小波分析对非平稳信号的消噪.doc

哈尔滨理工大学学士学位论文小波分析对非平稳信号的消噪摘要小波分析是近十几年来应用数学和工程科学中一个迅速发展的研究领域，是由Fourier分析发展起来的一个新的数学方法，它既包含了丰富的数学理论，又是工程应用中强有力的方法和工具。它通过引入可变的尺度因子和平移因子，巧妙地解决了时频局部化的矛盾，弥补了Fourier分析的不足，是一种有效的时频分析方法。小波分析理论以其自身良好的时频特性在图像、信号去噪领域受到了越来越多的关注，开辟了非线性方法去噪的先河。本文针对小波阈值去噪法进行了研究和探讨，主要包括：小波阈值去噪的基本理论，基本问题选取包括小波基、阈值、阈值函数，基于信号去噪的基本原理以及传统阈值函数，随后给出小波阈值函数的改进方案，它克服了传统阈值函数的缺陷，并通过仿真实验验证本文阈值函数去噪法的去噪效果。此外，本文介绍了小波变换的基本思想和优点及多分辨率分析的过程, 并在MA TLAB 下利用小波变换工具箱, 编写程序实现信号去噪处理。充分显示了小波变换在处理非平稳信号中的优势。关键词小波分析； 非平稳信号； 噪声； 阈值函数Wavelet analysis of non-stationary signal de-noisingAbstractWavelet analysis is applied mathematics and engineering science in last decade a rapid development in the field of study, is developed by Fourier analysis, a new mathematical method which contains abundant mathematical theory, is a powerful method in engineering application and tools. It by introducing a variable scale factor and shift factor, skillfully handle the relationship between the time-frequency localization, make up for the deficiency of the Fourier analysis, is a kind of effective method of time-frequency analysis. Wavelet analysis theory to its good time-frequency features in the field of image denoising, signal has been more and more attention, has opened up a nonlinear method of denoising.Wavelet thresholding de-noising method are researched and studied in this paper，including the basic theory of wavelet thresholding de-noising, the selecting of thewavelet basis, thresholding value and thresholding function. Base on the basic theoriesof signal de-noising and traditional thresholding function, Then an improvedthresholding function is proposed. This method overcomes the defects of the traditionalhresholding function. Were introduced in this paper the basic ideas and advantages of wavelet transform and multiresolution analysis process, and use wavelet transform under MA TLAB toolbox, write a program to realize signal de-noising processing. Fully shows the advantages of wavelet transform in non-stationary signal processing.Keywords The wavelet analysis; Nonstationary signal; The noise; Thresholding Function不要删除行尾的分节符，此行不会被打印 - II -目录摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2 国内外研究现状21.3 本次课题的任务及所做工作3第2章 傅里叶变换和小波变换42.1 傅里叶变换42.1.1 离散傅里叶变换42.1.2 连续傅里叶变换42.1.3 窗口傅里叶变换52.2 小波变换62.2.1 连续小波变换72.2.2 离散小波变换92.2.3 二进小波变换102.2.4 小波变换与傅里叶变换的比较112.3 多分辨分析与分解、构算法122.3.1 多分辨分析122.3.2 分解与重构算法142.4 常见小波152.4.1 重要概念152.4.2 常见的小波函数152.5 小波包192.6 本章小结20第3章 小波的信号去噪223.1 小波去噪原理223.1.1 小波去噪原理223.1.2 小波去噪步骤233.2 小波阈值去噪的原理233.3 小波阈值去噪的基本问题243.3.1 小波基的选择243.3.2 阈值的选择253.3.3 阈值函数的选择263.3.4 阈值函数的改进283.4 小波去噪的MATLAB 实现303.4.1 MATLAB中小波去噪的函数集合303.4.2 matlab仿真结果323.4.3 仿真结果分析343.5 本章小结35结论36致谢37参考文献38附录A MATLAB程序39附录B 外文文献41附录C文献翻译47千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行- IV -第1章 绪论1.1 课题背景当今的社会是一个信息时代，科技发展迅速，信号的应用非常广泛，信号的结构也越来越复杂，为了清楚的分析和利用实际工程信号的有用信息，对信号进行消噪处理是十分重要的 。实际采集信号的过程中，由于数据采集环境和进行数据采集的仪器仪表自身的原因，不可避免的存在其他信号的干扰和噪声，噪声对于数据采集及信号测量之后的科研和生产工作会造成不利的影响，这些噪声信号将掩盖我们所需要的有用信号，因此在对信号进处理之前必须对实际采集的信号进行去噪处理。在现实生活中，噪声无处不在，它时刻干扰人们的正常学习、工作与生活，严重的影响人们的生活质量，可见对信号进行消噪处理是十分必要的。信号消噪后，在语音识别方面，可以提取有效的语音信号；在图像处理方面，可以观察到清晰的图像；在航天航空技术方面，可以成功实现卫星发射的目的总之，在实际的工程应用中，利用小波分析进行信号消噪具有重要意义 。小波分析是一种新兴的数学分支，它是泛函数、Fourier分析、调和分析、数值分析的最完美的结晶。在应用领域，特别是在信号处理、图像处理、语音处理以及众多非线性科学领域，它被认为是继Fourier分析之后的又一有效的时频分析方法。小波变换与Fourier变换相比，是一个时间和频域的局域变换因而能有效地从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。当前，小波分析的应用领域十分广泛，其科研成果也有很多，例如，在数学方面的数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图象处理方面的图象压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等许多方面。小波变换用于通信信号的消噪是小波变换应用的一个重要方面，其研究成果也比较显著，基于小波的消噪能够获得令人满意的效果。小波变换是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过十多年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。小波变换的领域不断扩展，其科研成果也不断涌现，其发展前景十分广阔。1.2 国内外研究现状近年来，小波滤波这一概念不断见之于有关信号及图像处理研究的文献中，这标志着一种新的信号滤波思想的出现。在早期的多尺度信号处理工作中，人们就已注意到信号和噪声在不同尺度上有不同的特征表现，并试图有效地利用这些特征，小波变换的出现为这一思想提供了一个自然而完美的工具，使信号图像的多尺度处理技术得到迅速发展。小波变换是近十几年信号处理领域研究的一个热点，许多学者将小波仔理论上的研究成果应用到诸如图像压缩、特征提取、信号滤波和数据融合等方面，而且小波变换的应用领域还在不断发展当中。小波的发展过程1：1989年，Mallat提出了多分辨率分析的概念，从空间的概念上形象的说明了小波的多分辨率分析特性，并将在此以前各种正交小波基的构造方法统一起来，给出了小波变换的快速算法，即Mallat算法。1992年，Donoho和Johnstone提出小波阈值萎缩方法（WaveShrink），并给出了阈值公式，这种理论包括软阈值和硬阈值去噪两种方法，他们的原理是根据信号和噪声在小波域内的不同分布特性采用不同的阈值方法，这种法推动了小波理论的发展，从理论上有利的证明了WaveShrink的最优性。1994年，基于空域相关性的去噪方法相关性滤波由Xu等人提出，他是根据在相邻尺度之间噪声和信号的小波变换系数的相关性和对相邻尺度间小波系数的相关性进行计算和比较，判别小波系数的类型的。这种算法易于实现，缺点是结果不够精确，如何估计噪声能量是该方法的关键问题，Pan 等人提出具有自适应性的空域相关滤波算法，他们给出了一种估计信号噪声方差的方法，还推导出计算噪声能量阈值的计算公式平移不变小波去噪出现，它是由 Coifman 和 Donoho 提出的，为小波去噪的进一步发展做出了杰出的贡献。Bruce 还提出了 semisoft 阈值方法，他把软阈值和硬阈值的方法进行研究和推广，推断出了不同收缩（shrinkage）函数的特性，还给出如何计算阈值的偏差、方差等公式，并给出最小最大阈值。semisoft 阈值方法比硬阈值方法连续性好，偏差比软阈值方法要小一些。后来，Gao 又提出了 garrotet阈值函数。1997 年，一种与相关性噪声去除有关的小波阈值估计器由 Johnstone 等人给出。同年，Jansen 等人在去除相关噪声估计小波阈值过程中,利用了广义交叉验证（Generalized Cross Validation，GCV）估计器。1998 年，多小波的通用阈值公式由 Dowine 和 Silverman 提出，同年 Bul 和 Chen将平移不变小波去噪的方法应用到多小波的情形中。1999 年，小波域滤波算法由 Nowak 等人提出，主要用来去除图像中的 Poisson噪声。同年，Hung 等人提出了基于奇异性检测的去噪，它是通过计算一个锥形影响域内小波系数模的和来估计信号的局部正则性的，并不做模极大值检测与处理，从而对小波系数进行滤波。2000 年，一种针对图像的阈值去噪方法由 Chang 等人提出，我们称这种方法为空域自适应小波阈值去噪。同年，Krim 等人采用了不同的方法，最后也得到了相同的阈值公式，运用的是 MDL（Minimum Description Length）准则。这种方法对高斯噪声尤为适用，从此，阈值去噪被广泛的应用到图像去噪中，并取得了很好的效果。但是经过长时间的实验分析后发现，通用阈值还是存在一定的不足之处，它对小波系数有很严重的“过扼杀”的现象，这种现象引起了学者对阈值选择的广泛研究，经过进一步的研究，针对确定阈值方面，又提出了很多不同的方法，给出了各种不同的阈值函数，但对于有色噪声和非高斯场合，却不怎么适用，主要是这些方法是基于独立同分布噪声的，基于以上因素，有学者针对这种情形提出了新的阈值选取方法，它能用来分析服从正态分布的有色噪声的小波去噪问题，还具有尺度适应性。迄今为止，对小波去噪方法的研究仍不断有新的方法的出现，尤其是针对阈值萎缩方面的层出不穷，除此之外，还有人提出了其他的去噪方法，如利用最大后验概率的比例萎缩法、基于 Lipschitz 指数的方法等等。1.3 本次课题的任务及所做工作本次课题通过学习小波知识，加深了对小波理论的理解，了解了小波变换在某些方面的应用，如滤波消噪、突变信号检测、非平稳信号时域分析、信号特征提取等等。本次课题分析小波变换在消噪方面的应用，学习利用小波变换进行消噪的方法、意义以及动态，重点研究小波阈值消噪方法。应用MATLAB软件中的小波分析工具箱，利用其中的有关函数进行编程并仿真，通过比较仿真结果得出不同消噪方法的最终效果。本次课题详细介绍了小波变换的基本理论，在学习了小波变换知识的基础上，主要研究了基于小波变换的两种去噪方法：小波强制消噪方法和基于阈值消噪方法。之后对这两种方法进行了算法分析，并通过实验予以仿真实现和结果分析。其中对阈值去噪方法进行了主要介绍，主要提出了以下几种方法：小波默认阈值消噪方法，小波软阈值消噪方法 ，小波硬阈值消噪方法。对于软阈值消噪方法又分别采用sure的自适应阈值、启发式阈值、固定形式阈值、极大极小值原理阈值等消噪方法进行消噪。此外，在比较小波消噪方法之后将小波包理论用于消噪，进行了程序编写并仿真，对其效果与小波消噪的效果进行了比较。第2章 傅里叶变换和小波变换小波分析属于时频分析的一种。传统的信号分析是建立在傅里叶（Fourier）变换的基础之上的，由于傅里叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等。其中，短时傅里叶变换和小波变换也是应传统的傅里叶变换不能满足信号处理的需求而产生的。但从本质上讲，短时傅里叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数。因而，短时傅里叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。小波变换是一种信号的时间-尺度（时间-频率）分析方法，它具有多分辨率分析（Multiresolution Analysis）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。2.1 傅里叶变换2.1.1 离散傅里叶变换我们知道傅里叶级数的基函数具有正交性，可简化计算，如果傅里叶级数收敛，则该函数可以被部分和逼近。首先定义：设函数在 0,2中的 N 个等分点的值为, j=0,1,2N-1,称 （2-1）为序列的离散傅里叶变换，称 （2-2）为序列 的离散傅里叶逆变换。2.1.2 连续傅里叶变换我们把离散傅里叶变换看成是连续傅里叶变换离散化得到的，不难发现对应的连续变换为 （2-3）如果下列积分存在，我们称 （2-4）为 f (t)的连续傅里叶变换简称为傅里叶变换。而 （2-5）为连续傅里叶逆变换简称傅里叶逆变换。从公式(2-4) (2-5)中可以看到公式(2-4)是将时域(空间)变量 tR为自变量的函数化为以频率为自变量的函数,公式(2-5)是将以频域变量为自变量的函数化为原来的时域函数，这就出现了不足了。注意到公式(2-4)，当一个信号经过傅里叶变换到频域时，变换后时间信息完全被丢失了，我们也就没有办法去确定信号是在什么时候发生的，也就是说，它在时域里没有任何分辨能力或者说是任何定位性，从公式(2-5)也可看出，当我们研究频谱信息时，时间变量 t，虽然傅立叶变换能够分别分析信号的时频域，同时也能研究信号的时域特征和频域特征，但是它不能把时域和频域放在一起研究，暴露出它的严重不足。比如分析一个平稳信号，它在一定时间域中变化是稳定的，对时间定位也许不是特别重要，但是在平时生活中大部分信号都包含有非平稳的因素如突变、偏移、事件开始等，对这些信号来说，他们的非稳定情况是非常重要的，它包含了信号的重要特征，例如通常需要某一频率段所对应的时间信息以及某一时刻、时间段的信息。因此需寻找一种新的信号分析方法，它需具备一定的同时分析时域和频域“局部”的能力。2.1.3 窗口傅里叶变换为了描述信号的时频局部化特征，克服傅里叶变换的缺点，Gabor 于 1946 年提出 Gabor 变换，也叫短时傅里叶变换，它的基本思想是给信号加上一个小窗口，让傅里叶变换主要集中在窗口进行，从而反应出信号的局部特征。其表达式为： （2-6） 其中是进入分析的信号，称作基信号，g(t)称为窗函数(又称Gabor函数)，起着时限的作用，“*”表示复共扼，起着频限的作用。可以看出，信号在时间的短时傅立叶变换就是信号乘上一个以为中心的“分析窗”所作的傅里叶变换。由于乘上一个相当短的窗等价于取出信号在分析点t=附近的一个切片，所以STFT直接是信在“分析时间”附近的“局部谱”。随着时间的变化，所确定的“时间窗”在t轴上移动，使信号“逐渐”被分析。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，和分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频局部化分析中的分辨率，窗宽越小，即和的值越小则分辨率越高，越能体现好的时频分析效果。但是，海森堡(Hei senberg)测不准原理(Uncertainty Principle)指出和的乘积满足不等式 （2-7）这一原理阻碍了既有任意小的时间间隔又有任意小的频带宽的窗函数的存在。这意味着只有牺牲时间分辨率以换取更高的频率分辨率，或反过来用频率分辨率的牺牲来换取时间分辨率的提高。由此可见，短时傅立时变换虽然对弥补标准傅里叶变换的不足起到了一定的作用，克服了标准傅里叶变换不具有局部分析的能力，但它的时一频局部化并不彻底。当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定不变了，和只能改变窗口在相平面上的位置，不能改变窗口的形状。因此，STFT实质上是单一分辨率的分析，若要改变分辨率，实时宽和频宽，就必须重新选择窗函数g(t)。小波分析正是为了克服短时傅立叶变换的不足，更彻底地解决时一频局部化问题而提出来的。2.2 小波变换小波分析方法2是一种窗口大小(即窗口面积)固定而其形状可以改变，时间窗和频率窗都可改变的时频局部化方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。小波分析的这种特性被誉为数学显微镜，它使得小波变换具有对信号的自适应性。也就是说，在小波分析中，人们以不同的“标度”或“分辨率”来观察信号：信号粗略地看是平稳的，而在细节处(用一个很小的窗口观察)信号的不连续性交得明显。这种多分辨率或多尺度的观点是小波变换的基本点。小波分析的发展是以解决实际问题应用为出发点，而后上升到理论辐射多学科，所以，小波分析形成一次又一次的研究高潮，成为国际研究的热点。设 (L2( R)表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间)，其傅里叶变换为。当满足允许条件（Admissible Condition）： （2-8）时，我们称为一个基本小波或母小波（Mother Wavelet）。将母函数经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列。小波变换的时频窗口特性与短时傅里叶变换的时频窗口不一样。其窗口形状为两个矩形b-a,b+ a(，窗口中心为，时窗和频窗宽分别为和。其中b仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对于不同的频率在时域上的取样步长是调节性的，即在低频时小波变换的时间分辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较差，这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。这便是它优于经典的傅里叶变换与短时傅里叶变换的地方。另外小波变换的特点有：1. 时频局域性、多分辨分析、数学显微镜；2. 自适应窗口滤波：低频宽、高频窄；3. 适用于去噪、滤波、边缘检测等。从总体上来说，小波变换比短时傅里叶变换具有更好的时频窗口特性，弥补了短时傅里叶变换的不足，另外小波变换保留和发展了短时傅里叶变换能“局部”分析信号的能力，同时其窗口大小、形状均可改变、且有离散化正交基，是一种理想的处理非平稳信号的方法。2.2.1 连续小波变换 设是平方可积函数，即 , 若 的傅里叶变换 满足条件 (2-9)则称为一个基本小波或小波母函数，称式(2-9)为小波函数的可容许性条件。将小波母函数进行伸缩和平移得小波基函数： a,bR;a0 (2-10)其中a 为伸缩因子（又称尺度因子），b 为平移因子。对于任意的函数，其连续小波变换为： (2-11)小波变换同傅里叶变换一样，都是一种积分变换。由于小波基不同于傅里叶基，小波变换与傅里叶变换有许多不同之处，其中最重要的是，小波基具有尺度a 、平移b 两个参数，将函数在小波基下展开，就意味着将一个时间函数投影到二维的时间尺度相平面上。从频率域的角度来看，小波变换已经没有像傅里叶变换那样的频率点的概念，取而代之的是本质意义上的频带概念；从时间域来看，小波变换所反映的也不再是某个准确的时间点处的变化，而是体现了原信号在某个时间段内的变化情况。连续小波变换是一种线形变换，它具有以下几方面的性质3：1. 线性性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换 之和。2. 平移不变性：若的小波变换为，则的小波变换为3. 伸缩共变性：若的小波变换为，则的小波变换为 c04. 自相似性：对应不同尺度参数a和不同平移参数b的连续小波变换之间是自相似的。5. 冗余性：信息在表述时存在着一定的冗余度，它直接反映的是小波变换的自相似性，系数进行连续小波变换后，它的信息量是冗余的。小波变换与小波重构之间并不是一一对应的，连续小波变换可改写成卷积的形式，看成是信号和滤波器的卷积运算。小波变换的核函数有很多的选择，有双正交小波、非正交小波、还可以是正交小波，小波还可以是彼此线性相关的。所以，在小波分析中，如何让小波变换的冗余度尽可能小是关键问题之一。6. 自相似性：尺度参数 a 和平移参数 b 均不同，但连续小波变换之间是自相似的。7. 能量关系：信号时，在内积定理中，Moyal 定理变为 由式 2-11 可知，小波变换的幅度平方与原信号的能量成正比，在尺度位移平面内的积分是在尺度位移域内能量的积累。8. 内积定理（Moyal 定理）：对,有 内积定理证明，信号的时域内积与变换域内积有着密不可分的联系。可以看出，在 CWT 情况下，没有要求小波要有相应的尺度函数，如果(t)不存在与之相应的尺度函数，会导致 CWT 只能看到原信号的细节信息而看不到大体轮廓。下面对连续小波变换中窗口的变化进行定量分析4：定义小波基函数的窗口宽度为，窗口中心为，则相应可以求得连续小波的窗口中心为，窗口的宽度为。同样设为的Fourier交换，其频域窗口中心为，窗口宽度为，设的Fourier交换为，则有。所以，其频域窗口中心为，窗口宽度为可见，连续小波时、频域窗口中心及宽度均随尺度a的变化而伸缩。若我们称为窗口函数面积，由于，所以连续小波的窗口面积是不随参数a,b而变的。由此可以得出如下结论：1. 尺度的倒数在一定意义下对应于频率，即尺度越小，对应频率越高；尺度越大，对应频率越低。如果我们将尺度理解为时问窗口的话，则小尺度信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信号。2. 在任何b值上，小波的时、频域窗口的大小和都随频率的变化而变化。3. 由于小波基函数在频域具有带通特性，其伸缩和平移系列就可以看作是一组带通滤波器。4. 在任何尺度a、时间点b上，窗口面积保持不变，即时间、尺度分辨率是相互制约的，不可能同时提得很高。2.2.2 离散小波变换由以上分析，我们可以得到一族离散小波函数，其的数学表达式为： (2-12)进一步，我们可以知道，信号的离散化小波变换的系数为： (2-13)离散小波变换的重构公式为： (2-14)这里，C是一个与原始信号无关的常数。离散化参数取作的离散小波通常称为二进小波。2.2.3 二进小波变换 对于尺度及位移均离散变化的小波序列，若取离散珊格的即相当于连续小波只在尺度上进行二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这类小波为二进小波。表示为： (2-15)在实际运用中，尤其是在计算机上实现小波变换时，连续小波变换必须加以离散化。因此讨论连续小波和连续小波变换 的离散化情形是很有必要的。并且离散化是针对连续的尺度因子a和平移因子b的，而不是针对时间(空间)变量t的。在连续小波变换中，考虑连续小波函数： (2-16) 为方便起见，我们这里假设条件：，小波基函数的Fourier变换满足容许性条件那么在假设的条件下，容许性条件就变为： (2-17) 在实际运用中，我们通常把连续小波变换中尺度因子a和平移因子b的离散化公式分别取作为： (2-18)这里，步长是固定值，为了研究问题的方便，总是假定，正因为k可取正值也可以取负值，所以在实数范围内定义函数的二进小波变换系数为： (2-19)二进小波变换的重构公式为： (2-20)其中，的对偶框架，其上，下界分别为。二进小波变换介于连续小波变换和离散小波变换之问，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域参量仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移不变性，这是它同离散小波变换相比具有的独特优点。二进小波变换可以大大减少小波系数的冗余度，但是当不满足A=B=l时，二进变换系数之间仍然具有一定的相关性，在求其逆变换时，仍用框架理论来求解。2.2.4 小波变换与傅里叶变换的比较小波分析是傅里叶分析思想方法的发展和延拓。自产生以来，就一直与傅里叶分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅里叶分析，二者是相辅相成的。两者相比较主要有以下不同5：1. 傅里叶变换的实质是把能量有限信号分解到以为正交基的空间上去；而小波变换的实质是把能量有限的信号分解到由小波函数所构成的空间上去。两者的离散化形式都可以实现正交变换，都满足时频域的能量守恒定律。2. 傅里叶变换用到的基本函数只有 ， 或，具有唯一性；小波分析用到的小波函数则不是唯一的，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析时有时结果相差甚远。小波函数的选用是小波分析应用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题，目前往往是通过经验或不断的实验，将不同的分析结果进行对照分析来选择小波函数。一个重要的经验就是根据待析信号和小波函数的相似性选取，而且此时要考虑小波的消失矩、正则性、支撑长度等参数。3. 在频域中，傅里叶变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅里叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，但在时域中，傅里叶变换没有局部化能力，即无法从信号的傅里叶变换中看出的在任一时间点附近的性态。因此，小波变换在对瞬态信号分析中拥有更大的优势。4. 在小波分析中，尺度的值越大相当于傅里叶变换中的值越小。5. 在短时傅里叶变换中，变换系数主要依赖于信号在时间窗内的情况，一旦时间窗函数确定，则分辨率也就确定了。而在小波变换中，变换系数虽然也是依赖于信号在时间窗内的情况，但时间宽度是随尺度的变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析的能力。因此，小波变换也可以看成是信号局部奇异性分析的有效工具。6. 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅里叶变换不同之处在于：对短时傅里叶变换来说，带通滤波器的带宽与中心频率无关；相反，小波变换带通滤波器的带宽则正比于中心频率，即： (为常数) (2-21)也就是滤波器有一个恒定的相对带宽，称之为等Q结构（Q为滤波器的品质因数，且.有Q=中心频率/带宽）。我们希望在对低频信号分析时，频域用高分辨率，在对高频信号分析时，频域用低分辨率，该等Q结构恰好符合该要求。7. 框架角度来说傅里叶变换是一种非冗余的正交紧框架，而小波变换却可以实现冗余的非正交非紧框架。 2.3 多分辨分析与分解、构算法多分辨分析（MRA）又叫做多尺度分析，它是基于函数空间而建立的，其基本思想是在平方可积函数的某个子空间建立一组基底，然后将子空间中的基底通过一些伸缩、平移变换“填满”整个平方可积函数空间中去。2.3.1 多分辨分析设平方可积函数空间中的一系列空间序列若满足如下条件：1. ; (2-22)2. ; (2-23)3.; (2-24)4. ; (2-25)5. 的标准正交基；则我们称为多分辨分析。其中这 5 个条件分别叫单调性(嵌套性)，稠密性，隔离性(独立性)，伸缩性，正交性。值得注意的是条件4，它表明我们可得到任一空间的基底，只需通过将另一空间的基底伸缩平移即可。条件5还可以放松为 Riesz 基，由泛函分析可知，由 Riesz 基可以构造出一组正交基。可以证明对任一， (2-26)可构成的一个标准正交基，此时我们把叫做尺度函数。(2-26)中的系数是为了保证范数不变，并由尺度函数容易得到尺度方程： (2-27)尽管的标准正交基，但是并不能构成整个平方可积函数空间的标准正交基，因为当时，子空间不正交这就，导出了小波函数（空间）。根据尺度空间的单调性，我们把后一尺度函数空间表示成前一尺度函数空间和它的正交补的直和，那么现在只需找一个小波函数经过伸缩平移产生那个正交补空间即可。由函数空间分解可得：由以上分析可得如下定理： 设是一个多分辨分析，相应的尺度函数和尺度方程为 (2-28) 若空间是由张成的，此处 (2-29) (2-30)则是的正交补，并且是的一组标准正交基。 2.3.2 分解与重构算法如何进行小波的分解与重构(重建)，这是常见的实际问题。基于多分辨分析理论，Mallat 在这里做出了巨大贡献，提出了类似于离散傅里叶分析的快速算法即Mallat 算法。设信号在第尺度空间有它的逼近，则有两种方法可以将信号表示出，第一种是直接用第尺度空间的基来表示，即，第二种是利用多分辨分析的直和分解，由线性代数易知也是第 j尺度空间的正交基，所以 (2-31) 两种方法都表示信号在第尺度空间的逼近，但意义完全不一样。记 (2-32) (2-33)分解问题：已知系数，求系数。重构问题：已知系数和，求系数。定理 1 设是一个多分辨分析，则小波有如下的分解、重构算法：1. 分解算法： (2-34)2. 重构算法： (2-35) (2-36)通常为方便，我们常记。有了分解重构算法后，我们就得到用小波进行信号处理的过程可大致分为四步：1. 取样：根据采样定理来捕获信号的必要细节。2. 分解：信号采样后，反复利用分解算法直到我们需要的某个级别后，输出相应系数。3. 信号处理：根据自己的目的丢掉不需要要的系数，如信号压缩就把不显著的系数舍掉；信号去噪就把不需要的频率舍掉，然后输出处理后的信号。4. 重构：利用重构算法得到最高一级的近似系数，由相关定理知道处理后的信号与近似系数相等。2.4 常见小波2.4.1 重要概念1. 正交性6：设为平方可积函数空间中的元素，如果满足 （2-37） 则称为规范正交系，如果规范正交系是完全的，则称之为规范正交基。2. 紧支性：如果函数在闭区间 a,b外取值为零，则称是紧支的，闭区间 a,b就是其支集(支撑集)，当然紧支也称为局部支撑，紧支是小波所特有的性质，是“小波”中小的由来；具有紧支性的波叫做紧支称小波，若小波的支集越小，则显然它具有越强的局部化能力，它不需要做人为切断，精度高。3. 光滑性：小波的光滑性是指该小波函数曲线、曲面是否光滑，以及光滑程度如何，一般地，若函数的r阶连续导数均存在，则称它r+1阶光滑的。2.4.2 常见的小波函数与标准 Fourier 变换相比，小波基函数是多样化的，致使我们在小波分析中用到的小波基函数没有统一的选取规则，因此对同一个问题使用不同的小波基分析则情况也是多种多样的。常见的小波基函数有如下几种：1. Haar 小波函数Haar 小波函数是最经典、最简单的正交、局部支撑的小波函数，其定义如下： (2-38)图2-1 Haar 小波函数2. Daubechies 系列小波虽然 Haar 小波简单、正交、紧支，但是不连续，而 Daubechies 系列小波大多是紧支、连续、正交的小波，在这个系中，一阶 Daubechies 小波就是 Haar 小波，它是这个系列小波中唯一一个不连续的小波，Daubechies 系列小波也有不足，那就是光滑性较差，但它随着阶数的增大而增加，除一阶 Daubechies 小波外，其他阶均没有明确的解析式，下图给出 Daubechies4 小波的图象：图2-2 Daubechies 小波函数3. symlets 小波系 symlets 小波系是近似对称的小波函数，它由 Daubechies 提出，是改进的Daubechies 小波函数，下面给出阶数为 4 的 symlet 小波函数图象：图2-3 symlets小波函数4. coiflet 小波系 coiflet 小波由 Daubechies 构造,N=1,2,3,4,5.具有比 dbN 更好的对称性，且有 2N阶消失矩。下面给出 3 阶的 coiflet 小波函数图象：图2-4 coiflet小波函数5. MorIet 小波小波函数为，在时域频域都有较好的局部性，但不具有正交性，不存在紧支集，下面给出时的小波图象：图2-5 MorIet小波函数6. MexicanHat 小波对 Gauss 函数求二阶导数就得到 MexicanHat 小波。其解析式为： (2-39) 此波具有很好的“局部”分析能力，但不具有正交性。图象如下：图2-6 MexicanHat小波函数 各种小波基函数性质对比：表2-1各种小波基函数性质对比各小波基函数HaarDbNsymletscoifletMorletMexicanHat正交、紧支有有有有对称有有有近似对称有有不对称有重构精确有有有有快速算法有有有有有显示表达有有有小波基函数选择可从以下3个方面考虑7：1. 复值与实值小波的选择复值小波作分析不仅可以得到幅度信息，也可以得到相位信息，所以复值小波适合于分析计算信号的正常特性。而实值小波最好用来做峰值或者不连续性的检测。2. 连续小波的有效支撑区域的选择连续小波基函数都在有效支撑区域之外快速衰减。有效支撑区域越长，频率分辨率越好；有效支撑区域越短，时间分辨率越好。3. 小波形状的选择如果进行时频分析，则要选择光滑的连续小波，因为时域越光滑的基函数，在频域的局部化特性越好。如果进行信号检测，则应尽量选择与信号波形相近似的小波。2.5 小波包正交小波的不足在于它不能同时提高时域和频域的分辨率，因为频谱窗口随着 j 的增大而变宽，所以为了避免此情况导致频域的分辨率降低，就需要以提高分辨率为目的再对变宽的频谱窗口作进一步分割，这就导致小波包诞生。小波包以将信号分解得更为精细，是对小波细节部分进一步再分解的方法。小波包基础由 (2-40)定义的函数称为关于正交尺度函数的小波包，其中 (2-41) (2-42)小波包具以下主要性质8：定理 1 设是由正交尺度函数生成，则对任意的正整数n，都有 (2-43) 定理 2 设是由正交尺度函数生成，则对任意的正整数m，都有 (2-44)定理3 设的一组规范正交基。类似于小波分析，小波包也有类似的分解、重构算法：小波包分解算法：由 (2-45) 小波包重构算法：由 (2-46) 2.6 本章小结在信号处理和分析中，信号的噪声一般集中在高频，而有用信号的频谱又是主要集中在一个有限的低频空间里。处理实际问题时，人们总是希望把噪声减小到可以忽略不计的程度，而使其能完全重构出信号的本来面貌。所以信号去噪有很多的方法，最常用的是 Fourier 变换方法和基于小波变换的信号去噪方法。小波分析来源于傅里叶分析，它不能代替傅里叶分析，它是傅里叶分析的新发展，二者的互补优势和相辅相成的良好效果已被科研实践所证实，对于长时间 内比较稳定的信号，用傅里叶分析比较适合；小波变换由于具有时频局部化， 具有自适应性，在低频段采用高的频率分辨率和低的时间分辨率，在高频段采用 低的频率分辨率和高的时间分辨率，非常适合于分析有突变的信号。本章较为详细地介绍了小波分析的基本理论，从传统的傅里叶分析开始，经过窗口傅里叶变换发展，再到小波变换的出现做了简要的分析和介绍。详细介绍了小波分析的核心多分辨分析及 Mallat 分解、重构算法，小波包。简要介绍了常见的几种小波和几个有关小波性质的数学概念。第3章 小波的信号去噪信号去噪可以定义为去除信号的噪声部分并恢复信号“本来面目”的过程。传统的方法是傅里叶分析法，但是，由前面我们知道傅里叶分析法对非平稳信号的分析是无能为力的，并且实际上我们所得到的含噪信号大多都是非平稳的，为此，常用小波分析法来处理信号去噪。 信号去噪主要有两条准则9：1. 光滑性：去噪后的信号与原来的信号大部分情形要有相同的光滑性。2. 相似性：即使在最坏的情况下，去噪后的信号与原来的信号的方差估计应当为最小。基于信号去噪的两主要准则，小波去噪方法经过了不同程度的发展，大致出现了三种去噪法，首先是 Mallat 在研究信号处理时提出小波分解与重构算法，并且利用小波系数模极大值提出了第一种去噪法，即模极大值去噪法，这是小波去噪方法中最为经典的方法之一。然而若直接用有限个模极大值点去重构信号，则所带来的误差是非常大的，所以 Mallat 又提出了 AP 法交替投影法，此法很好地解决了此问题，但是，计算量过大，迭代易出现不稳定。随后徐长发等人提出了第二种方法基于小波系数的空域相关性去噪算法，此算法简单、直接、比较稳定，易于实现，但是需估计噪声方差且计算量比较大，于是在 1995 年，Donoho 与 Johnstone 提出了第三种信号去噪的方法即小波阈值收缩去噪法，在均方误差意义最小