丘成桐中国大学生数学竞赛大纲.doc

2010年中国大学生数学竞赛（丘成桐教授发起）竞赛大纲一Syllabuses for Geometry and Topology Geometry:Curves and surfaces1) Plane curves and space curves2) The fundamental theorem of curves3) Concept and examples of surfaces4) The first and second fundamental forms5) Normal curvature, principal curvature and the Gauss curvature6) Orthogonal moving frames and structure equations of surfaces7) Existence and uniqueness of surfaces8) Isometric transformation of surfaces9) Covariant derivatives on surfaces10) Geodesic curvatures and geodesics, Geodesic coordinates11) The Gauss-Bonnet formula12) Laplacian operator on surfacesGeometry on manifolds1)Manifolds2)Vector fields and differentials3)Tensors and differential forms4)Stokes formula5)De Rham theorem6)Lie derivatives7)Lie algebras8)Maurer-Cartan equations9)Vector bundles10)Connection and curvatures11) Structure equations12) Riemannian metrics13) The Hodge star operator and Laplacian operator14) The Hodge theoremReferences:M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces.S S Chern and Chen Weihuan, Lectures on differential geometryQ. Chen and CK Peng, Differential geometryT. Frenkel: Geometry from physicsJ. Milnor, Morse theoryTopologyPoint Set Topology1) Open set and closed set2) Continuous maps3) Haudorff space, seperability and countable axioms4) Compactness and Heine-Borel theorem5) Connectivity and path connectivity6) Quotient space and quotient topologyFundamental groups1)Definition of fundamental groups, homotopic maps2)Computation of fundamental groups: Van Kampen theorem3)Covering maps and covering spaces4)Applications: Brouwer fixed point theorem, Lefschetz fixed point theoremComplexes and homology groups1)Simplex, complexes and polyhedron2)Barycentric subdivision and simplex approximation3)Computation of fundamental groups of complexes4)Classification of surfaces5)Simplex homology groups6)Application: Lefschetz fixed point theoremDifferential topology1)Smooth manifolds and smooth maps2)Sards theorem3)Transversality and intersection4)Vector fileds and Poincare-Hopf theorem5)Differential forms and de Rham complexes6)Orientation and integration7)Poincare Lemma8)Poincare duality9)Meyer-Vietoris sequences10)de Rham theorem11)Vector bundle and Euler classesReferences:Armstrong, Basic topologyJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpointV. Guillemin and A. Pollack, Differential topologyBott and Tu, Differential forms in algebraic topology (first chapter)二Syllabuses on algebra, combinatorics, number theory and representation theoryAlgebra群论（31）：集合论预备知识；对称和群；子群和陪集分解；生成元集和循环群；正规子群、商群和同态定理；置换群和线性群；群在集合上的作用；Sylow定理和单群；自由群和群的表现；有限生成Abel群的结构；小阶群的结构；幂零群和可解群。环和域（28）：环与域的基本概念；环的同态基本定理；环的直积和局部化；整环的整除理论；高斯整数环与二次平方和问题；多项式环和对称多项式；域的扩张；代数学基本定理；尺规作图；有限域。Galois理论简介（21）：分裂域；域的可分扩张与正规扩张；域的伽罗瓦扩张和Galois基本定理；方程的伽罗瓦群；代数方程的根式解。教材： 冯克勤，李尚志，查建国，章璞， 近世代数引论参考教材：刘绍学，近世代数基础S. Lang, AlgebraM. Artin, Algebra E. Artin, Galois theory, Edited and supplemented with a section on applications by Arthur N. Milgram. Second edition, with additions andrevisions. Fifth reprinting. Notre Dame Mathematical Lectures, No. 2University of Notre Dame Press, South Bend, Ind. 1959 iii+82 pp.Integers and polynomials1. 数数理论：(a). 数的整除性，欧几里得算法，唯一分解定理；(b). 同余式和同余类，同余方程的求解，中国剩余定理；(c). 原根与指数；(d). 二次剩余，二次互反律；(e). 不定方程， Fermat方程。2.多项式理论: (a). 域上一元多项式，欧氏算法，唯一分解定理,零点；(b).代数基本定理，单位根；(c). 整系数多项式，Gauss引理和Eisenstein判别法；(d). 多元多项式，齐次和对称多项式，对称多项式基本定理。整数与多项式冯克勤 余红兵著 高等教育出版社Groups and representation theory1. Finite groups and compact groups2. Representations3. Direct sums and tensor products4. Characters and class functions5. Schurs lemma and orthogonal relations6. Complete reducibility of representations7. Determination of representation in terms of characters8. Representations of compact groups9. Maximal torus10. Weyl Chambers11. Representation ringsReferences:J. P. Serre, Linear representations of finite groups (Chinese translation by Feng Keqin)J. Milnor, Representation rings of classical groups三Syllabuses on analysis and differential equationsReal analysis第一章 中的点集 (4) 邻域, 内点, 聚点, 开集和闭集, 集和 集, Borel集, 开集的构造定理, Cantor集第二章 测度论 (20) 外测度, 可测集, Lebesgue测度, Caratheodory条件, Lebesgue -代数, Borel -代数, 可测集的构造, Lebesgue测度的性质. 可测函数的概念, 可测函数的运算封闭性, 简单函数,可测函数与简单函数的关系. 可测函数的收敛方式: 几乎处处收敛, 依测度收敛, 依 范数收敛, 几种收敛性之间的关系,Egorov定理, Riesz定理.可测函数的构造, Lusin定理. 第三章 积分论 (20) 非负简单函数的积分, 非负可测函数的积分, 积分的线性性质, 积分对积分区域的可加性, 积分的不等式性质. Levi单调收敛定理, Fatou引理, 控制收敛定理及其若干推论. Lebesgue积分与Riemann积分的关系. Fubini定理第四章 微分与不定积分 (16) Hardy-Littlewood极大函数, Lebesgue微分定理. 单调函数的性质, 单调函数的可微性. 有界变差函数的定义与性质, 有界变差函数的Jordan分解. 绝对连续函数, 绝对连续函数与不定积分, 微积分基本定理. 第五章空间 (12) Holder不等式, Minkowski不等式, 空间的完备性. 空间, 规范正交系, Riesz-Fisher定理第六章 抽象测度论与积分论简介 (6)Text books:E.M. Stein and R. Shakarchi， Real Analysis: Measure Theory,Integration, and Hilbert Spaces, Princeton University Press, 2005周民强, 实变函数论, 北京大学出版社, 2001Complex analysis第一章 复变量函数（学时 16 ） 1.1 复数与平面点集，球极投影1.2 复变量函数的连续与极限 1.3 复导数与Cauchy-Riemann方程1.4 复微分与保角映射 1.5 初等函数与幂级数第二章复积分与Cauchy积分公式 （学时24 ）2.1 复积分，Green-Stokes 公式2.2 Cauchy 定理与Cauchy积分公式 2.3 全纯函数的幂级数展开2.4 最大模原理，Schwarz 引理2.5 留数公式与亚纯函数的Laurant展开2.6 定积分的计算2.7 调和函数的积分表示2.8 Weierstrass因子分解定理, Mittag-Leffler定理第三章 保角映射与Riemann 映照定理(学时 16)3.1 分式线形变换与初等函数的几何描述3.2 正规族3.3 Riemann 映照定理3.4 对称原理， Schwarz-Christoffel 公式3.5 Picard 定理3.6 保角映射的应用第四章 Riemann 面引论 （学时 16）4.1 解析延拓4.2 Riemann 面的概念龚升，简明复分析L. Ahlfors, Complex Analysis K. Kodaira, Complex AnalysisFunctional analysis第一章 度量空间压缩映象原理，完备化，列紧集，线性赋范空间，凸集与不动点，内积空间第二章 线性算子与线性泛函线性算子的概念；Riesz定理及其应用；纲与开映象定理；共鸣定理；Hahn-Banach定理；共轭空间弱收敛自反空间；线性算子的谱第三章 紧算子紧算子的定义和基本性质；Riesz-Fredholm理论；紧算子的谱理论夏道行等，实变函数论与泛函分析，人民教育出版社.Peter D. Lax, Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002.Ordinary differential equations第一章 基本概念与基本初等解法常微分方程问题的来源；解定义及解的几何解释。各类基本方程的初等解法；一阶隐式微分方程与奇解。第二章 微分方程基本理论 初值问题解的存在唯一性定理；延拓定理；解关于初值和参数的可微性定理；高（维）阶微分方程相应基本理论。第三章 线性方程组与高阶线性方程线性微分方程组解的结构；常系数线性方程组的求解；高阶线性微分方程一般理论；常系数高阶线性微分方程求解；Laplacian变换法第四章定性理论初步动力系统的基本概念；平面上初等奇点及其分类；解的Liapunov稳定性。第五章边值问题边值问题基本介绍，S-L边值问题的特征值，周期边值问题。第六章首次积分与一阶偏微分方程解法 首次积分相关理论；一阶（拟）线性偏微分方程解法与几何解释。王柔怀，吴卓群编： 常微分方程讲义， 人民教