数学所有不等式放缩技巧及证明办法

精心整理精心整理 高考数学所有不等式放缩 技巧及证明方法 一 一 裂项放缩 精心整理精心整理 例例 1 1 1 1 求求的值的值 n k k 1 2 14 2 2 2 求证求证 3 51 1 2 n k k 精心整理精心整理 例例 2 1 2 1 求证求证 2 12 2 1 6 7 12 1 5 1 3 1 1 222 n nn 2 2 求证求证 nn4 1 2 1 4 1 36 1 16 1 4 1 2 3 3 求证求证 112 2642 12 531 642 531 42 31 2 1 n n n 4 4 求证 求证 112 2 1 3 1 2 1 1 11 2 n n n 例例 3 3 求证求证 3 51 9 1 4 1 1 12 1 6 2 nnn n 精心整理精心整理 例例 4 20084 2008 年全国一卷年全国一卷 设函设函 数数 数列数列 满足满足 设设 lnf xx xx n a 1 01a 1 nn af a 1 1 ba 整数整数 证明证明 1 1ln ab k ab 1k ab 例例 5 5 已知已知 求证求证 mmmm m nSxNmn 321 1 1 1 1 11 m n m nSmn 精心整理精心整理 例例 6 6 已知已知 求证求证 nn n a24 n n n aaa T 21 2 2 3 321 n TTTT 例例 7 7 已知已知 求证求证 1 1 x 2 1 12 Zkknn Zkknn xn 11 2 111 4 122 4 54 4 32 Nnn xxxxxx nn 二 函数放缩 例例 8 8 求证 求证 6 65 3 3 3ln 4 4ln 3 3ln 2 2ln Nn n n n n 例例 9 9 求证求证 1 1 精心整理精心整理 2 1 2 12ln 3 3ln 2 2ln 2 2 n n nn n n 例例 10 10 求证求证 n n n 1 2 1 1 1ln 1 1 3 1 2 1 例例 11 11 求证求证 和和e n 1 1 3 1 1 2 1 1 e n 3 1 1 81 1 1 9 1 1 2 例例 12 12 求证求证 32 1 1 321 211 n enn 例例 14 14 已知已知证明证明 11 2 11 1 1 2 nn n aaa nn 2 n ae 精心整理精心整理 例例 16 200816 2008 年福州市质检年福州市质检 已已 知函数知函数若若 ln xxxf 2ln 0 0bfbafbaafba 证明 三 分式放缩 例例 19 19 姐妹不等式姐妹不等式 和和也可以也可以12 12 1 1 5 1 1 3 1 1 11 n n 12 1 2 1 1 6 1 1 4 1 1 2 1 1 n n 表示成为表示成为和和12 12 531 2642 n n n 12 1 2642 12 531 nn n 例例 20 20 证明证明 13 23 1 1 7 1 1 4 1 1 11 3 n n 精心整理精心整理 四 分类放缩 例例 21 21 求证求证 212 1 3 1 2 1 1 n n 例例 23 200723 2007 年泉州市高三质年泉州市高三质 检检 已知函数已知函数 若 若 1 2 Rcbcbxxxf 的定义域为的定义域为 1 1 0 0 值域 值域 xf 也为也为 1 1 0 0 若数列若数列 满足满足 n b 记数列 记数列 的前的前 项和为项和为 3 Nn n nf bn n b n n T 问是否存在正常数问是否存在正常数A A 使得对 使得对 精心整理精心整理 于任意正整数于任意正整数 都有都有 并证 并证nATn 明你的结论 明你的结论 例例 24 200824 2008 年中学教学参年中学教学参 考考 设不等式组设不等式组表示的平表示的平 nnxy y x 3 0 0 面区域为面区域为 设设 内整数坐标点内整数坐标点 n D n D 的个数为的个数为 设设 当当 时时 求求 n a nnn n aaa S 221 111 2 n 证证 36 1171111 2 321 n aaaa n 精心整理精心整理 五 迭代放缩 例例 25 25 已知已知 求证求证 当当1 1 4 11 x x x x n n n 时时 2 n n n i i x 1 1 22 2 例例 26 26 设设 求证求证 对任意的正整数对任意的正整数k k 若若k k n n恒有恒有 S Sn k n k S Sn n 0 0 b b 0 0 求证 求证 1 2 nnn ba 例例 47 47 设设 求证 求证 Nnn 1 2 1 8 3 2 nn n 例例 49 49 已知函数已知函数f f x x 的定义的定义 域为域为 0 1 0 1 且满足下列条件 且满足下列条件 对于任意对于任意 0 1 0 1 总有 总有 x 3f x 且且 14f 若若则有则有 1212 0 0 1 xxxx 精心整理精心整理 1212 3 f xxf xf x 求 求f f 0 0 的值 的值 求 求 证 证 f f x x 4 4 当 当 时 试证明 时 试证明 1 11 1 2 3 33 nn xn 33f xx 例例 50 50 已知 已知 12 1 0 ni aaaa 2 1 ni 求证 求证 2222 112 122311 1 2 nn nnn aaaa aaaaaaaa 精心整理精心整理 十二 部分放缩十二 部分放缩 尾式放缩尾式放缩 例例 55 55 求证求证 7 4 123 1 123 1 13 1 1 n 例例 56 56 设设求证 求证 a n a 2 1 1 2 1 3 1 a na a 2 n a 例例 57 57 设数列设数列 满足满足 n a Nnnaaa nnn 1 2 1 当当 时证明对所有时证明对所有 有有 3 1 a 1 n 2 nai n 2 1 1 1 1 1 1 1 21 n aaa ii 精心整理精心整理 1 添加或舍弃一些正项 或 负项 例例 1 1 已知已知求证求证 21 n n anN 12 231 1 23 n n aaan nN aaa 2 先放缩再求和 或先求和 再放缩 例例 2 2 函数 函数f f x x 求证 求证 f f 1 1 x x 41 4 f f 2 2 f f n n n n 2 1 2 1 1 Nn n 精心整理精心整理 3 先放缩 后裂项 或先裂 项再放缩 例例 3 3 已知 已知 a an n n n 求证 求证 3 3 n n k k 1 1 4 放大或缩小 因式 例例 4 4 已知数列 已知数列 满足满足 n a 求证 求证 2 11 1 0 2 nn aaa 12 1 1 32 n kkk k aaa 5 逐项放大或缩小 例例 5 5 设 设求证 求证 1 433221 nnan 精心整理精心整理 2 1 2 1 2 n a nn n 6 固定一部分项 放缩另外 的项 例例 6 6 求证 求证 2222 11117 1234n 7 利用基本不等式放缩 例例 7 7 已知 已知 证明 不等 证明 不等54 n an 式式对任何正整数对任何正整数 都成都成51 mnmn aa a m n 立立 精心整理精心整理 构造函数法证明不等式的方法构造函数法证明不等式的方法 一 移项法构造函数 例例 1 1 已知函数已知函数 求 求xxxf 1ln 证 当证 当时 恒有时 恒有1 xxx x 1ln 1 1 1 2 作差法构造函数证明 例例 2 2 已知函数已知函数 求证 求证 ln 2 1 2 xxxf 在区间在区间上 函数上 函数 1 的图象在函数的图象在函数 xf 精心整理精心整理 的图象的下方 的图象的下方 3 3 2 xxg 3 换元法构造函数证明 例例 3 3 20072007 年 山东卷 年 山东卷 证证 明 明 对对 任任 意意 精心整理精心整理 的的 正正 整整 数数 n n 不不