第十讲平面向量.doc

平面向量知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则 若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： 特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=； 6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质例1 给出下列命题： 若|，则=； 若/，/，则/， 若=，=，则=，=的充要条件是|=|且/；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； 其中正确的序号是 例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ， 例3 已知向量，且，求实数的值例4已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角例5已知，且与夹角为120求 ； ； 与的夹角。例6已知向量=，= 。 求与； 当为何值时，向量与垂直？ 当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？平面向量高考精选1.设 ，向量且 ，则（A） （B） （C） （D）2.设a，b是两个非零向量。下列选项正确的是（ ） A.若|a+b|=|a|-|b|，则ab B.若ab，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得b=a D.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b|3.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A、且 B、 C、 D、4.设向量=（1.）与=（-1， 2）垂直，则等于 （ ） A B C .0 D.-15.已知向量a = (1,1)，b = (2,x).若a b = 1,则x =（ ）(A) 1 (B) (C) (D)16.若向量，则（ ）A. B. C. D. 7.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则ab的充要条件是A.x=- B.x-1 C.x=5 D.x=0二、填空题1.已知向量夹角为 ，且；则2.设向量，若，则_.3设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_4.已知向量a=（1,0），b=（1,1），