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第四章 向量组的线性相关性一、计算题1 解：2解：设得3解：4.解： 5.解： 6.解： 7.解： 8.解： 9.解：10. 解： 11. 解： 12解：13解：通解 14解：增广矩阵 ，因此有无穷多个解，其通解为15解： ，无解16.解：非齐次方程组通解为其对应齐次方程组的基础解系再加上一个特解， 17、解：18.解：上方程组与方程联立起来得到三元四个方程的方程组，此方程组有解推出其系数矩阵与增广矩阵的秩相同，作初等变换可得19.解：20.解：21. 解： 22. 解：四个向量组构成的矩阵记为A,23.解：24.解：存在初等矩阵则交换的第一行与第二行后的矩阵为25.解：B的列向量都是Ax=0的解，由矩阵秩性质26.解： 27.解：同解说明了解集空间相同，即解空间的基等价，也就是两个方程组基础解析等价。二、证明题1.证明：（提示）作初等行变换只需证明=22.证明：B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示。证明：（提示）只需证3.证明：用反证法证明，假设向量组b1，b2 ，br线性相关，则由相关和a1，a2，ar线性无关以及无关的定义推出矛盾即可。4. 证明： 5. 证明：6、证明：(2)证：等式右边两个矩阵都是满秩的，故左边矩阵也为满秩即线性无关。7证明： 所以 为可逆矩阵。 所以 为可逆矩阵。8证明：（1） 故得证 （2）若线性相关，则可设，于是 即三、解答题1.解：2.解：（1）证明： 假定，其中不全为零。则在诸中选出模最大的系数， 也就是，于是必有。（想一想为什么？）考虑 的第m个坐标，即移项得 由于， 与已知条件相矛盾所以给定的向量组是线性无关的。（2）证明：由（1）知A的行向量线性无关，所以A满秩， 作，则是t的多项式，从而是t的连续函数。易知， 若，由连续函数性质知存在，使。但所对应
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