随机变量的数字特征.doc

概率论与数理统计 第4章 数字特征第4章 随机变量的数字特征上一章我们学习和讨论了随机变量及其分布，我们知道了分布函数能够全面地描述随机变量的统计特征。但是，在实际问题中，这样“全面描述”有时并不使人感到方便。举例来说，已知在同一品种的母鸡群中，一支母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果我们要比较两个品种母鸡的年产蛋量，通常只要比较两个品种母鸡的年产蛋量的平均值就可以了。平均值大意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是“较好”的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只是看它们的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速作出判断。这样的例子可以举出很多：再如要比较不同地区的粮食收成时，在许多场合一般只比较不同地区的平均亩产量；要比较不同班级的学习成绩，通常就是比较考试中的平均成绩等。可能有同学要问：如果要比较的不同群体的平均值是相等的，如何判断其优劣呢？也有办法：我们可以考察个体与平均值的偏离程度，偏离程度较小，就较“优”。或者，我们同时考察平均值和偏离程度，平均值越大，偏离程度越小，就越“优”。总之，从以上的例子可以看出：与随机变量有关的某些数值（平均值，偏离程度），虽然不能全面地描述随机变量，但却能描述出随机变量的某些方面的重要特征。这些数字特征在理论上和实践中均有重要意义。本章我们就来讨论随机变量的常用的数字特征：数学期望、方差和各阶矩。 4.1 数学期望1.数学期望的定义 (我们先从一个例子来说明数学期望的意义)例4.1: 一个车间生产某种零件,检验员每天随机地抽取个零件进行检验.那么,查出的废品件数是一个随机变量.如果设检查了天,出现废品件数为0,1,2, 的天数分别为, (显然, . ) 那么, 天出现废品的总数为：。天出现废品总数的算术平均值为： ，其中恰是“出现个废品”的频率。于是，算术平均值 = ；设“出现个废品”的概率 为 ，由第一章中关于频率和概率的关系的讨论可知，在求平均值时，理论上应该用概率代替频率，这时得到的平均值才是理论上的（真的）平均值。（在第5章，我们将证明这一点。即：当很大时，）但 不是极限关系。我们就称为随机变量的数学期望。下面我们就来给出数学期望的一般定义。定义1： 设离散随机变量的概率函数为。如果级数绝对收敛，则称之为随机变量的数学期望。记为：；有时也称为的均值。定义2： 设连续随机变量的概率密度函数为。如果广义积分绝对收敛，则称之为随机变量的数学期望。记为：。例4.2： 甲、乙两个人进行打靶，所得分数分别记为、，它们的分布律分别为 0 5 10 0 5 10 00.20.8 0.3 0.5 0.2 试评定他们成绩的好坏. 解: 这意味着,如果甲进行多次射击,所得分数的(算术)平均值为9, 如果乙进行多次射击,所得分数的(算术)平均值仅为4.5;很明显, 乙的成绩远不如甲的成绩.例4.3 有5个工作相互独立的电子装置,它们的寿命服从同一指数分布,其概率密度函数为: (1).若将这5个电子装置串联工作组成整机,求整机寿命的数学期望. (2).若将这5个电子装置并联工作组成整机,求整机寿命的数学期望.解: 由上一章关于指数分布的讨论知:的分布函数为: (1). 5个工作相互独立的电子装置串联工作组成整机,如果有一个损坏,整机就停止工作,所以 整机寿命; 相互独立。 在上一章我们曾讨论了独立,的分布函数为: = . 将该结论推广应用到本例就有的分布函数为: 即 因而, 的概率密度函数 于是 的数学期望 （2）. 5个工作相互独立的电子装置并联工作组成整机,只有所有装置都损坏,整机才停止工作,所以 整机寿命; 相互独立。 在上一章我们曾讨论了独立,的分布函数为: = . 将该结论推广应用到本例就有:的分布函数为: 即: 因而, 的概率密度函数 于是 的数学期望 。比较并联和串联5个工作相互独立的电子装置组成的系统的平均寿命： 可知：5个工作相互独立的电子装置并联组成的系统的平均寿命 是 5个工作相互独立的电子装置串联组成的系统的平均寿命的11.4倍。 例4.4： 证明：（1）若（二项分布） ，则 。 （2）若（泊松分布）， 则 。 （3）若 在区间上服从均匀分布，则 。 （4）若（指数分布）， 则 。 证明：略。（见书P97 99页） 例4.5： 若随机变量的概率密度为，称服从柯西分布。 问：是否存在？解：因为广义积分而 即不收敛，所以不存在。 例4.5说明： 服从柯西分布的随机变量的数学期望不存在。同时也说明：不是所有随机变量都有数学期望。例46 设 ，则 。 证： ，令那么 = = 2随机变量函数的数学期望 随机变量函数的数学期望的计算方法可以归纳为两种：（1） 按定义计算： 设为随机变量，为随机变量的函数。那么先求出随机变量函数的分布律或概率密度，然后再按离散随机变量数学期望的定义或连续随机变量数学期望的定义计算出其数学期望。（2） 直接计算：（四个定理）（这里，我们仅给出定理，而不予证明。因为目的是让同学们了解随机变量函数的数学期望也可以直接计算，而且直接计算往往比较方便。） 定理1：设为离散随机变量，其分布律为是实值函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望。 定理2：设为连续随机变量，其概率密度函数为是实值函数，且广义积分绝对收敛，则随机变量函数的数学期望。 定理3：设二维离散随机变量的联合概率函数为是实值函数，且级数绝对收敛，则随机变量函数的数学期望 。定理4： 设二维连续随机变量的联合密度函数为是实值函数，且广义积分绝对收敛，则随机变量函数的数学期望 。 （定理1，2，3，4的重要意义在于：在我们求随机变量函数或的数学期望时，不必知道函数或的分布，而只需知道随机变量或的 分布就可以了。 ）例47： 设随机变量相互独立，概率密度函数分别为 ， ， ， ， 求：随机变量 的 数学期望 。解：（方法一） 按定义计算. 由第3章，关于相互独立连续随机变量的和的分布的讨论知： 应用到在本题中： ， ， 按数学期望的定义得： （方法二） 按定理直接计算。 ，的联合密度函数 其它 。显然直接计算较为简便。3数学期望的性质(1).设为常量,则. (2).设随机变量的数学期望为,为常量, 则 有 . (3).设随机变量与的数学期望分别为与, 则 有 . (4). 设随机变量的数学期望分别为,存在为常量. 则 有 . (5). 设随机变量与相互独立,数学期望分别为与, 则有 : . 例4.8: 设,求. 解: (前面我们按定义证明了二项分布的数学期望,现在我们利用数学期望的性质来求之.) 我们把看作个随机变量的和,即; 其中, 即 服从分布, . 而 , 那么有数学期望的性质4知:. 在伯努利概型中,事件A在每次试验中发生的概率为,则: 事件A在次独立试验中发生的次数.当时, ,0-1分布. 3.2 方 差 数学期望表示了随机变量的平均取值情况，是均值。但数学期望不能反映出随机变量取值的稳定性，在许多问题中，只知道数学期望还不能解决问题。 例49： 甲、乙两个工人生产同一种零件，经检验得到他们生产相同数量的产品中，次品数X，Y的分布列为：X 0 1 2 3 0.1 0.3 0.4 0.2 试问：哪个工人的技术水平较高？Y 0 1 2 30.2 0.1 0.5 0.2 （一般情况下，我们可以看谁出错少，即平均次品数少。）二者的平均次品数相等。仅根据数学期望无法判断谁的技术水平高。那么我们就要考虑二者谁的质量稳定性好，即考虑与其均值的偏离程度：（差的绝对值） 及的取值情况。由于绝对值不便于运算，不妨用（平方值）来衡量偏离程度。但是也是随机变量，应该用它们的均值来衡量偏离程度，即用和来衡量偏离程度。这就是我们要定义的方差。1 方差的定义定义1： 设随机变量的数学期望存在，如果的数学期望存在，则称为的方差，记为。 称为的标准差或均方差，记为，即=，或 。（由方差的定义知，显然 。） （1） 若为离散随机变量，其概率分布律为如果级数收敛，则离散随机变量的方差 。 （2）若为连续随机变量，其概率密度函数为如果广义积分 收敛，则连续随机变量的方差 。 现在我们再回到例4.9中，就容易作出判断了。 因为我们容易计算出 由于，所以 甲的技术比乙好。（出错一样，但甲的稳定性好。）(由方差的定义及数学期望的性质，可以推导出如下定理。)定理1： 设随机变量的数学期望 存在，且也存在，则有： 。证明： （把看成常量） （定理1的意义在于：除了按定义计算方差以外，定理1给出了计算方差的另外一种方法。而且按定理1计算方差往往更简便。）例4.10： 设服从参数为的（0-1）分布，求 解： 那么 由二项分布的期望知 又因为 所以 。例3.11： 设服从参数为的泊松分布，求 解： 我们知道 = （令k=m-1） = = = 所以 例3.12： 设服从参数为的指数分布，求解： 我们知道 所以 例3.13: 设随机变量x 服从拉普拉斯分布