第四章-曲线坐标系下张量分析.doc

第四章：曲线坐标系张量分析张量场函数：在空间中每一点定义一个张量曲线坐标系回顾：笛卡尔坐标系下空间一点的矢径 坐标线：只变化一个坐标时，矢径的轨迹。直线坐标系下，坐标线都是直线。当，坐标线中至少有一个是曲线时，称为曲线坐标系 协变基：所以： 原因：曲线坐标系中，基矢量是曲线坐标的函数基矢量的导数基矢量对曲线坐标的导数还是矢量，因而可以用基矢量的线性组合表示：其中组合系数 称为第二类Christoffel符号称为第一类Christoffel符号Christoffel符号是协变基矢量对曲线坐标的导数在基底矢量下的分解系数。事实上： 指标对称性第二类Christoffel符号的两个协变指标用于指示哪一个协变基矢量（第二个协变指标）对哪一个曲线坐标（第一个协变指标）求导数。然而，根据协变基矢量的定义：可得：说明Christoffel符号相对它的前两个协变指标是对称的。不是张量在直线坐标系中，由于基矢量不随坐标而改变，所以第二类Christoffel符号全部为零。如果它是张量，它在任意坐标系中都应是零。 两类Christoffel符号之间的联系由于Christoffel符号的第三个指标是矢量的分量指标，所以可以通过度量张量进行升降。 逆变基矢量的导数由 可知： 从而 （逆变基导数表达式符合张量指标规则，但要加负号）与度量张量分量导数之间的关系 (a) (b)ijk (c)(b)+(c)-(a) 规则： 分别求度量张量分量对曲线坐标的导数，度量张量的分量指标按与曲线坐标指标构成顺时针排序确定； 曲线坐标的指标为时为正，曲线坐标的指标为k时为负； 将所得结果相加的一半即为。例题：求对曲线坐标的导数从中可得Christoffel符号的一个重要性质：Hamilton 算子定义： 运算规则：作用于张量时，运算结果由对张量对曲线坐标求偏导数与相应的基矢量组成；基矢量指标与曲线坐标指标相同；基矢量与张量偏导数之间的运算与算子与张量之间的运算相同： （张量的左右梯度） （张量的左右散度） （张量的左右旋度）Hamilton 算子是一种不依赖坐标系的微分算子，计算结果与坐标系的选择无关：证明：Hamilton 算子与张量之间的运算结果是张量例如：张量分量的协变导数张量 对曲线坐标的导数 张量分量的协变导数 由以下几个部分组成： 普通偏导数： 含逆变指标的分量与第二类Christoffel符号相乘： 其中的逆变指标为张量分量的逆变指标原张量分量的逆变指标与的第一个协变指标构成一对哑指标的第二个协变指标为曲线坐标的指标 含协变指标的分量与负第二类Christoffel符号相乘： 其中的第一个协变指标为张量分量的协变指标原张量分量的协变指标与的逆变指标构成一对哑指标的第二个协变指标为曲线坐标的指标由于 按张量分量协变导数的定义： = 可见张量分量的协变导数是张量梯度的分量，因而是张量分量。1. 度量张量的协变导数为零2. 置换张量的协变导数为零 （作业） 3. 设 ； ；则有： 以及 ； 因此： 所以 即：张量分量乘积的协变导数符合标量函数乘积的求导法则该结论对高阶张量同样成立：根据度量张量和置换张量协变导数为零的性质，可从上式中得到：推论1：推论2：4. 张量分量的缩并与求协变导数次序可交换：先求的协变导数：求导缩并 然后缩并 i,k指标可得：先缩并后求导（自由指标减少2个）：比较后可知两者是相等的。Riemann-Christoffel 张量矢量分量的一阶协变导数： （二阶张量）二阶协变导数：互换k,j指标，可得：因而 根据张量的商法则可以证明： （后两个指标为求导指标；前两个指标为分量指标）是张量，称为藜曼曲率张量（Riemann-Christoffel）构成法：将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求对的协变导数；将Christoffel 符号的m指标看作张量指标求对的协变导数；两者相减藜曼曲率张量描述的是空间的性质欧式空间：藜曼曲率张量等于零，张量（矢量）的偏导数次序可以交换说明：因为欧式空间中存在全局直线坐标系（如笛卡尔坐标系），在直线坐标系中Christoffel符号全部等于零，因此藜曼曲率张量也为零。可展曲面：藜曼曲率张量为零的曲面三维空间中的曲面可以看成是二维空间，如果这个二维空间中藜曼曲率张量为零，则这张曲面就可以展开成平面。原因：可展曲面一定是由平面经坐标变换得到的，而坐标变换（选取不同的坐标系不能改变藜曼曲率张量是否为零张量的性质。如圆柱面、锥面是可展曲面；球面是不可展的曲面 通过将R-C张量表达为度量张量的函数，可以证明：藜曼曲率张量分量具有如下性质：关于前两个指标反对称 （个独立分量）关于后两个指标反对称 （个独立分量）前两个指标可以和后两个指标互换 （个独立分量）三维空间中，只有6个独立分量：二维空间中，只有是独立分量积分定理预备定理：证明： 证明过程中利用了等式：推论：封闭曲面的有向面积之和为零证明：在曲面上定义矢量面积微元（面积矢量）其中为面积微元外法线方向矢量（单位向量），它与和构成右手系。如图所示，取一个微元六面体，则微元六面体左侧的面积矢量微元六面体底面的面积矢量微元六面体前面的面积矢量右侧的面积矢量与左侧的面积矢量方向不同；右侧的面积矢量可以看作是左侧面积矢量函数的负值仅仅改变第一个曲线坐标而得到：所以： 类似地有： 任意封闭曲面可看做为无限个六面体的集合的表面，因此： 即：封闭曲面的有向面积之和为零。体积分与面积分之间转换定理从以上分析中不难看出：在微元六面微元体的表面上，张量与面积矢量的运算： 因此，对于微元六面微元体：考虑到微元体的体积以及等式： 可知： 两个微元体拼接在一起时，上式对每一个微元体都成立，因此： 然而，由于公共界面处的面积微元大小相等方向相反，等式左端与合成后的微元体的外表面上的积分相等，而任意形状的空间区域都可以看作是六面微元体的组合。因而：同理可以证明： （作业）这两个等式把张量的面积分转化为张量的体积分，是张量形式的Green公式。其中算子可以是点积，叉积和并乘将面积分转化为体积分时，只需将面积微元转换为。线积分与面积分之间转换定理在开口曲面S1上取一面积微元，则沿面元四条边界线上，张量的有向线积分 ；所以沿面元边界张量的有向线积分 （a）另一方面，面积微元张量的旋度张量的旋度与面积微元之间的点积(b)对比（a）,(b)两式可知：对平面微元：两个平面微元拼装在一起后，上式对拼装后的曲面微元依然成立；而任意曲面可以看作是平面微元的组合，所以对任意开口曲面推论： 证明： 由于 因而 设 则 将其代入上式得： 所以 物理分量在对曲线坐标下的物理量（如位移，应力，应变等）进行张量运算时，物理量应在单位基底矢量下分解（物理分量），以使其分量具有明确的物理意义。例题：在极坐标系中，协变基矢量 ； 与其同向的单位矢量 ； 并且 ； 逆变基矢量 ； 设位移矢量位移梯度 而从而极坐标系下的线性应变（作业）即： 由于 极坐标系下弹性位移的速度 弹性位移的速度的加速度本章要点基矢量的导数 Hamilton 算子 张量的协变导数重要性质：1度量张量的协变导数为零 2置换张量的协变导数为零3张量分量的