函数值为正值时（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定（表5.2）第二种情况：当函数的函数值为负值时（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定不确定（表5.3）5. 3 举例论证相关结论此小节为论证环节，将对针对5. 2中给出的具有代表性的结论举出相应的例子，更进一步验证结论的正确性. 情形（1） 设函数，且自变量，满足条件：函数单调增加，且函数值为正，函数单调增加，且函数值为正. 得，易知当时，函数单调增加，成立. 这种情况可以简单的概括为：同增同正，得增. 情形（2） 第一种情况：设函数，且自变量，满足条件：函数单调增加，且函数值为正，函数单调增加，且函数值为负. 得，为常数函数，不具备单调性. 第二种情况：设函数，且自变量，满足条件：函数单调增加，且函数值为正，函数单调增加，且函数值为负. 得，易知当时，函数单调增加. 第三种情况：设函数，且自变量，满足条件：函数单调增加，且函数值为正，函数单调增加，且函数值为负. 得，易知当时，函数单调减少. 从这三种情况来看，原函数一增一减，一正一负的两个单调函数的乘积的单调性不能确定，得到的函数可能是增函数，也可能是减函数，甚至可能是常数函数. 情形（4） 设函数，且自变量，满足条件：函数单调增加，且函数值为正，函数单调减少，且函数值为负. 得，易知当时，函数单调减少，成立. 这种情况可以简单的概括为：一增一减，一正一负