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8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设是由和复合而成，则。8.5.1全导数定理1 若函数及都在点可导，函数在对应点 处可微，则复合函数在点可导，且 （全导数公式）。 证明：给以增量，则、得相应的增量、， 从而有全增量， 在处可微，其中。、都在点可导，、都在点必连续， 即当时，从而。 ， 而 ， ， 即。 全导数公式可形象地表示为 ，“按线相乘，分线相加”。 可把定理1推广到复合函数的中间变量多于两个的情形。 例如：，而，则 ， 。例1已知，而，求。解法1： 。解法2： ， 。定理1还可以推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况。8.5.2复合函数的微分法一、复合函数的微分法定理2 设，而。若在点处偏导数都存在，而在相应点可微，则复合函数在点处存在偏导数，且 ， 。类似地，而， 则， ， 。 在复合函数的求导过程中，如果出现某一函数的中间变量是一元函数，则涉及它的偏导数的记号应改为一元函数的导数记号。例如：设，则， ， 。如果，则 注意：这里与是不同的，是把复合函数中的看作 不变而对的偏导数，是把中的看作不变而对的偏导数。 与也有类似的区别。例2设，而， 求，。 解： ； 。例3.设，而，为可导函数，证明：。 证明：， ， 。例4设，求和。 解： . .例5设，有二阶连续偏导数， 求，。解：设，则 ， 。 。例6设，具有二阶连续偏导数，求及。解: 以1、2分别表示、两个中间变量，函数的复合关系图如右： ， ， ，故.例7设，具有连续的二阶偏导数，求，。解：， ， 。二、全微分形式不变性 设可微，（1）若是自变量，则。（2）若是中间变量，即， 则复合函数的全微分为 。 由此可见，无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，此性质称为全微分形式不变性。例7 已知，求。解法1：先求出，再求出。解法2：利用全微分形式不变
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