已知正三角形的两个顶点为

浙江大学 复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy 浙江大学 第一章复数与复变函数 第二章解析函数 第三章复变函数的积分 第四章级数 第五章留数 第六章保角映射 第七章Laplace变换 浙江大学 第一章复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 浙江大学 复数及其代数运算 a 复数 一对有序实数 x y 记为z x iy 规定 浙江大学 b 按上述定义容易验证加法交换律 结合律乘法交换律 结合律和分配律均成立 浙江大学 c 共轭复数 互为共轭复数 容易验证 浙江大学 d 复平面 一对有序实数 x y 平面上一点P 复数z x iy x y z x iy O 实轴 虚轴 复平面 Z平面 w平面 浙江大学 e 复数的几种表示法 几何表示 平面上一矢量与一复数z构成一一对应 复数的加减与矢量的加减一致 x y O 加法运算 浙江大学 x y O 减法运算 浙江大学 复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z 则复数z可表示为 三角式 指数式 复数的模 复数的幅角 浙江大学 讨论 复数的幅角不能唯一地确定 任意非零复数均有无穷多个幅角 通常把的幅角称为Argz的主值 记为 2 复数 零 的幅角没有意义 其模为零 3 当r 1时 复数z称为单位复数 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便 浙江大学 设 定理 注意多值性 x y O 浙江大学 指数形式表示 推广至有限个复数的乘法 浙江大学 除法运算 或者 浙江大学 例 已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点 x y O 浙江大学 复数的乘幂 n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 复数的方根 设 为已知复数 n为正整数 则称满足方程 的所有w值为z的n次方根 并且记为 浙江大学 设 则 即 浙江大学 当k 0 1 2 n 1时 得到n个相异的根 浙江大学 例 即 浙江大学 复球面与无穷远点 z P N 球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面 过O点作z平面的垂线与球面交于N点 称为北极或者球极 P 对于平面上的任一点z 用一条空间直线把它和球极连接起来 交球面于P 浙江大学 从几何上可以看出 Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈 这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点 而且若点z的模越大 球面上相应的点则越靠近北极N 由此我们引进一个理想 点 与北极N对应 称之为无穷远点 扩充复平面 复平面 约定无穷远点的实部 虚部及幅角都没有意义 另外 等也没有意义 N 浙江大学 复平面点集与区域 1 邻域 2 去心邻域 3 内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内 即 4 外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 浙江大学 5 边界点 点z既非E的内点 又非E的外点 边界点的任一邻域无论多小 都既含有E的内点 又同时含有E的外点 6 开集 点集E中的点全是内点 7 闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集 又是闭集 8 连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来 9 区域 非空的连通开集 浙江大学 10 有界区域 如果存在正数M 使得对于一切D中的点z 有 11 简单曲线 光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线 则称D为有界区域 浙江大学 简单曲线 简单闭曲线 光滑曲线 12 单连通区域 设D为复平面上的区域 若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D 则称D为单连通区域 否则称多连通区域 没有交叉点 浙江大学 平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程 或不等式 来表示 也可以由给定的复数形式的方程 或不等式 来确定所表示的平面图形 例 Z平面上以原点为中心 R为半径的圆周方程为 Z平面上以z 0为中心 R为半径的圆周方程为 浙江大学 例 1 连接z1和z2两点的线段的参数方程为 2 过两点z1和z2的直线L的参数方程为 3 z1 z2 z3三点共线得充要条件为 浙江大学 例 考察下列方程 或不等式 在平面上所描绘的几何图形 1 该方程表示到点2i和 2距离相等的点的轨迹 所以方程表示的曲线就是连接点2i和 2的线段的垂直平分线 它的方程为y x 2 设z x iy 浙江大学 3 表示实轴方向与由点i到z的向量之间交角 的主值 因此满足方程的点的全体是自i点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线 不包括i点 4 浙江大学 例 指出不等式 中点z的轨迹所在范围 解 因为 所以 于是有 浙江大学 它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 浙江大学 复变函数 复变函数的定义 设D是复变数z的一个集合 对于D中的每一个z 按照一定的规律 有一个或多个复数w的值与之对应 则称w为定义在D上的复变函数 记做 单值函数f z 对于D中的每个z 有且仅有一个w与之对应 多值函数f z 对于D中的每个z 有两个或两个以上w与之对应 浙江大学 定义 我们主要考虑单值函数 f z 是单射 或一对一映射 对于任意 f z 是满射 f z 是双射 f z 既是单射 又是满射 浙江大学 例 浙江大学 浙江大学 浙江大学 复变函数的极限与连续 函数的极限 定义 设函数w f z 定义在z0的去心邻域 如果有一确定的数A存在 对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当时有 那么称A为f z 当z趋向z0时的极限 记作 浙江大学 几何意义 当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时 它的 象点f z 就落入A的预先给定的小邻域内 关于极限的计算 有下面的定理 注意 z趋于z0的方式是任意的 就是说 无论z从什么方向 以何种方式趋向于z0 f z 都要趋向于同一个常数 浙江大学 定理一 定理二 浙江大学 例 证明函数 当z趋于0时的极限不存在 解法一 令z x iy 则 所以极限不存在 浙江大学 解法2 利用复数的三角表示式 当z沿着不同的射线 趋于零时 f z 趋于不同的值 如 极限不存在 浙江大学 函数的连续 如果 那么f z 在z0处连续 如果f z 在D内各点都连续 那么f z 在D内连续 定理 f z 在z0处连续的充分必要条件是u x y v x y 在 x0 y0 处连续 连续函数的四则运算 复合运算都成立 有界闭区域上的连续函数的最值定理 浙江大学 例 例 研究函数f z argz在复平面上的连续性 因为 故在原点不连续 不连续 理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实