N体问题的一个解析解.doc

牛顿三体或N体问题是与时间无关的黎曼引力空间 一个完全解析函数或完全解析构形 中文摘要：牛顿三体或N题问题的解与坐标系的选择有关，牛顿三体或N提问题的无解与坐标系有关，常用坐标系平面直角坐标系,平面仿射坐标系（坐标轴不垂直，二坐标轴的单位可能不同,极坐标系,一个球面上的经纬坐标（球面坐标）,空间直角坐标系,空间仿射坐标系,柱面坐标系（平面极坐标加上竖坐标）,球坐标系（一个距离、两个角，平面极坐标系的推广）中三体或多体问题均无解，作者建立“矢量场+极坐标系+球形坐标系+空间直角坐标系”结合而成的“空间矢量场球极坐标系”，它是所有常用坐标系的综合，新创建坐标系以空间矢量ri为未知量，解三体或N解集空间，则避开了轨道混沌现象，得到一个完全解析函数或完全解析构形的牛顿三体或多体解的集合，以ri为直角坐标系或空间直角坐标系的xi,它的函数式是直角坐标系或空间直角坐标系的解析解，利用多体的开普勒轨道可计算确定时刻的多体运动混沌轨道的精确解中文关键词：三体 N体 黎曼空间 空间矢量极坐标PACS代码140英文标题Three body problem is has nothing to do with the time of Riemann space gravity英文单位英文摘要Establish a polar coordinates, to avoid rail chaos phenomena, three body solution set space, get a fully analytic function or complete parsing configuration英文关键词Three body, n-body, Riemann space 三体问题是天体力学中的基本模型，即探究三个质量、初始位置和初始速度都为任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律。它们有无数种可能的运动轨迹。最简单的例子就是太阳系中太阳，地球和月球的运动。三个物体在空间中的分布可以有无穷多种情况，由于混沌现象的存在，通常情况下三体问题的解是非周期性的。1855年法国数学家庞加莱关于三体问题的动态方程证明了对于N体问题在N2时不存在统一的第一积分（uniform first integral）,即使是一般的三体也不可能通过发现不变量最终降低问题的自由度，寻找三体问题的通解是枉费力气，但在特殊条件下，一些特解是存在的。必须找到合适的初始条件：位置、速度等等，才能使系统在运动一段时间之后能够回到初始状态，即进行周期性的运动。在“三体问题”被提出的三百年内，仅仅三种类型的解被发现。三体问题的真正解决，是建立一种数学模型，使得在已知任何一个时间断面的初始运动矢量时，能够精确预测三体系统以后的所有运动状态。一般的三体问题，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下，其运动方程都可以表示成6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，现阶段还只能得到三体问题的10个初积分，远远不足以解决三体问题。这与坐标系的选择有关，如玫瑰线(polar rose)是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，我们常说的“三体问题无解”，准确地来说，是无解析解，意思是三体问题没有规律性答案，不能用解析式表达出来，只能算数值解，没有办法得出精确值。然而对于三体问题的数值解，时间会无限放大初始的微小误差，因此数值法几乎没有办法预测，当时间趋于无穷时，三体轨道的最终命运成为无解析解。而这种对于轨道的长时间行为的不确定性，就被称为“混沌”任意平面矢量的角动量矢量现象。作者发现，假如采用“矢量+极坐标系+球形坐标系”结合而成的“矢量球极坐标”ri为未知数，三体或N体问题与时间无关，是质量与位置的函数，消除时间未知数后，三体或N体问题可得到解析解，解的集合为黎曼空间，在解集中引入时间t，可构造出任意时刻t的一组解析解，为寻找三体或N体的解析解提供了依据，三体或N体系统具有系统整体动量和角动量守恒不变性，在时间中运动的质点系的角动量是各个质点对同一固定参照点（一般选质点系的质心）的角动量的矢量和L=Li=(ripi)=rp，角动量守恒定律也称动量矩定理，表述角动量与力矩之间关系，对于质点，角动量定理可表述为:质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。对于质点系，由于其内各质点间相互作用的内力服从牛顿第三定律，因而质点系的内力对任一点的主矩为零。利用内力的这一特性，即可导出质点系的角动量定理:质点系对任一固定点O的角动量对时间的微商等于作用于该质点系的诸外力对O点的力矩的矢量和。由此可消除三体或N体问题的时间项和速度项，由此可见，描述质点系整体转动特性的角动量只与作用于质点系的外力有关，内力不能改变质点系的整体转动情况。orirj 未知量为ri的球极矢量坐标系矢量场（空间矢量场球极坐标系）基于此，首先在某一观测时刻建立空间矢量场球极坐标系，用矢量ri表示坐标系空间矢量场上的点，ri坐标(, , )或（x,y,z）均无区别，计算时仅以原点为起点的矢量ri表示空间场的任意一点，以ri为未知量，求算mi= M和r1r2r3r4ri，以此刻M质心为坐标原点计算三体或N体，则任意时刻三体或N体的运动始终在它质心轨道上平动或转动，某一确定时刻的N体质点系mi角动量守恒（相对M质心为0）, 动量矩守恒，孤立系统的能量永远守恒： m1v12+m2v22+m3v32+GMm1/r1+GMm2/r2+GMm3/r3=Mv2+Mr矢量加速度a1=GM/r12,a2= GM/r22, a3=GM/r32v1=a1t=GMt/r12, v1=a2t=GMt/r22, v3=a3t=GMt/r32,r1m1v1+r2m2v2+r3m3v3=0,Mr=0,r1GMm1t/r12+r2GMm2t/r22+r3GMm3t/r32= Mr,r1m1/r12+r2m2t/r22+r3m3t/r32= r, 一般球坐标系 m1/r1+ m2/r2+ m3/r3=r（质心相对原点运动）m1/r1+ m2/r2+ m3/r3=0（质心相对静止）(以上公式除质量m时间t外均为矢量)两边同乘以r1r2r3,矢量两次相乘回到原矢量平面，最后得欧几里德空间矢量场=m1r3r2+ m2r1r3+ m3r1r2 = 0, （无引力源）=m1r3r2+ m2r1r3+ m3r1r2 = r,（有引力源）=m1r3r2+ m2r1r3+ m3r1r2 + + mnrirj= 0, （无引力源）=m1r3r2+ m2r1r3+ m3r1r2 + + mnrirj = r,（有引力源） 和是动矢量的张量几何空间，上公式是开普勒二体问题的推广，与推广的开普勒定律一起可计算N体运动周期.n体(n3)运动的开普勒定律（行星运动开普勒三定律的推广）：1轨道定律 .所有质点绕质点系运动质心的轨道都是椭球，质心处在椭球的一个焦点上2. 面积定律 对于任意一个质点来说，质点系质心与质点的连线在相等的时间内扫过相等的曲面面积3. 所有质点的椭球轨道半长轴的4（三）次方的4倍跟它的公转周期的3次方（二）的三倍的比值都相等，即4r4/3T3=k,k是一个与行星无关的常量4. 开普勒定律是N体轨道定律的特例，是它的平面弱场近似 根据公式和周期T可计算确定时刻t的多体混沌轨道精确解=0（拉普拉斯方程）=r(r1,r2,r3,，n)（泊松方程）div=, div=,(div=GM(1/r1+1/r2+1/r3+1/ rn)rot=, rot=,（rot=0）将（mi,ri)还原为黎曼引力空间的解析解：1.狭义相对论的张量空间 物理学的时空需要有四个坐标时间t和三个空间坐标 x,y,z,令t=x0,x=x1,y=x2,z=x3,于是这四个坐标可以写成x,这里附标取0,1,2,3四个值。我们再取一点，它接近于原先考虑的点x,令其坐标为x+dx ，构成位移的四个量dx 可以看作是一个矢量的四个分量，狭义相对论的定律允许我们作出坐标的线性非齐次变换，这些变换导致dx 的线性齐次变换，如果我们适当选择距离和时间的单位，使得光速等于1，那么由dx 的这些线性齐次变换，便使得 （1.1）为不变量，在坐标变换下按与dx 同样方式变换的四个量A组成的任一集合构成一个逆变矢量，可以把不变量 写作 （1.2）叫做矢量长度平方。设有另一逆变矢量B,则有标积不变量： 写为 （1.3）2. 斜交直线轴表述的狭义相对论 如果我们变换到斜轴，（1,1）中的dx的每一个分量变为新的dx的线性函数，而它的二次式（1.1）就变为新的dx的一般二次式。我们可以把它写成 （2.1）式中理解为对，的所有值求和，（2.1）中出现的系数g依赖于斜轴系，当然由于g和g的差别在二次式（2.1）中不出现，我们可取g = g，因而有十个独立系数g, 一般的逆变矢量有四个分量A,它在任何斜轴变换下相dx一样变换，于是 是不变量，它是矢量A的长度平方3.曲线坐标系 处理弯曲空间不能引进直线坐标系，必须用曲线坐标，我们讨论在空间一点上的那些量，这种量相对于该点上的轴可以有各种分量。可能有一个量在空间一切点上具有相同的性质，这个量就变成一个场量。如果取这样的一个量Q（若它有几个分量的话，或取其一个分量），把它对四个坐标的任何一个取微分，把结果写为 下标前面加上一个逗号，总是用来表示上面这样的导数，把附标写在下面是为了和左边坟墓的上标相均衡，从点x移到邻点x+x时，Q的变化为 （3.1)由此看到附标是均衡的空间上一点的矢量和张量相对于该点上的轴由各种分量，改变坐标系是取决于该点上轴的变化，组分量按照上一节 相同的规则变换，如前述用和来降低和升高附标，在曲线坐标系它们不再是常量，是逐点改变的场量，一个张量对其两个附标是对称的或反对称的才有意义，为一张量，同理也为一张量，由上所述分析公式和，不难得出结论：动矢量mirirj的和空间具有黎曼几何度规g(x)=r1r2 r1r3r3r2，=g,在任意坐标系都是成立的。质量可视为质量度规张量g(UV) = mij=mji=mi=g(VU),和是黎曼几何空间由公式组不难看出多体运动的空间是平直的，所以宇宙空间测量起来是平直的,而它实质是黎曼引力球或椭球函数在欧几里得空间的坐标转换式，矢量成为空间的欧几里德点将公式和还原为张量空间计算三体解与广义相对论引力方程相同，复杂的偏微分方程几乎无解，N体（N3）解可适用于一般量子多体，和是量子多体的波函数近似，量子多体在平直空间光速可变与广义相对论同，而一般量子力学多体光速不变为计算前提，可通过狭义相对论等价的的正命题与逆否命题相互换算，基于一般实验的数据为光速不变的计算空间，而一般物理空间为广义相对论弯曲空间，通过对以上公式和的拉普拉斯方程，泊松方程，散度方程，旋度方程进行适当的数学变换，可得到公式 r =-GMlnr1r2r3 r =-GMlnr1r2r3rn上公式是牛顿N体运动的一般解析解空间，可解释星球的板块理论（以上公式的解v1(t)r1,v2(t)r2,v3(t)r3,均已包含初速度与时间项，消除后问题大大简化）依边界条件，旋度（关于m和r的函数）,等已知量三体或N体问题可解得一个完全解析函数或完全解析构形：一个黎曼几何空间，空间具有黎曼几何度规g(x)=r1r2 r1r3r3r2，,在任意坐标系都是成立的。质量可视为质量度规张量g(UV)）mij=mji=mi, 度规，是给定坐标的选择后，由坐标系性质构成的一个张量，一般叫g(UV)）。这个张量描述了空间的性质，如果这个张量是常量（或者说经过合同变换可以变成常量），我们一般叫平直空间，比如说三维欧式空间，四维伪欧式空间（3空间1时间），如果这个张量是和坐标相关的变量（经过合同变换也变不成常量），我们说空间是弯曲的。广义相对论的场方程是以此为数学工具得到的。黎曼的度规场就是引力场。空间与物体这两个以前看似完全无关的领域变得不再孤立了。物理学和几何学是完全互动的。显然，（mi,ri)是平直空间与弯曲空间的积，球极矢量坐标的协变基矢量和逆变基矢量是坐标xi的函数。三体的矢量场的解，r1=r2=r3时，前者是一个球，后者是一个椭球，r越大，椭球离心率越大，开普勒问题推广到N体问题后，开普勒定律引力定律公式可计算运动周期，下图为运动周期与混沌轨道的关系，为混沌轨道和形成它的开普勒轨道的一部分，在直角坐标系中以质点之间的距离ri为未知数计算n体几乎是无解的，分别求开普勒轨道可计算确定时刻t的多体混沌轨道精确解太阳系轨道是近似可解的（在太阳系的质心建立坐标原点），在直角坐标系中以质点之间的距离ri为未知数计算星体轨道几乎是无解的上图的混沌轨道是第三质量体关于另外二体开普勒轨道的开普勒轨道，开普勒轨道的泛函与杂化形成混沌轨道，三体运动确定时刻两两之间的开普勒轨道可知，依据本文的公式和引力公式可计算三体轨道的精确解,图右为三体的初始时刻位置t1与某一时刻t2io(mi,vi)形成的新的三体引动场（三个球形引力场）最终时刻t3的引动场是三个球形引力场的外接球形引力场,t1,t2,t3存在确定的数学关系，时刻t2io(mi,vi)(i=1,2,3,)反复迭代出现内切三体引动场和它的外接球形引动场，tj(mi,vi)=tk(mi,vi), N体存在类似情况t0, t1，tnn体场不断的迭代拓扑自身膨胀或收缩又膨胀循环运动，所以它的膨胀周期，迭代周期是确定存在的，可通过分形计算膨胀周期，迭代周期内任意短时间内的轨迹精确解。 r=-GMlnr1r2r3的空间图像是中心对称的，对r求偏导数，等于0时得到最大半径r.初速度为0的N体r为常数。 r1r2r3, 无引力源和有引力源的三体解均是椭球体。已知任意时刻的r1r2r3,就可计算r, 三体和N体黎曼几何空间的Lagrange解空间是无限膨胀的球或椭球，时间t足够大，质点的运动轨迹是球或椭球上任意中心对称的封闭曲线，这样的解有无数组，已知运动轨迹的一部分和两端点的曲率，就可几何作图得到整体的可能轨迹，质量一定的N体存在最大半径r,轨迹是r内的中心对称封闭曲线，从足够大时间t反算不对称的混沌空间，可构造三体或多体运动的解析解（任意时刻 t=T/n,n取任意实数值）y(r1)x(r2)z(r3)x(r2)y(r1)z(r3)-r/2+r/2zxyzr1r2r3Oxyr1r2r3O 图1.三体(三维球或椭球）或N体的引力场空间（N维或N-1维椭球体）维数为欧几里德空间的空间量子数每一种黎曼度规（质量度规或几何度规）都自然地与一种特别的联络相关联,这种联络被称作列维-奇维塔联络;事实上这种联络能够满足爱因斯坦等效原理的要求并使得时空具有局部的闵可夫斯基性(这是指在一个适合的局部惯性坐标系下度规是闵可夫斯基性的,其度规的导数和连接系数即克里斯托费尔符号都为零。)。总体上可以归纳为,在爱因斯坦的理论中引力引起的时空弯曲是一种可微分流形,这种流形在局部是平直的,但整体上可能具有非常不同的全局几何。但是，它说的是空间的性质，不包括物体本身。N体空间是以N体的质心为坐标原点的N维黎曼几何空间（微分流形）也就是说，广义相对论解释了物体所产生的除物体本身以外的引力场的空间性质，以及物体在这种黎曼空间里的运动规律。N体空间是n维黎曼空间，轨道的长时间行为的不确定性不再存在，“混沌”现象被黎曼空间上的点代替。所以有人总结说，只有场，没有质点。N体问题可以说是N维黎曼几何的解，是N维椭球体，N体空间是N维引力场，是广义相对论四维空间的推广， r=-GMlnr1r2r3和r=-GMlnr1r2r3rn的立体图像和引动场平面r1r2r3 图2三体的立体和平面投影图像，图左为斜侧投影，图中为正投影，虚线为r轨迹运动形成的引力环流与地球磁场和赤道的旋转形成的引力辐射类似，图右为一个多体（n3)的引动平面投影图像和引力场辐射，开放的极点之间形成引力板块和与量子数N成函数关系的引力壳层数，与核外电子数和电子壳层数与相应的电子云形状类似，图中引动量的平面正投影像一个有口有鼻和双耳的人脸图像，图左侧转45的平面像一个手征分布的乌龟背面图像三体的立体图像像一个偏对称的陀螺，力学上它是一个自旋转系统，三体的能量立体图像： 图3三体的能量立体图2. 三体的立体图像有6大引力动量板块，引动场在南极形成一质量板块，7大板块与地球板块存在对称性,引进足够的参数，加上公式 r=-GMlnr1r2r3所得曲线和地球板块的界限曲线相符，凹形板块和角点可解释地球引力异常的维度和量子化分布。N体的立体图像是2N个相同的凹形板块组成的球面或椭球面，上面布满引力环流，可近似定量地解释星体的引力异常和磁场的存在或缺失（磁场分布的量子化），磁场似乎是三体或n体的引动场力流纤维,三体的立体引动场在赤道形成与南北磁极垂直的N-S磁极，扭曲的磁场也许是地球磁场异常分布的原因，地球磁场的倒转可以不是180反转，侧转90即可实现，选取45角投影平面，引动曲线绘出一个手