建筑制图-第五章讲义

第五章直线与平面及两平面的相对位置 5 1 直线与平面 平面与平面的平行 5 2 直线与平面 平面与平面的垂直 5 3 直线与平面 平面与平面的相交 5 4 换面法 一 直线与平面平行 5 1直线与平面 平面与平面的平行 1 直线与一般面平行 有关线 面平行的作图问题有 判别已知线面是否平行 作直线与已知平面平行 包含已知直线作平面与另一已知直线平行 例1 过M点作直线MN平行于V面和平面ABC c b a m a b c m 唯一解 x o 例题2试判断直线AB是否平行于定平面 结论 直线AB不平行于定平面 2 直线与投影面垂直面平行 直线AB与铅垂面平行 直线AB与正平面平行 二 两平面平行 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线 则这两平面相互平行 若两投影面垂直面相互平行 则它们具有积聚性的那组投影必相互平行 例3已知定平面由平行两直线AB和CD给定 试过点K作一平面平行于已知平面 5 2直线与平面 平面与平面的垂直 直线与平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一平面 则必垂直于属于该平面的一切直线 一 直线与平面垂直 1 直线垂直于一般面 直线垂直于一般面 必垂直与该平面内的两条相交直线 在投影图中做一般面垂线的方法 做平面的正平线和水平线作为面上的两相交直线 所做垂线与正平线的垂直关系在V投影反映 垂线与水平线的垂直关系在H投影反映 例题1 平面由 BDF给定 试过定点K作平面的垂线 a 例2 试求点K到 ABC的距离 分析 求点到平面的距离 需自该点向平面作垂线 并求出垂线与平面的交点 垂足 然后确定该点到垂足之间线段的实长 1 在 ABC上任作一水平线BD和正平线AE 2 自K点向BD AE引垂线 即作kl bd k l a e 得垂线KL 3 过KL作辅助面P 求出垂足F 4 用直角三角形法求出KF的实长K1f 则K1f即为所求的距离 定理1若一直线垂直于一平面 则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影 直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影 定理2 逆 若一直线的水平投影垂直于属于平面的水平线的水平投影 直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影 则直线必垂直于该平面 2 直线垂直于投影面垂直面 h k k k k k k QV PH QV 如果一直线垂直于一平面 则通过此直线的所有平面都垂直于该平面 图a 反之 如果两平面互相垂直 则自第一个平面上的任意一点向第二个平面所作的垂线 一定在第一个平面上 图b a b 一 两平面相互垂直 例1 试过EF直线作一平面垂直于ABCD平面 解 自EF直线上的任一点E 向ABCD平面作垂线EH 则FEH平面垂直于ABCD平面 即为所求 1 自 DEL上任一点 如E点 作直线EF垂直于 ABC 2 在EF上除E点外 任取一点 如F点 检查F点是否在 DEL平面上 由图可见 F点不在 DEL平面上 故两平面不垂直 例2 试判断 ABC DEL两平面是否相互垂直 例3 试过A点作一条直线 使其与直线BC垂直相交 1 过A点作水平线AD BC 作正平线AE BC 分析 所求直线必在过A点且与直线BC垂直的平面内 该平面与直线BC的交点和A点的连线 即为所求 2 求BC直线与平面DAE的交点K 3 连接A K 则AK即为所求 PV 5 3直线与平面 平面与平面的相交 一 直线与投影面垂直面相交 直线与投影面垂直面相交时 该面的积聚投影与直线的同面投影的交点 就是所求交点的同面投影 另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出 主要解决问题 求交点 例1 试求直线AB与平面P的交点 解 平面P是水平面 V投影有积聚性 PV a b k k 就是交点K的V投影 由k 即可求出k 则点K即为所求 例2 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 空间及投影分析 平面ABC是一正垂面 其V投影积聚成一条直线 该直线与m n 的交点即为K点的V投影 1 求交点 2 判别可见性 由V投影可知 k m 段在平面上方 故H投影上km为可见 还可通过重影点判别可见性 作图 例3 求垂面P与三棱柱表面的交线 解 求P平面与三棱柱表面的交线 只需要利用积聚性求出三条棱边AA1 AB AC和P平面的交点D E F 然后将交点顺次连接即可 作图步骤 1 利用积聚性求直线AA1与P平面的交点 d d d 二 一般线与一般面相交 主要解决问题 1 求交点 2 判别直线的可见性 可采用辅助投影法 先将一般面变换为投影面垂直面 利用投影面垂直面的积聚投影直接求出交点 然后将这交点反投射到原投影图中 另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出 可采用辅助面法 先过直线做一投影面的垂直面 利用垂直面的积聚性 直接求出交线和交点 然后将这交点反投射到原投影图中 另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出 例 试求直线AB与平面EFG的交点 1 过AB作铅垂辅助面P 2 求P与EFG的交线CD 3 求CD与AB的交点K 则K为直线AB与平面EFG的交点 4 取H投影的重影点1 c 1 AB C EG 分辨H投影的可见性 5 取V投影的重影点2 3 2 GF 3 AB 分辨V投影的可见性 三 一般面与投影面垂直面相交 主要解决问题 1 求交线 2 判别可见性 一般面与投影面垂直面相交时 利用投影面垂直面的积聚投影与一般面的同面投影的交线 就是所求交线的同面投影 另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出 判断平面的可见性 可通过正面投影直观地进行判别 a b c d e f c f d b e a m n 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面 它们的正面投影都积聚成直线 交线必为一条正垂线 交线的正面投影可直接求出 求交线 判别可见性 作图 从正面投影上可看出 在交线左侧 平面ABC在上 其水平投影可见 能 如何判别 三 两投影面垂直面相交 三 两一般面相交 1 辅助面三面共点从原理上讲 辅助面可以是平面 也可以是曲面 但采用平面较为简便 平面的位置可以任选 但采用特殊位置平面作图较简便 2 辅助面线面交点法求交线与辅助面三面共点法求交线 虽然出发点有些差异 但从本质上看它们是一致的 用辅助面三面共点法求交线 在两平面之外任作一辅助面R R P 12 R Q 34 12 34 K 则交点K是P Q R的三面共点 它一定是P Q两平面交线上的点 类似地 再作第二个辅助面 又能求出一个三面共点L 连接K L 直线KL即P Q两平面的交线 用辅助面线面交点法求交线 如图1所示 两个三角形都是一般位置平面 其交线方向也未知 故求交线可用辅助面求两个公共点 1 2 3 作图步骤如图2 3所示 2 2 2用辅助投影法求交线 a b c e d f b a c d e f PH PH 1 2 5 6 3 4 7 8 1 2 5 6 3 4 7 8 5 3换面法 新投影面的选择应符合下列两个条件 1 新投影面必须垂直一个原有的投影面 2 新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置 一 概述 1 两平行的管道之间的距离问题 2 电线的铺设长度计算 3 点到直线的距离 面到面的距离等问题 通过变换一次投影面可以解决以下问题 1 把一般线变为新投影面的平行线 解决求线段的实长和对另一投影面的倾角问题 2 把投影面平行线变为新投影面的垂直线 这时 它的新投影具有积聚性 可解决点到投影面平行线的距离 和两根平行的投影面平行线的距离等问题 3 把一般面变为新投影面的垂直面 解决平面对投影面的倾角 一点到一平面的距离 两平行平面间的距离 直线与一般面的交点和两平面交线等问题 4 把投影面垂直面变为新投影面的平行面 解决求投影垂直面的实形问题 例 求直线AB实长及其对H面的倾角a X O X1 O1 a a1 H V1 V H a b b b1 反映AB的实长 a 要点确定新轴位置方法 1 根据空间关系确定新轴位置2 根据投影特点确定新轴位置 一般位置线变换为平行线 新轴与直线的水平投影平行 X O X1 O1 a a1 H V1 a b b b1 平行线变换为垂直线 例 将水平线AB变换为投影面的垂直线 V H 新轴与水平线的水平投影垂直 X O X1 O1 a a1 H V1 V H a b b b1 c 1 c c 例 将一般位置平面ABC变换为投影面的垂直面 并求其水平倾角 一般位置面变换为垂直面 解题步骤 1 找平面内的平行线 2 建新轴V1 H垂直于abAB变成正垂线 3 平面变成垂直面 有积聚性 反映夹角 垂直于平面内的水平线 例 求铅垂面ABC的实形 X O a V H a b b c c 要点 投影轴平行于平面积聚的投影线 垂直面变换为平行面 换面法的应用 例 求点M到平面ABC的距离MN X O a V H b b c c m m a 注 求距离 实长 投影 距离的实长 X O