对数及其运算讲义.doc

个性化辅导讲义学生： 科目：数学 教师： 第 阶段第 次课 2013年 月 日 课 题：对数及运算授课内容：（一）对数1对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（ 底数， 真数， 对数式）说明： 注意底数的限制，且； ； 注意对数的书写格式 两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数； 自然对数：以无理数为底的对数的对数指数式与对数式的互化 N b（二）对数的运算性质如果，且，那么： ； ； 注意：换底公式（，且；，且；）利用换底公式推导下面的结论（1）；（2）（四）例 题例1、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、1c=1a+1bB、2c=2a+1b C、1c=2a+2bD、2c=1a+2b解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M例2、若a1，b1，p=logb（logba）logba，则ap等于（）A、1B、b C、logbaD、alogba解：由对数的换底公式可以得出p=logb（logba）logba=loga（logba）， 因此，ap等于logba例3、设x=（log1213）1+（log1513）1，则x属于区间（）A、（2，1）B、（1，2） C、（3，2）D、（2，3）解：由题意，x=（log1213）1+（log1513）1=log1312+log1315=log13110；函数y=log13x在定义域上是减函数，且12711019， 2x3例4、若32x+9=103x，那么x2+1的值为（）A、1B、2 C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可选D例5、已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则xy的值为（）A、1 B、4 C、14 D、14或4解：2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），x2+4y24xy=xy （xy）（x4y）=0 x=y（舍）或x=4y xy=4例6、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根 C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。例7、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，则的值是（）A、lg7lg5B、lg35 C、35D、135分析：由题意知，lg，lg是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lg+lg=（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得的值 的值是135例8、log（21）（3+22）=2；log89log2732=109；（lg5）2+lg2lg50=1解：3+22=（2+1）2=（21）2，所以log（21）3+22=log（21）（21）2=2；log89log2732=lg9lg8lg32lg27=2lg33lg25lg23lg3=109（lg5）2+lg2lg50=（lg5）2+lg105lg510=（lg5）2+（1lg5）（1+lg5）=1 故答案为：2；109；1例9、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是0解：令t=2x+2x0，则4x+4x=t22原方程可以变为t22t=0，故t=2，或者t=0（舍） 故有2x+2x=2即（2x）222x+1=0（2x1）2=0 2x=1即x=0例10、若、是方程lg2xlgx22=0的两根，求log+log的值分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lg+lg=2，lglg=2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解：原方程等价于lg2x2lgx2=0 ，是方程的两个根所以lg+lg=2，lglg=2所以log+log=lglg+lglg=（lg+lg）2lglglglg=4+22=3-4即log+log=3例11、解关于x的方程（1）log（x+a）2x=2（2）log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）；（3）（3+22）x+（322）x=6；（4） lg（ax1）lg（x3）=1（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1a12a（当a12时），当x=1a12a时，x+a=112a0，故舍去因此该方程的根为x=1a+12a（当a12时）， 当a12时，原方程无根（2）该方程可变形为log43x3+x=log41x2x+1，即3x3+x=1x2x+1，整理得x27x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）故该方程的根为x=0（3）该方程变形为（2+1）2）x+（21）2）x=6，即（2+1）x+（21）x=6，令t=（2+1）x，则可得出t+1t=6，解得t=322=（21）2，因此x=2该方程的根为2（4）原方程等价于&ax10&x30&ax1x3=10，由ax1x3=10得出ax1=10x30，该方程当a=10时没有根，当a10时，x=29a10，要使得是原方程的根，需满足ax10，且x30解出a（13，10）因此当a（13，10）时，原方程的根为x=29a10，当a（，1310，+）时，原方程无根例12、若方程log2（x+3）log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围分析：应用对数的运算性质，log4x2=log2x，将方程变形，转化为求函数 a=log2x+3x的值域，通过x3x的取值范围，确定a的取值范围解：3x4，方程即：log2（x+3）log2x=a， log2x+3x=ax3x=13x， 343x1， 013x14， a2例13、已知a0，a1，试求使方程loga（xak）=loga2（x2a2）有解的k的取值范围解：由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足&（xak）2=x2a2，（1）&xak0，（2）&x2a20（3）当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，因此只需解&（xak）2=x2a2，（1）&xak0，（2）由（1）得2kx=a（1+k2）（4）当k=0时，由a0知（4）无解，因而原方程无解当k0时，（4）的解是x=1（1+k2）2k（5）把（5）代入（2），得1+k22kk.解得：k1或0k1综合得，当k在集合（，1）（0，1）内取值时，原方程有解三、学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差 学生签字：四、教师评定：1、 学生上次作业评价： 好 较好 一般 差2、 学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 教师签字： 教研组签字： 教务处签字： 教务处盖章练 习1、log89log23的值是（）A、23B、1 C、32D、22、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、1c=1a+1bB、2c=2a+1b C、1c=2a+2bD、2c=1a+2b3、若32x+9=103x，那么x2+1的值为（）A、1B、2 C、5D、1或54、已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则xy的值为（）A、1B、4 C、14D、14或45、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根 C、有一正根和一个负根D、有两个负根6、（2n+1）222n14n=_；2log120.31=_；log0.2558=_7、log（21）（3+22）=_；log89log2732=_；（lg5）2+lg2lg50=_8、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是_9、方程xlgx=10的所有实数根之积是_10、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0；（2）32x+5=53x+2+2；11、若方程log2（x+3）log4x2=a的根在（3，4）内，求a的取值范围2、设a，b，c都是正数，且3a=4b=6c，那么（）A、1c=1a+1bB、2c=2a+1b C、1c=2a+2bD、2c=1a+2b解：由a，b，c都是正数，且3a=4b=6c=M，则a=log3M，b=log4M，c=log6M3、若a1，b1，p=logb（logba）logba，则ap等于（）A、1B、b C、logbaD、alogba解答：解：由对数的换底公式可以得出p=logb（logba）logba=loga（logba），因此，ap等于logba故选C4、设x=（log1213）1+（log1513）1，则x属于区间（）A、（2，1）B、（1，2） C、（3，2）D、（2，3）解答：解：由题意，x=（log1213）1+（log1513）1=log1312+log1315=log13110；函数y=log13x在定义域上是减函数，且12711019，2x3故选D5、若32x+9=103x，那么x2+1的值为（）A、1B、2 C、5D、1或5分析：由题意可令3x=t，（t0），原方程转化为二次方程，解出在代入x2+1中求值即可选D6、已知2lg（x2y）=lgx+lgy，则xy的值为（）A、1B、4 C、14D、14或4解答：解：2lg（x2y）=lg（x2y）2=lg（xy），x2+4y24xy=xy（xy）（x4y）=0x=y（舍）或x=4yxy=14选C7、方程log2（x+4）=2x的根的情况是（）A、仅有一根B、有两个正根C、有一正根和一个负根D、有两个负根专题：数形结合。选C8、如果方程lg2x+（lg7+lg5）lgx+lg7lg5=0的两根为、，则的值是（）A、lg7lg5B、lg35 C、35D、135分析：由题意知，lg，lg是一元二次方程x2+（lg7+lg5）x+lg7lg5=0的两根，依据根与系数的关系得lg+lg=（lg7+lg5），再根据对数的运算性质可求得的值的值是135 选D9、（2n+1）222n14n=212n；2log120.31=53；log0.2558=310分析：利用有理指数幂的运算化简（2n+1）222n14n，用对数性质化简后两个代数式解答：解：（2n+1）222n14n=22n+22n12n=212n2log120.31=2log21031=2log253=53；log0.2558=log22235=310故答案为：212n，53，310.10、log（21）（3+22）=2；log89log2732=109；（lg5）2+lg2lg50=1解答：解：3+22=（2+1）2=（21）2，所以log（21）3+22=log（21）（21）2=2；log89log2732=lg9lg8lg32lg27=2lg33lg25lg23lg3=109（lg5）2+lg2lg50=（lg5）2+lg105lg510=（lg5）2+（1lg5）（1+lg5）=1故答案为：2；109；112、方程（4x+4x）2（2x+2x）+2=0的解集是0解答：解：令t=2x+2x0，则4x+4x=t22原方程可以变为t22t=0，故t=2，或者t=0（舍）故有2x+2x=2即（2x）222x+1=0（2x1）2=02x=1即x=0故方程的解集为013、方程xlgx=10的所有实数根之积是1解答：解：方程xlgx=10的两边取常用对数，可得lg2x=1，lgx=1，所以x=10或x=110实数根之积为 1故答案为：114、不查表，求值：lg5lg2+lg223log321=3分析：根据对数运算法则且lg5=1lg2，可直接得到答案解答：解：lg5lg2+lg223log321=1lg212lg2+32lg222=0故答案为：015、不查表求值：2log23+log（2+3）（32）2102+lg2=190解答：解：2log23+log（2+3）（32）2+102+lg2=2log23log222log（2+3）（2+3）11022=92200=193故答案为19316、（1）已知log310=a，log625=b，试用a，b表示log445（2）已知log627=a，试用a表示log1816分析：（1）先用换底公式用a表示lg3，再用换底公式化简log625=b，把lg3代入求出lg2，再化简log445，把lg3、lg2的表达式代入即可用a，b表示log445（2）先用换底公式化简log1816，由条件求出lg3，再把它代入化简后的log1816 的式子17、化简：x1x23+x13+1+x+1x13+1xx13x131解答：解：x1x23+x13+1+x+1x13+1xx13x131=（x131）（x23+x13+1）x23+x13+1+（x13+1）（x23x13+1）x13+1x13（x13+1）（x131）x131=x131+x23x13+1x23x13=x1318、若、是方程lg2xlgx22=0的两根，求log+log的值分析：利用对数的原式法则化简方程；将方程看成关于lgx的二次方程，利用根与系数的关系得lg+lg=2，lglg=2；利用换底公式将待求的式子用以10为底的对数表示，将得到的等式代入求出值解答：解：原方程等价于lg2x2lgx2=0，是方程的两个根所以lg+lg=2，lglg=2所以log+log=lglg+lglg=（lg+lg）2lglglglg=4+22=3即log+log=319、解下列方程（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0；（2）32x+5=53x+2+2；考点：对数的运算性质；有理数指数幂的运算性质。分析：（1）应用对数换底公式，换元法，解一元二次方程，然后还原对数解答即可（2）直接换元，解一元二次方程，然后再解指数方程即可解答：解：（1）logx+2（4x+5）log4x+5（x2+4x+4）1=0化为logx+2（4x+5）2logx+2（4x+5）11=0令t=logx+2（4x+5）上式化为：t2t1=0即t2t2=0解得t=1，t=2当logx+2（4x+5）=1时解得x=1或x=94都不符合题意，舍去当logx+2（4x+5）=2时有x2=1，解得x=1（舍去），x=1（2）32x+5=53x+2+2令t=3x+2上式化为3t25t2=0解得t=13（舍去），t=2即 3x+2=2 x+2=log32所以x=log322=log32920、解关于x的方程（1）log（x+a）2x=2（2）log4（3x）+log0.25（3+x）=log4（1x）+log0.25（2x+1）；（3）（3+22）x+（322）x=6；（4） lg（ax1）lg（x3）=1（1）要注意对数式与指数式的转化关系；（2）利用对数运算性质进行转化变形；（3）注意到两项的联系，利用整体思想先求出整体，进一步求出方程的根；（4）利用对数的运算性质进行转化与变形是解决本题的关键注意对字母的讨论解答：解：（1）该方程可变形为2x=（x+a）2，即x=1a12a（当a12时），当x=1a12a时，x+a=112a0，故舍去因此该方程的根为x=1a+12a（当a12时），当a12时，原方程无根（2）该方程可变形为log43x3+x=log41x2x+1，即3x3+x=1x2x+1，整理得x27x=0，解出x=0或者x=7（不满足真数大于0，舍去）故该方程的根为x=0（3