高中数学经典解题技巧(导数及其应用)

高中数学经典的解题技巧和方法 导数及其应用 高中数学经典的解题技巧和方法 导数及其应用 编者按 导数及其应用是高中数学考试的必考内容 而且是这几年考试的热点跟增长点 无论是 期中 期末还是会考 高考 都是高中数学的必考内容之一 因此 马博士教育网数学频道编辑部特意 针对这两个部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法 希望能够帮助到高中的同学们 让同 学们有更多 更好 更快的方法解决数学问题 好了 下面就请同学们跟我们一起来探讨下集合跟常用 逻辑用语的经典解题技巧 首先 解答导数及其应用这两个方面的问题时 先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题 同学首先 解答导数及其应用这两个方面的问题时 先要搞清楚以下几个方面的基本概念性问题 同学 们应该先把基本概念和定理完全的吃透了 弄懂了才能更好的解决问题 们应该先把基本概念和定理完全的吃透了 弄懂了才能更好的解决问题 1 导数概念及其几何意义 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 2 导数的运算 1 能根据导数定义求函数 23 1 yC Cyx yxyxyyx x 为常数的导数 2 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 3 能求简单的复合函数 仅限于形如 f axb 的复合函数 的导数 3 导数在研究函数中的应用 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多 项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多 项式函数一般不超过三次 会求闭区间了函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 4 生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5 定积分与微积分基本定理 1 了解定积分的实际背景 了解定积分的基本思想 了解定积分的概念 2 了解微积分基本定理的含义 好了 搞清楚了导数及其应用的基本内容之后 下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧 好了 搞清楚了导数及其应用的基本内容之后 下面我们就看下针对这两个内容的具体的解题技巧 一 利用导数研究曲线的切线一 利用导数研究曲线的切线 考情聚焦 1 利用导数研究曲线 yf x 的切线是导数的重要应用 为近几年各省市高考命题的热 点 2 常与函数的图象 性质及解析几何知识交汇命题 多以选择 填空题或以解答题中关键一步的形 式出现 属容易题 解题技巧解题技巧 1 导数的几何意义 函数 yf x 在 0 x处的导数 fx 的几何意义是 曲线 yf x 在点 00 P xf x处的切线的斜率 瞬时速度就是位移函数 s t对时间t的导数 2 求曲线切线方程的步骤 1 求出函数 yf x 在点 0 xx 的导数 即曲线 yf x 在点 00 P xf x处切线的斜率 2 在已知切点坐标 00 P xf x和切线斜率的条件下 求得切线方程为 000 yyfxxx 注 当曲线 yf x 在点 00 P xf x处的切线平行于y轴 此时导数不存在 时 由切线定义 可知 切线方程为 0 xx 当切点坐标未知时 应首先设出切点坐标 再求解 例 1 2010 海南高考 理科 T3 曲线 2 x y x 在点 1 1 处的切线方程为 A 21yx B 21yx C 23yx D 22yx 命题立意 本题主要考查导数的几何意义 以及熟练运用导数的运算法则进行求解 思路点拨 先求出导函数 解出斜率 然后根据点斜式求出切线方程 规范解答 选 A 因为 2 2 2 y x 所以 在点 1 1 处的切线斜率 1 2 2 2 12 x ky 所以 切线方程为12 1 yx 即21yx 故选 A 二 利用导数研究导数的单调性二 利用导数研究导数的单调性 考情聚焦 1 导数是研究函数单调性有力的工具 近几年各省市高考中的单调性问题 几乎均用它 解决 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 且函数一般为含参数的高次 分式或指 对数 式结构 多以解答题形式考查 属中高档题目 解题技巧解题技巧 利用导数研究函数单调性的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数 fx 3 若求单调区间 或证明单调性 只需在函数 f x的定义域内解 或证明 不等式 fx 0 或 fx 0 若已知 f x的单调性 则转化为不等式 fx 0 或 fx 0 在单调区间上恒成立问题求解 例 2 2010 山东高考文科 21 已知函数 1 ln1 a f xxaxaR x 1 当1a 时 求曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线方程 2 当 1 2 a 时 讨论 f x的单调性 命题立意 本题主要考查导数的概念 导数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 考查分类 讨论思想 数形结合思想和等价变换思想 思路点拨 1 根据导数的几何意义求出曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线的斜率 2 直接 利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 同时应注意分类标准的选择 规范解答 1 当1 af x 时 0 1 2 ln x x xx所以 2 2 2xx fx x 因此 21 f 即曲线 2 2 1 yf xf 在点 处的切线斜率为 又 22ln 2 f所以曲线 2 2 ln22 2 yf xfyx 在点 处的切线方程为 ln20 xy 即 2 因为1 1 ln x a axxxf 所以 2 11 x a a x xf 2 2 1 x axax 0 x 令 1 2 axaxxg 0 x 1 当0a 时 1 0 g xxx 所以 当 0 1x 时 g x 0 此时 0fx 函数 f x单调递减 当 1 x 时 g x 0 此时 0fx 函数 f x单调递增 2 当0a 时 由 0fx 即 2 10axxa 解得 12 1 1 1xx a 当 1 2 a 时 12 xx 0g x 恒成立 此时 0fx 函数 f x在 0 上单调递减 当 1 0 2 a 时 1 110 a 0 1x 时 0g x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 1 1x a 时 g x 0 此时 0fx 函数 f x单调递增 1 1 x a 时 0g x 此时 0fx 函数 f x单调递减 当0a 时 由于 1 10 a 0 1x 时 0g x 此时 0fx 函数 f x单调递减 1 x 时 g x1 时 2x 2 0 从而 2x 2 e10 0 F x e 又所以 x 0 从而函数 F x 在 1 是增函数 又 F 1 1 1 ee0 所以x 1时 有F x F 1 0 即 f x g x 证明 1 若 121212 1 1 0 1 xxxxxx 12 由 及f xf x则与矛盾 2 若 121212 1 1 0 xxxxxx 12 由 及f xf x得与矛盾 根据 1 2 得 1212 1 1 0 1 1 xxxx 不妨设 由 可知 2 f x 2 g x 则 2 g x 2 f 2 x 所以 2 f x 2 f 2 x 从而 1 f x 2 f 2 x 因为 2 1x 所以 2 21x 又由 可知函数 f x 在区间 1 内是增函数 所以 1 x 2 2x 即 12 xx 2 四 利用导数研究函数的图象四 利用导数研究函数的图象 考情聚焦 1 该考向由于能很好地综合考查函数的单调性 极值 最值 零点及数形结合思想等 重要考点 而成为近几年高考命题专家的新宠 2 常与函数的其他性质 方程 不等式 解析几何知识交汇命题 且函数一般为含参数的高次 分 式 指 对数式结构 多以解答题中压轴部分出现 属于较难题 例 4 2010 福建高考理科 20 已知函数 f x x3 x 其图像记为曲线 C i 求函数 f x 的单调区间 ii 证明 若对于任意非零实数 x1 曲线 C 与其在点 P1 x1 f x1 处的切线交于另一点 P2 x2 f x2 曲线 C 与其在点 P2处的切线交于另一点 P3 x3 f x3 线段 P1P2 P2P3与曲线 C 所围成封闭图形的面积 分别记为 S1 S2 则 1 2 s s 为定值 对于一般的三次函数 g x ax3 bx2 cx d a 0 请给出类似于 ii 的正确命题 并予以 证明 命题立意 本小题主要考查函数 导数 定积分等基础知识 考查抽象概括 推理论证 运算求 解能力 考查函数与方程思想 数形结合思想 化归转化思想 特殊与一般的思想 思路点拨 第一步 1 利用导数求解函数的单调区间 2 利用导数求解切线的斜率 写出切线 方程 并利用定积分求解 12 S S及其比值 第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题 并 利用平移的方法进行证明 规范解答 i 13 13 13 2 xxxxf 令0 xf得到 3 1 3 1 xx或 令0 xf有 3 1 3 1 x 因此原 函数的单调递增区间为 3 1 和 3 1 单调递减区间 为 3 1 3 1 ii 13 2 xxf 1 3 111 xxxP 13 2 11 xxf 因此过点 1 P的切线方程为 23 1111 31 yxxxxx 即 23 11 312 yxxx 由 23 11 3 312 yxxx yxx 得 323 11 312 xxxxx 所以 1 xx 或 1 2 xx 故 21 2 xx 进而有 1 1 2 323 111 32 x x Sxx xxdx 142234 111 1 2 1327 2 424 x xx xx xx x 用 2 x 代替 1 x 重复上面的 计算 可得 32 2 xx 和 4 22 27 4 Sx 又 21 20 xx 4 21 27 16 0 4 Sx 因此有 16 1 2 1 S S 命题 若对于任意函数dcxbxaxxg 23 的图像为曲线 C 其类似于 I ii 的命题为 若对任意不等于 a b 3 的实数 1 x 曲线与其在点 111 xgxP处的切线交于另一点 222 xgxP 曲线 C与其在点 222 xgxP处的切线交于另外一点 333 xgxP 线段 21P P 32P P与曲线 C所围成面积为 21 SS 则 16 1 2 1 S S 证明 对于曲线dcxbxaxy 23 无论如何平移 其面积值是恒定的 所以这里仅考虑 cxbxaxy 23 的情形 cbxaxy 23 2 1 2 1 3 111 cxbxaxxP cbxaxxf 1 2 11 23 因此过点 1 P的切线方程为 2 1 3 11 2 1 2 23 bxxxcbxaxy 联立 cxbxaxy bxxxcbxaxy 23 2 1 3 11 2 1 2 23 得到 0223 3 1 2 11 2 1 23 xbxxbxaxbxax 化简 得到 从而0 2 1 2 1 axbaxxx所以 642 2 1 2 1 22 1 2 a acabxxab a axb P 同样运用 i 中方法便 可以得到 213 24 2 xx a b x 所以 16 1 2 1 S S 方法技巧 函数导数的内容在历届高考中主要切线方程 导数的计算 利用导数判断函数单调性 极 值 最值等问题 试题还与不等式 三角函数 数列 立几 解几等知识的联系 类型有交点个数 恒 成立问题等 其中渗透并充分利用构造函数 分类讨论 转化与化归 数形结合等重要的思想方法 主要 考查导数的工具性作用 例 5 2010 江西高考理科 如图 一个正五角星薄片 其对称轴与水面垂直 匀速地升出水 面 记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 0 0 S t S 则导函数 yS t 的图像大致为 命题立意 本题将各知识点有机结合 属创新题型 主要考查对函数的图像识别能力 灵活分析问题 和解决问题的能力 考查分段函数 考查分段函数的导数 考查分类讨论的数学思想 考查函数的应用 考查平面图形面积的计算 考查数形结合的思维能力 思路点拨 本题结合题意及图像的变化情况可用排除法 也可先求面积的函数 再求其导数 最后结 合图像进行判断 规范解答 选 A 方法一 在五角星匀速上升过程中露出的图形部分的面积共有四段不同变化情况 第 一段和第三段的变化趋势相同 只有选项 A C 符合要求 从而先排除 B D 在第二段变化中 面积的增 长速度显然较慢 体现在导函数图像中其图像应下降 排除选项 C 故选 A 方法二 设正五角星的一个顶点到内部较小正五边形的最近边的距离为 1 且设m 0 18tan 则依据 题意可得 2 2 2 2 2232 222 2 22 2 22 2 1 2 22 21 1 2 1 1 2 1 10 1 1 1 49 1 41 1 1454 34 1 2 2 1 m m t t m m m m t t m mmmmm xmmxm m mmmm mx mxxmm mtmtt tS 其导函数 2 2 2 22 2 1 2 22 21 1 2 1 1 2 1 10 1 412 2 42 1 2 m m t t m m m m t t mmtm mt tmm mt tS 故选 A 方法技巧 从题设条件出发 结合所学知识点 根据 四选一 的要求 逐步剔除干扰项 从而 得出正确的判断 这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题 当题目中的变化情况较多时 先根据 某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的 予以排除 再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出 矛盾 这样逐步筛选 直到得出正确的选择 它与特例法 图解法等结合使用是解选择题的常用方法 近 几年高考选择题中考查较多 例 6 2010 全国高考卷 理科 10 若曲线 1 2 yx 在点 1 2 a a 处的切线与两个坐标围成的三角 形的面积为 18 则a 来 A 64 B 32 C