2010中考复习函数讲例练全攻略——二次函数.doc

二次函数 中考课标考点 知识与技能目标考点课标要求 理解掌握灵活应用 二次函数的图象和性质理解二次函数的图象 性质与系 数的关系 能根据二次函数的图 象和性质解决简单问题 确定二次函数的表达式能根据题意设适当的二次函数的 表达式 并利用题目给出的条件 求出待定系数 从而确定表达式 二次函数与方程 不等式的综合 应用 能正确理解二次函数与方程 不 等式的关系 并能利用它们之间 的关系解题 二次函数的实际应用能利用二次函数解决实际问题 特别是最值问题 基础巩固 知识回顾 利用概念求字母的值 时 不要忘记检验二 次项系数不能为零 既要注意数形结合 又要注意与一次函数 反比例函数的联系与 区别 四 确定二次函数的表达式 若抛物线的顶点坐标 可设表达式为 已知抛物线的顶点 又分一下几种情况 抛 物线的顶点在坐标原点 可设表达式为 抛物线的顶点在 y 轴上 可设 抛物线的顶点在 x 轴上 可设 若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标为 x1 0 x2 0 可设 答案 一 1 y ax2 bx c 2 1 y ax2 bx c 2 y a x h 2 k 二 1 抛物线 2 1 2 3 向上 向下 4 增 2 b a 2 4 4 acb a 2 b x a 大而增大 增大而减小 增大而减小 增大而增大 5 2 4 4 acb a 2 4 4 acb a 三 向左 向右 h 向上 向下 k h k x h 四 y a x h 2 k y ax2 y ax2 c y a x h 2 y a x x1 x x2 自主检测 一 选择题 1 2009 安徽模拟安徽模拟 函数在同一直角坐标系内的图象大致是图 2 yaxbyaxbxc 和 3 4 1 中的 图 3 4 1 2 2008 广东深圳 将二次函数的图象向右平移 1 个单位 再向上平移 2 个单位后 2 xy 所得图象的函数表达式是 2 1 2 xy2 1 2 xy 平移口诀是 上加 下减 左加右减 选设恰当的表达 式 可取得事半 功倍的效果 2 1 2 xy2 1 2 xy 3 2008 浙江绍兴 已知点 22 xy 均在抛物线 2 1yx 上 下列说法中 11 xy 正确的是 A 若 12 yy 则 12 xx B 若 12 xx 则 12 yy C 若 12 0 xx 则 12 yy D 若 12 0 xx 则 12 yy 4 2008 浙江义乌 已知 二次函数 22 0yaxbxab a 的图像为图 3 4 2 中 的图像之一 则a的值为 图 3 4 2 A 1 B 1 C 3 D 4 二 填空题 网 5 2008 浙江台州 如图 3 4 3 从地面垂直向上抛出一小球 M 小球的高度h 单位 米 与小球运动时间t 单位 秒 的函数关系式是 2 9 84 9htt 那么小球运动中的 最大高度h 最大 图 3 4 3 6 2009 贵州黔东南 二次函数的图象关于原点 O 0 0 对称的图象的32 2 xxy 解析式是 三 解答题 7 2008 江苏南京 已知二次函数 y x2 bx c 中 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如 下表 x 1 01234 y 1052125 1 求该二次函数的关系式 2 当 x 为何值时 y 有最小值 最小值是多少 M h 3 若 A m y1 B m 1 y2 两点都在该函数的图象上 试比较 y1与 y2的大 小 8 2009 湖北荆门 如图 3 4 4 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A m 2 0 B m 2 0 两点 记抛物线顶点为 C 且 AC BC 1 若 m 为常数 求抛物线的解析式 2 若 m 为小于 0 的常数 那么 1 中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点 3 设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点 问是否存在实数 m 使得 BCD 为等腰三角形 若存 在 求出 m 的值 若不存在 请说明理由 图 3 4 4 B D A C Ox y 考点点睛 考点 1 二次函数的图象和性质 考点分析 该考点主要考查运用二次函数的图象和性质判断二次函数关系式中的系数及关于系数的代数 式的符号 函数增减性的能力 这也是考查运用二次函数解决实际问题的基础 单独考查时 分值一般在 3 分至 4 之间 难度系数在 0 85 左右 通常以选择题 填空题的形式出现 中考典例 例 1 2009 甘肃兰州 二次函数的图象如图 3 4 5 所示 则下列关系式不cbxaxy 2 正确的是 A 0 B 0aabc C 0 D 0cba acb4 2 解析 抛物线的开口向下 0 正确 由顶点在 y 轴的左侧 且a 0 可知 b 0 由抛物线与 y 轴交于正半轴可知 c 0 故 0 图 3 4 5aabc 正确 观察图象可知 当x 1 时 y 0 所以选项 C 不正确 cba 由抛物线与 x 轴有两个交点 可知 0 正确 acb4 2 答案 C 规律小结 根据二次函数图象确定有关代数式的符号 是二次函数中的一类典型的数形结合问题 具有较 强的推理性 解题时应注意 开口方向与 a 的关系 抛物线与 y 轴的交点与 c 的关系 对称轴与 a b 的关 系 抛物线与 x 轴的交点个数与 b2 4ac 的符号关系 当 x 1 时 决定 a b c 的符号 在此基础上 还可 推出其他代数式的符号 运用数形结和的思想更直观 更便捷 顶点位于 y 轴的左侧时 系数 a b 同号 顶点位 于 y 轴的右侧时 系数 a b 异号 口诀 左同右异 考点巩固 1 2009 广州 二次函数的最小值是 2 1 2 xy A 2 B 1 C 1 D 2 2 2009 黄石 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 3 4 6 所示 下列结论 abc 0 2a b 0 4a 2b c 0 a c 0 其中正确结论的个数为 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 图 3 4 6 3 2008 山东 若 A B C 为二次函数 1 13 4 y 2 5 4 y 3 1 4 y 的图象上的三点 则 的大小关系是 2 45yxx 1 y 2 y 3 y A B 123 yyy 213 yyy C D 312 yyy 132 yyy 考点 2 确定二次函数的表达式 考点分析 该考点是中考的常见题型 主要考查利用题目已知条件确定二次函数的表达式的能力 分值 一般在 3 分至 10 之间 难度系数在 0 85 左右 各种题型均有出现 中考典例 例 2 如图 3 4 7 所示 已知抛物线 y 1 2 x2 5 2 m x m 3 与 x 轴有两个交点 A B 点 A 在 x 轴的正半轴上 点 B 在 x 轴的负半轴上 且 OA OB 1 求 m 的值 2 求抛物线的解析式 并写出抛物线的对称轴和顶点 C 的坐标 3 问在抛物线上是 否存在一点 M MAC OAC 若存在 求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 抛物线与 x 轴交于 A B 两点 OA OB 故 A B 两点关于 y 轴对称 就可求 得 m 的值 由抛物线交 y 轴的正半轴 得 m 的确定值 解 1 抛物线与 y 轴交于正半轴 且 OA OB 2 30 50 ma m 由 得 m 5 由 m 3 故 m 5 应舍去 m 5 图 3 4 7 2 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 2 对称轴是 y 轴 顶点 C 的坐标为 C 0 2 3 令 y 0 得 1 2 x2 2 0 x 2 A 2 0 B 2 0 C 0 2 OAC 是等腰直角三角形 若存在一点 M 使 MAC OAC AC 为公共边 OA OC 点 M 与 O 关于直线 AC 对称 M 点的坐标为 2 2 当 x 2 时 1 2 x2 2 0 2 M 2 2 不在抛物线上 即不存在一点 M 使 MAC OAC 规律小结 存在性问题 通常是先假定存在 若能找出具备某种条件或性质的对象 就 说明存在 其叙述过程就是理由 若不存在 就需要进一步说明理由 考点巩固 4 2008 山东济宁 已知二次函数的图象如图 3 4 8 所示 则这 个二次函数的表达式为 A B 2 23yxx 2 23yxx C D 2 23yxx 2 23yxx 图 3 4 8 5 2009 湖北襄樊 抛物线 2 yxbxc 的图象如图 3 4 9 所示 则此抛物线的解析 式为 y x O3 x 1 图 3 4 9 6 2008 江苏徐州 已知二次函数的图象以为顶点 且过点 1A 4 2B 5 1 求该函数的关系式 2 求该函数图象与坐标轴的交点坐标 3 将该函数图象向右平移 当图象经过原点时 两点随图象移至 求 AB AB 的面积 OA B 考点 3 二次函数与方程 不等式 一次函数 反比例函数 几何图形的综合题 考点分析 这是综合性较强的一个考点 主要考查对二次函数 方程 不等式 一次函数 反比例函数 几何图形等有关知识的综合应用能力 分值一般在 3 分至 12 之间 难度系数在 0 8 左右 各种题型均有 出现 中考典例 例 3 2009 山东烟台 二次函数的图象如图 3 4 10 所示 则一次函数 2 yaxbxc 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 2 4ybxbac abc y x 解析 根据二次函数的图象可得 a 0 b 0 b2 4ac 0 因此一次函数 2 yaxbxc 的图象应过第一 二 四象限 排除 A C 观察二次函数 2 4ybxbac 的图象可知 当 x 1 时 y a b c 0 所以反比例函数的图 2 yaxbxc abc y x 象应位于第二 四象限 故选 D 答案 D 规律小结 二次函数与方程 不等式 一次函数 反比例函数 几何图形的综合应用涉及到二次函数的众 多的知识点 应熟练掌握配方法 与 x 轴焦点的求法 重视从图象中获取信息 考点巩固 7 2009 浙江嘉兴 已知0 a 在同一直角坐标系中 函数axy 与 2 axy 的图象有可能 是图 3 4 11 中的 1 1 O x y 图 3 4 10 y x O y x O B C y x O A y x O D O y x 1 1 A x y O 1 1 B x y O1 1 C x y O 1 1 D 图 3 4 11 8 2009 山东德城 如图 3 4 12 是抛物线cbxaxy 2 的一部分 其对称轴为直线 1 若其与轴一交点xx 为 B 3 0 则由图象可知 不等式 0cbxax 2 的解集是 9 2008 山东泰安 某市种植某种绿色蔬菜 全部用来出口 为了扩大出口规模 该市 决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴 规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干 元 经调查 种植亩数 亩 与补贴数额 元 之间大致满足如图 3 4 13 所示的一yx 次函数关系 随着补贴数额的不断增大 出口量也不断增加 但每亩蔬菜的收益 元 xz 会相应降低 且与之间也大致满足如图 3 4 13 所示的一次函数关系 zx x 元 50 1200 800 y 亩 O x 元 100 3000 2700 z 元 O 图 3 4 13 1 在政府未出台补贴措施前 该市种植这种蔬菜的总收益额为多少 2 分别求出政府补贴政策实施后 种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之yzx 间的函数关系式 3 要使全市这种蔬菜的总收益 元 最大 政府应将每亩补贴数额定为多少 并wx 求出总收益的最大值 w 考点 4 二次函数的实际应用 考点分析 该考点是中考的热点之一 常与现实生活中的热点问题相联系 解决最值问题 分值一般在 6 分至 12 之间 难度系数在 0 8 左右 多以解答题的形式出现 中考典例 例 4 2009 洛江 我区某工艺厂为迎接建国 60 周年 设计了一款成本为 20 元 件的 工艺品投放市场进行试销 经过调查 其中工艺品的销售单价 元 件 与每天销x 售量 件 之间满足如图 3 4 14 所示关系 y 1 请根据图象直接写出当销售单价定为 30 元和 40 元时相应的日销售量 图 3 4 12 2 试求出与之间的函数关系式 yx 若物价部门规定 该工艺品销售单价最高不能超过 45 元 件 那么销售单价定为多少时 工艺厂试销该工艺品每天获 得的利润最大 最大利润是多少 利润 销售总价 成本总 价 解析 1 观察图象可直接得出销售单价定为 30 元和 40 元时相 应的日销售量分别为 400 件和 500 件 2 因为图象过 30 500 40 400 两点 所以 利用待定系数法可求出与之间的函数关系式 yx 表示出利润与销售单价之间的函数关系式 利用函数 的增减性分析求解 图 3 4 14 解 1 500 件和 400 件 2 设这个函数关系为 ykxb 这个一次函数的图象经过 30 500 40 400 这两点 解得 50030 40040 kb kb 10 800 k b 函数关系式是 10 800 yx 设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 W 元 依题意得 W 20 10 800 xx 10 50 9000 x 2 10 0 函数图象为开口向下的抛物线 其对称轴为 x 50 又 20 45x 在对称轴的左侧 W 的值随着值的增大而增大x 当 x 45 时 W 取得最大值 W最大 10 45 50 9000 8750 2 答 销售单价定为 45 元 件时 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大 最大利润为 8750 元 规律小结 利用二次函数解决实际问题的基本思路 1 理解问题 2 分析问题中的变量和常量 用 函数表达式表示出它们之间的关系 3 利用二次函数的有关性质求解 4 检验结果的合理性 写出 问题的答案 考点巩固 10 2009 贵州黔东南 凯里市某大型酒店有包房 100 间 在每天晚餐营业时间 每 间包房收包房费 100 元时 包房便可全部租出 若每间包房收费提高 20 元 则减少 10 间 包房租出 若每间包房收费再提高 20 元 则再减少 10 间包房租出 以每次提高 20 元的这 种方法变化下去 1 设每间包房收费提高 x 元 则每间包房的收入为 y1 元 但会减少 y2间包 房租出 请分别写出 y1 y2与 x 之间的函数关系式 2 为了投资少而利润大 每间包房提高 x 元 后 设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y 元 请写出 y 与 x 之间的函数关系式 求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最 大包房费收入 并说明理由 11 2008 山东潍坊 一家化工厂原来每月利润为 120 万元 从今年一月起安装使用回 收净化设备 安装时间不计 一方面改善了环境 另一方面大大降低原料成本 据测算 使用回收净化设备后的 1 至月 的利润的月平均值 万元 满足x112x w 第 2 年的月利润稳定在第 1 年的第 12 个月的水平 1090wx 1 设使用回收净化设备后的 1 至月 的利润和为 写出关于的x112x yyx 函数关系式 并求前几个月的利润和等于 700 万元 2 当为何值时 使用回收净化设备后的 1 至月的利润和与不安装回收净化设备时xx 个月的利润和相等 x 3 求使用回收净化设备后两年的利润总和 真题集合 一 选择题 1 2009 甘肃兰州 把抛物线向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移 2 yx 后抛物线的解析式为 A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 2 2009 河北 某车的刹车距离 y m 与开始刹车时的速度 x m s 之间满足二次函数 2 1 20 yx x 0 若该车某次的刹车距离为 5 m 则开始刹车时的速度为 A 40 m sB 20 m s C 10 m sD 5 m s 3 2009 山东泰安 抛物线的顶点坐标为 182 2 xxy A 2 7 B 2 25 C 2 7 D 2 9 4 2008 浙江温州 抛物线 2 1 3yx 的对称轴是 A 直线1x B 直线3x C 直线1x D 直线3x 5 2008 江苏扬州 若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在x 2 250axx 0 与 1 之间 不含 0 和 1 则的取值范围是 a A B C D 3a 3a 3a 3a 6 2008 河北 如图 3 4 15 正方形的边长为 10 四个全等的小正方形的对称ABCD 中心分别在正方形的顶点上 且它们的各边与正方形各边平行或垂直 若ABCDABCD 小正方形的边长为 且 阴影部分的面积为 则能反映与之间函数关x010 x yyx 系的大致图象是 x A D C B y x 10 O 100 A y x 10 O 100 B y x 10 O 100 C 5 y x 10 O 100 D 图 3 4 15 7 2009 湖北荆门 函数 y ax 1 与 y ax2 bx 1 a 0 的图象可能是图 3 4 16 中的 图 3 4 18 图 3 4 16 8 2008 福建福州 已知抛物线与轴的一个交点为 则代数式 2 1yxx x 0 m 的值为 2 2008mm A 2006B 2007C 2008D 2009 9 2009 浙江台州 已知二次函数的与的部分对应值如下表 cbxaxy 2 yx x 1 013 y 3 131 则下列判断中正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线与轴交于负半轴y C 当 4 时 0 D 方程的正根在 3 与 4 之间xy0 2 cbxax 10 2009 安徽 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 3 4 17 所示 给出以下结 论 a 0 该函数的图象关于直线对称 1x 当时 函数 y 的值都等于 0 13xx 或 其中正确结论的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 二 填空题 11 2009 长春 如图 3 4 18 平行于 y 轴的直线 l 被抛物线 y y 所截 当直线 l 向右平移 3 个单位时 2 1 1 2 x 2 1 1 2 x 直线 l 被两条抛物线所截得的线段扫过的图形 面积为 平方单位 12 2009 湖北荆门 函数 y x 2 3 x 取得最大值时 x 13 2008 江苏苏州 初三数学课本上 用 描点法 画二次函数的图 2 yaxbxc 象时 列了如下表格 x 2 1 012 y 1 6 2 4 1 2 2 2 1 2 2 根据表格上的信息回答问题 该二次函数在时 2 yaxbxc 3x y A B C D 1 1 1 1 xo yy o x y o x x o y O 图 3 4 17 14 2008 山东枣庄 已知二次函数 cbxaxy 2 1 0 a 与一次函数 0 2 kmkxy 的图象相交于点 A 2 4 B 8 2 如图 3 4 19 所示 则能使 21 yy 成立的的取值范围 x 图 3 4 19 15 2008 安徽 如图 3 4 20 为二次函数的图象 在下列说法中 2 yaxbxc 方程的根为 当时 0ac 2 0axbxc 1 1x 2 3x 0abc 1x 随着的增大而增大 正确的说法有 请写出所有正确说法的序号 yx 16 2008 甘肃兰州 农村常需要搭建截面为半 圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 如图 3 4 21 所示 则需要塑料布 m2 与半径y m 的函数关系式是R 不考虑塑料埋在土里的部分 三 解答题 17 2008 江苏南通 已知点 A 2 c 向右平移 8 个单位得到点 A 与两点 A A 均在抛物线上 且这条抛物线与轴的交点的纵坐标为 6 求这条抛物线 2 yaxbxc y 的顶点坐标 18 2009 浙江宁波 如图 3 4 22 抛物线与 轴相交于点 且过点 2 54yaxxa 1 求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标 2 请你设计一种平移的方法 使平移后抛物线的顶点落要第二象限 并写出平移后抛物线 的解析式 图 3 4 22 x y O 3 1 图 3 4 20 2R 米 30 米 图 3 4 21 19 2008 浙江金华 跳绳时 绳甩到最高处时的形状是抛物线 正在甩绳的甲 乙两 名同学拿绳的手间距AB为6米 到地 面的距离AO和BD均为0 9米 身高为1 4米的小丽站 在距点O的水平距离为1米的点F处 绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E 以点O为原 点建立如图3 4 23所示的平面直角坐标系 设此抛物线的解析式为y ax2 bx 0 9 1 求该抛 物线的解析式 2 如果小华站在OD之间 且离点O的距离为3米 当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶 请你算出小华的身高 3 如果身高为1 4米的小丽站在OD之间 且离点O的距离为t米 绳子甩到最高处时超过她 的头顶 请结合图像 写 出t自由取值范围 图 3 4 23 中考模拟 一 选择题 1 2009 甘肃兰州 在同一直角坐标系中 函数和函数ymxm 是常数 且 的图象可能是图 3 4 24 中的 2 22ymxx m0m 图 3 4 24 2 2008 江苏泰州 二次函数的图像可以由二次函数的图像平移 2 43yxx 2 yx 而得到 下列平移正确的是 A 先向左平移 2 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 B 先向左平移 2 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 C 先向右平移 2 个单位长度 再向上平移 1 个单位长度 D 先向右平移 2 个单位长度 再向下平移 1 个单位长度 3 2008 山东泰安 如图 3 4 25 所示是二次函数 的图象在轴上方的一部分 对于这段图象与 2 1 2 2 yx x 轴所围成的阴影部分的面积 你认为与其最接近的值是 x A 4B C D 16 3 2 8 4 2009 泸州 在平面直角坐标系中 将二次函数的图象向上平移 2 个单位 所 2 2xy 得图象的解析式为 A B 22 2 xy22 2 xy C D 2 2 2 xy 2 2 2 xy 5 2009 山东威海 二次函数的图象的顶点坐标是 2 365yxx A B C D 18 18 1 2 14 6 2008 江苏宿迁 如图 3 4 26 在平面直角坐标系中 函数与1 xy 的图象大致是 2 1 2 3 xy D CB A O x y O x y O x y y x O 图 3 4 26 7 2008 浙江嘉兴 一个函数的图象如图 3 4 27 给出以下结论 当时 函数值最大 0 x 当时 函数随的增大而减小 02x yx 存在 当时 函数值为 0 0 01x 0 xx 其中正确的结论是 A B C D x y 图 3 4 25 图 3 4 27 8 2008 湖北恩施自治州 将一张边长为 30cm 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长 为 xcm 的小正方形 然后折叠成一个无盖的长方体 当取下面哪个数值时 长方体的体x 积最大 A 7 B 6C 5D 4 9 2008 甘肃兰州 下列表格是二次函数的自变量与函数值的对应 2 yaxbxc xy 值 判断方程 为常数 的一个解的范围是 2 0axbxc 0aabc x x6 176 186 196 20 2 yaxbxc 0 03 0 01 0 020 04 A B 66 17x 6 176 18x C D 6 186 19x 6 196 20 x 10 2009 广西河池模拟 已知二次函数的最大值为 0 则 2 0 yaxbxc a 2 040abac 2 040abac 2 040abac 2 040abac 二 填空题 11 2009 安徽模拟安徽模拟 如图 3 4 28 是二次函数的图象的一部份 图象 2 yaxbxc 过点 A 3 0 对称轴是直线 给出五个结论 1x 2 4ba