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快乐学习，尽在苏州中学网校导数应用之我见 肖槟 导数是解决函数问题的重要工具，可以求斜率、单调性、极值等，但导数的应用更开阔。 一、通过导数判断图象情况 例1. 已知函数。 分析：先研究结论，等价于要求证的中点在 证明：由在定义域上为连续函数。 在坐标系中x轴正半轴上任取两点，令为x=a，x=b（如图），然后在直线x=a，x=b上分别取一点令大小未定，则A、B是函数图象上的点。 因为g(x)在AB间连续，所以在中必有一点x=c，yC=g(C)满足。 又因为是增函数，所以时，；。由此可说明曲线ACB部分在AB下面，则（a，b）上任一点都满足AB上的点在g（x）上的点的上面。 综上可得。 二、利用导函数和原函数的对应关系 根据教材中求导的公式我们可以知道导函数与原函数之间有一种对应关系。如，有，在b有限制的情况下，导函数和原函数相对应，所以可以反求函数解题。 例2. 某列火车从甲城开往乙城，行驶过程中速度v与时间t的平方成正比（时间时，即时速度）。当它行驶了时间后，即时速度为，试求：（1）经过时间，火车的即时速度为多少？（2）若甲乙两城相距L，则从甲城坐该列火车去乙城需多少时间？ 分析：第一问很简单，而第二问则不方便从入手，但若能求出S关于t的函数S=f(t)，那么问题就很容易解决了。 解：（1）因为速度与时间的平方成正比，即。 （2）设从甲城坐该列火车去乙城需时间，即时速度为，距离S关于时间t的函数为S=f(t)，则，依据所学求导公式可知，（b为常数），因为， 点评：由求f(t)的过程，是求导的逆运算，同学们可以自己归纳总结出一些简单的求导逆运算。 例3. 化简 分析：这是一个大家很熟悉的题目，方法是根据通项，令，故。将原式变形为等比数列和求导。 三、现在高中所掌握的代数变形很难求出多个未知数的多项式的最值，这里用导数可以 例4. 已知a,b,c均为正数，求证：。 分析：要证的最小值为0即可。 证明： ，不与题设矛盾。 则当a=b=c时，取最小值为0，即题设得证。 例5. 设a,b,c，证明，并指出何时取等号。 解：令 取最小值 则当 练习： 1. 已知质点的运动方程，则质点在时刻时的速度为_。 2. 已知时都取极值。（1）求a,b的值；（2）若对恒成
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