微分方程建模理论概要

微分方程模型的建立 主讲人张兰 DifferentialEquationmodel 专科组常见的微分方程模型 2003年 C题 SARS的传播 常微分方程组或差分方程组 2004年 C题 饮酒驾车 线性常微分方程组 2011年 C题 企业退休职工养老金制度的改革 常微分方程 阻滞增长模型 实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的变化规律 y y t 直接求很困难 建立关于未知变量 未知变量的导数以及自变量的方程 建立变量能满足的微分方程 哪一类问题 一 微分方程模型 在工程实际问题中 改变 变化 增加 减少 等关键词提示我们注意什么量在变化 关键词 速率 增长 衰变 边际的 常涉及到导数 建立方法常用微分方程 运用已知定律规律等 运用微元法 模拟近似法 机理分析法 2020 4 12 二 建立微分方程模型的方法 1 根据规律列方程 利用数学 力学 物理 化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等找出变量及其导数之间的关系 来建立微分方程模型 如 根据放射性元素衰减规律 放射性元素的衰减速率与当时的剩余量成正比 2020 4 12 2 微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式 与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律 2020 4 12 3 模拟近似法 在生物 经济等学科的实际问题中 许多现象的规律性不很清楚 即使有所了解也是极其复杂的 建模时在不同的假设下去模拟实际的现象 建立能近似反映问题的微分方程 然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质 再去同实际情况对比 检验此模型能否刻画 模拟某些实际现象 三 微分方程建模步骤 1 翻译或转化 在实际问题中许多表示导数的常用词 如 速率 增长 等 2 建立瞬时表达式 根据自变量有微小改变 t时 因变量的增量 W 建立起在时段 t上的增量表达式 令 t 0 即得到的表达式 3 配备物理单位 在建模中应注意每一顷采用同样的物理单位 4 确定条件 这些条件是关于系统在某一特定时刻或边界上的信息 它们独立于微分方程而成立 用以确定有关的常数 为了完整充分地给出问题的数学陈述 应将这些给定的条件和微分方程一起列出 案例1物体冷却问题一个较热的物体置于室温为180c的房间内 该物体最初的温度是600c 3分钟以后降到500c 想知道它的温度降到300c需要多少时间 10分钟以后它的温度是多少 四 建模方法简单举例 牛顿冷却 加热 定律 将温度为T的物体放入处于常温m的介质中时 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 分析 假设房间足够大 放入温度较低或较高的物体时 室内温度基本不受影响 即室温分布均衡 保持为m 采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似 建立模型 设物体在冷却过程中的温度为T t t 0 T的变化速率正比于T与周围介质的温度差 翻译为 数学语言 建立微分方程 其中参数k 0 m 18 求得一般解为 ln T m kt c 代入条件 求得c 42 最后得 T t 18 42 t 0 结果 T 10 18 42 25 870 该物体温度降至300c需要8 17分钟 案例2除雪问题 一场降雪开始于午前的某个时刻 并持续到下午 雪量稳定 某人从正午开始清扫某条街的人行道 他的铲雪速度 以ft3 h度量 和清扫面的宽度均不变 到下午2点他扫了两个街区 到下午4点他扫了一个街区 请问 雪是从什么时候开始下的 可假设他没有回头清扫落在已扫过的路面上的雪 1 1 示意图 下雪速度 a 单位 3 小时 面积铲雪速度 b 单位 3 小时S t 正午后t小时的铲雪位移下雪时间 午前x0已知量 S 0 0 S 2 2 S 4 3 翻译为 t到t t时刻 1 铲雪容量 b t 2 忽略 t下雪量 雪量减少容量 3 微分表达式 4 模型 建立模型 解 求解模型 练习1 溶液混合问题 设有一容器将有某种浓度的溶液以流量注入浓度为的同样的溶液 假定溶液被立即搅匀 并以的流量流出 试建立容器中浓度与时间关系的模型 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性 如封闭区域内的能量 货币量等 利用变量间的平衡与增长特性 可分析和建立有关变量间的相互关系 案例3人口增长模型 对某地区时刻t的人口总数P t 除考虑个体的出生 死亡 再进一步考虑迁入与迁出的影响 四 微分建模典型举例 在很短的时间段 t内 关于P t 变化的一个最简单的模型是 t时间内的人口增长量 t内出生人口数 t内死亡人口数 t内迁入人口数 t内迁出人口数 t时间内的净改变量 t时间内输入量 t时间内输出量 般化更一 基本模型 不同的输入 输出情况对应不同的差分或微分方程 输入量含系统外部输入及系统内部产生的量 输出量含流出系统及在系统内部消亡的量 此类建模方法的关键是 分析并正确描述基本模型的右端 使平衡式成立 案例5战斗模型两方军队交战 希望为这场战斗建立一个数学模型 应用这个模型达到如下目的 1 预测哪一方将获胜 2 估计获胜的一方最后剩下多少士兵 3 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗 设x t t时刻X方存活的士兵数 y t t时刻Y方存活的士兵数 假设 1 双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗 x t 与y t 都是连续变量 建立模型 2 Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X方军队a名士兵 3 X方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队b名士兵 t时间内X军队减少的士兵数 t时间内Y军队消灭对方的士兵数 平衡式 即有 x ay t 同理 y bx t 例5 1 4 独家广告模型 广告是调整商品销售的强有力的手段 广告与销售量之间有什么内在联系 如何评价不同时期的广告效果 广告的效果 可做如下的条件假设 1 商品的销售速度会因广告而增大 当商品在市场上趋于饱和时 销售速度将趋于一个极限值 分析 2 商品销售率 销售加速度 随商品销售速度的增高而降低 3 选择如下广告策略 t时刻的广告费用为 记S t t时刻商品的销售速度 M 销售饱和水平 即销售速