全等三角形中考试题汇编

第 1 页 共 53 页 全等三角形全等三角形 一一 选择题选择题 1 2015 四川资阳 第 10 题 3 分 如图 6 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 1 E F 为 线段 AB 上两动点 且 ECF 45 过点 E F 分别作 BC AC 的垂线相交于点 M 垂足分 别为 H G 现有以下结论 AB 当点 E 与点 B 重合时 2 MH AF BE EF MG MH 其中正确结论为 1 2 1 2 A B C D 考点 相似形综合题 分析 由题意知 ABC 是等腰直角三角形 根据等腰直角三角形即可作出判断 如图 1 当点 E 与点 B 重合时 点 H 与点 B 重合 可得 MG BC 四边形 MGCB 是矩 形 进一步得到 FG 是 ACB 的中位线 从而作出判断 如图 2 所示 SAS 可证 ECF ECD 根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判 断 根据 AA 可证 ACE BFC 根据相似三角形的性质可得 AF BF AC BC 1 由题意知 四边形 CHMG 是矩形 再根据平行线的性质和等量代换得到 MG MH AE BF AE BF AC BC 依此即可作出判断 解答 解 由题意知 ABC 是等腰直角三角形 AB 故 正确 如图 1 当点 E 与点 B 重合时 点 H 与点 B 重合 MB BC MBC 90 MG AC 第 2 页 共 53 页 MGC 90 C MBC MG BC 四边形 MGCB 是矩形 MH MB CG FCE 45 ABC A ACF 45 CE AF BF FG 是 ACB 的中位线 GC AC MH 故 正确 如图 2 所示 AC BC ACB 90 A 5 45 将 ACF 顺时针旋转 90 至 BCD 则 CF CD 1 4 A 6 45 BD AF 2 45 1 3 3 4 45 DCE 2 在 ECF 和 ECD 中 ECF ECD SAS EF DE 5 45 BDE 90 DE2 BD2 BE2 即 E2 AF2 BE2 故 错误 第 3 页 共 53 页 7 1 A 1 45 1 2 ACE A 5 45 ACE BFC AF BF AC BC 1 由题意知四边形 CHMG 是矩形 MG BC MH CG MG BC MH AC 即 MG AE MH BF MG MH AE BF AE BF AC BC 故 正确 故选 C 点评 考查了相似形综合题 涉及的知识点有 等腰直角三角形的判定和性质 平行线的 判定和性质 矩形的判定和性质 三角形中位线的性质 全等三角形的判定和性质 勾股 定理 相似三角形的判定和性质 综合性较强 有一定的难度 2 2015 浙江金华 第 9 题 3 分 以下四种沿 AB 折叠的方法中 不一定能判定纸带两条 边线 互相平行的是 ab A 如图 1 展开后 测得 1 2 B 如图 2 展开后 测得 1 2 且 3 4 C 如图 3 测得 1 2 D 如图 4 展开后 再沿 CD 折叠 两条折痕的交点为 O 测得 OA OB OC OD 答案 C 第 4 页 共 53 页 考点 折叠问题 平行的判定 对顶角的性质 全等三角形的判定和性质 分析 根据平行的判定逐一分析作出判断 A 如图 1 由 1 2 根据 内错角相等 两直线平行 的判定可判定纸带两条边线 a 互相平行 b B 如图 2 由 1 2 和 3 4 根据平角定义可得 1 2 3 4 90 从而根据 内错角相等 两直线平行 或 同旁内角互补 两直线平行 的判定可判定纸带两条边线 a 互相平行 b C 如图 3 由 1 2 不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补 故不一定能 判定纸带两条边线 互相平行 ab D 如图 4 由 OA OB OC OD 得到 从而得到 AOCBOD AOCBOD 进而根据 内错角相等 两直线平行 的判定可判定纸带两条边线 互 CAODBO ab 相平行 故选 C 3 2015 四川省宜宾市 第 8 题 3 分 在平面直角坐标系中 任意两点 A x1 y1 B x2 y2 规定运算 AB x1 x2 y1 y2 A B x1 x2 y1 y2 当 x1 x2且 y1 y2时 A B 有下列四个命题 1 若 A 1 2 B 2 1 则 AB 3 1 A B 0 2 若 AB BC 则 A C 3 若 A B B C 则 A C 4 对任意点 A B C 均有 AB C A BC 成立 其中正确命题的个数为 C A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 第 5 页 共 53 页 4 2015 浙江省绍兴市 第 7 题 4 分 如图 小敏做了一个角平分仪 ABCD 其中 AB AD BC DC 将仪器上的点 A 与 PRQ 的顶点 R 重合 调整 AB 和 AD 使它们分别 落在角的两边上 过点 A C 画一条射线 AE AE 就是 PRQ 的平分线 此角平分仪的画 图原理是 根据仪器结构 可得 ABC ADC 这样就有 QAE PAE 则说明这两个 三角形全等的依据是 A SAS B ASA C AAS D SSS 考点 全等三角形的应用 分析 在 ADC 和 ABC 中 由于 AC 为公共边 AB AD BC DC 利用 SSS 定理可判定 ADC ABC 进而得到 DAC BAC 即 QAE PAE 第 6 页 共 53 页 解答 解 在 ADC 和 ABC 中 ADC ABC SSS DAC BAC 即 QAE PAE 故选 D 点评 本题考查了全等三角形的应用 这种设计 用 SSS 判断全等 再运用性质 是全等 三角形判定及性质的综合运用 做题时要认真读题 充分理解题意 5 2015 贵州六盘水 第 9 题 3 分 如图 4 已知 ABC DCB 下列所给条件不能证明 ABC DCB 的是 A A D B AB DC C ACB DBC D AC BD 考点 全等三角形的判定 分析 本题要判定 ABC DCB 已知 ABC DCB BC 是公共边 具备了一组边对 应相等 一组角对应相等 故添加 AB CD ACB DBC A D 后可分别根据 SAS ASA AAS 能判定 ABC DCB 而添加 AC BD 后则不能 解答 解 A 可利用 AAS 定理判定 ABC DCB 故此选项不合题意 B 可利用 SAS 定理判定 ABC DCB 故此选项不合题意 C 利用 ASA 判定 ABC DCB 故此选项不符合题意 D SSA 不能判定 ABC DCB 故此选项符合题意 故选 D 点评 本题考查三角形全等的判定方法 判定两个三角形全等的一般方法有 SSS SAS ASA AAS HL 注意 AAA SSA 不能判定两个三角形全等 判定两个三角形全等时 必须有边的参与 第 7 页 共 53 页 若有两边一角对应相等时 角必须是两边的夹角 6 2015 江苏泰州 第 6 题 3 分 如图 中 AB AC D 是 BC 的中点 AC 的垂直 平分线分别交 AC AD AB 于点 E O F 则图中全等的三角形的对数是 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 答案 D 解析 试题分析 根据已知条件 AB AC D 为 BC 中点 得出 ABD ACD 然后再由 AC 的 垂直平分线分别交 AC AD AB 于点 E O F 推出 AOE EOC 从而根据 SSS 或 SAS 找到更多的全等三角形 要由易到难 不重不漏 试题解析 AB AC D 为 BC 中点 CD BD BDO CDO 90 在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD 7 2015 山东东营 第 9 题 3 分 如图 在 ABC 中 AB AC 点 D E 分别是边 AB AC 的中点 点 F 在 BC 边上 连接 DE DF EF 则添加下列哪一个条件后 仍无 法判定 FCE 与 EDF 全等 A A DFE B BF CF C DF AC D C EDF 答案 A 第 8 页 共 53 页 考点 三角形全等的判定 8 2015 山东东营 第 10 题 3 分 如图 在 Rt ABC 中 ABC 90 AB BC 点 D 是线 段 AB 上的一点 连结 CD 过点 B 作 BG CD 分别交 CD CA 于点 E F 与过点 A 且 垂直于 AB 的直线相交于点 G 连结 DF 给出以下四个结论 若点 D 是 AB 的中点 则 AF AB 当 B C F D 四点在同一个圆上时 DF DB 若 则 其中正确的结论序号是 A B C D 答案 C 第 9 页 共 53 页 考点 相似三角形的判定和性质 圆周角定理 三角形全等的判定与性质 二 填空题 1 2015 黑龙江绥化 第 18 题 分 如图正方形 ABCD 的对角线相交于点 O CEF 是 正三角形 则 CEF 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 正方形的性质 分析 根据正方形 等边三角形的性质 可得 AO BO OE OF 根据 SSS 可得 AOE BOF 根据全等三角形的性质 可得对应角相等 根据角的和差 可得答案 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 OA OB AOB 90 OEF 是正三角形 OE OF EOF 60 在 AOE 和 BOF 中 第 10 页 共 53 页 AOE BOF SSS AOE BOF AOE AOB EOF 2 90 60 2 15 故答案为 15 点评 本题考查了全等三角形的性质与判定 正方形 等边三角形的性质 利用 SSS 证明 三角形全等得出 AOE BOF 是解题的关键 2 2015 四川泸州 第 16 题 3 分 如图 在矩形 ABCD 中 ADC 的平 2BCAB 分线交边 BC 于点 E AH DE 于点 H 连接 CH 并延长交边 AB 于点 F 连接 AE 交 CF 于 点 O 给出下列命题 AEB AEH DH 2 2EH 1 2 HOAE 2BCBFEH 其中正确命题的序号是 填上所有正确命题的序号 考点 全等三角形的判定与性质 角平分线的性质 等腰三角形的判定与性质 等腰直角 三角形 矩形的性质 分析 根据矩形的性质得到 AD BC AB 由 DE 平分 ADC 得到 ADH 是 等腰直角三角形 DEC 是等腰直角三角形 得到 DE CD 得到等腰三角形求出 AED 67 5 AEB 180 45 67 5 67 5 得到 正确 设 DH 1 则 AH DH 1 AD DE 求出 HE 得到 2HE 1 故 错 误 通过角的度数求出 AOH 和 OEH 是等腰三角形 从而得到 正确 由 AFH CHE 到 AF EH 由 ABE AHE 得到 BE EH 于是得到 BC BF BE CE AB AF CD EH CD EH 2EH 从而得到 错误 解答 解 在矩形 ABCD 中 AD BC AB DE 平分 ADC 图 16图 图 O BC D A E H F 第 11 页 共 53 页 ADE CDE 45 AD DE ADH 是等腰直角三角形 AD AB AH AB CD DEC 是等腰直角三角形 DE CD AD DE AED 67 5 AEB 180 45 67 5 67 5 AED AEB 故 正确 设 DH 1 则 AH DH 1 AD DE HE 2HE 1 故 错误 AEH 67 5 EAH 22 5 DH CH EDC 45 DHC 67 5 OHA 22 5 OAH OHA OA OH AEH OHE 67 5 OH OE OH AE 故 正确 第 12 页 共 53 页 AH DH CD CE 在 AFH 与 CHE 中 AFH CHE AF EH 在 ABE 与 AHE 中 ABE AHE BE EH BC BF BE CE AB AF CD EH CD EH 2EH 故 错误 故答案为 点评 本题考查了矩形的性质 全等三角形的判定与性质 角平分线的定义 等腰三角形 的判定与性质 熟记各性质并仔细分析题目条件 根据相等的度数求出相等的角 从而得 到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键 也是本题的难点 3 2015 四川眉山 第 18 题 3 分 如图 以 ABC 的三边为边分别作等边 ACD ABE BCF 则下列结论 EBF DFC 四边形 AEFD 为平行四边形 当 AB AC BAC 120 时 四边形 AEFD 是正方形 其中正确的结论是 请写出 正确结论的番号 考点 全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 平行四边形的判定 正方形的判 定 专题 计算题 分析 由三角形 ABE 与三角形 BCF 都为等边三角形 利用等边三角形的性质得到两对 第 13 页 共 53 页 边相等 ABE CBF 60 利用等式的性质得到夹角相等 利用 SAS 得到三角形 EBF 与三角形 DFC 全等 利用全等三角形对应边相等得到 EF AC 再由三角形 ADC 为等边三 角形得到三边相等 等量代换得到 EF AD AE DF 利用对边相等的四边形为平行四边形 得到 AEFD 为平行四边形 若 AB AC BAC 120 只能得到 AEFD 为菱形 不能为正 方形 即可得到正确的选项 解答 解 ABE BCF 为等边三角形 AB BE AE BC CF FB ABE CBF 60 ABE ABF FBC ABF 即 CBA FBE 在 ABC 和 EBF 中 ABC EBF SAS 选项 正确 EF AC 又 ADC 为等边三角形 CD AD AC EF AD 同理可得 AE DF 四边形 AEFD 是平行四边形 选项 正确 若 AB AC BAC 120 则有 AE AD EAD 120 此时 AEFD 为菱形 选项 错误 故答案为 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 等边三角形的性质 平行四边形的判定 以及正方形的判定 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 4 2015 江苏南昌 第 9 题 3 分 如图 OP 平分 MON PE OM 于 E PF ON 于 F OA OB 则图中有 对全等三角形 第 14 页 共 53 页 第10题第9题 N M D B F E O O P A B A C 答案 解析 POE POF PEO PFO 90 OP OP POE POF AAS 又 OA OB POA POB OP OP POA POB AAS PA PB PE PF Rt PAE Rt PBF HL 图中共有 3 对全的三角形 5 2015 江苏无锡 第 15 题 2 分 命题 全等三角形的面积相等 的逆命题是 命题 填 入 真 或 假 考点 命题与定理 分析 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题 分析是否为真命题 需要分别分析各题设是否能推结论 如果能就是真命题 解答 解 全等三角形的面积相等 的逆命题是 面积相等的三角形是全等三角形 根据全 等三角形的定义 不符合要求 因此是假命题 点评 本题考查了互逆命题的知识 两个命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结 论 而第一个命题的结论又是第二个命题的条件 那么这两个命题叫做互逆命 题 其一个命题称为另一个命题的逆命题 6 2015 山东聊城 第 15 题 3 分 如图 在 ABC 中 C 90 A 30 BD 是 ABC 的平分线 若 AB 6 则点 D 到 AB 的距离是 考点 角平分线的性质 分析 求出 ABC 求出 DBC 根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BC CD 问题 即可求出 解答 解 C 90 A 30 第 15 页 共 53 页 ABC 180 30 90 60 BD 是 ABC 的平分线 DBC ABC 30 BC AB 3 CD BC tan30 3 BD 是 ABC 的平分线 又 角平线上点到角两边距离相等 点 D 到 AB 的距离 CD 故答案为 点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质 熟记性质是解题的关 键 7 2015 湖南邵阳第 12 题 3 分 如图 在 ABCD 中 E F 为对角线 AC 上两点 且 BE DF 请从图中找出一对全等三角形 ADF BEC 考点 全等三角形的判定 平行四边形的性质 专题 开放型 分析 由平行四边形的性质 可得到等边或等角 从而判定全等的三角形 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AD BC DAC BCA BE DF DFC BEA AFD BEC 在 ADF 与 CEB 中 第 16 页 共 53 页 ADF BEC AAS 故答案为 ADF BEC 点评 本题考查了三角形全等的判定 平行四边形的性质 平行线的性质 根据平行四 边形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键 三 解答题 1 2015 江苏泰州 第 25 题 12 分 如图 正方形 ABCD 的边长为 8cm E F G H 分别 是 AB BC CD DA 上的动点 且 AE BF CG DH 1 求证 四边形 EFGH 是正方形 2 判断直线 EG 是否经过一个定点 并说明理由 3 求四边形 EFGH 面积的最小值 答案 1 证明见解析 2 直线 EG 经过一个定点 这个定点为正方形的中心 AC BD 的交点 理由见解析 3 32cm2 解析 第 17 页 共 53 页 2 解 直线 EG 经过一个定点 这个定点为正方形的中心 AC BD 的交点 理由如 下 连接 AC EG 交点为 O 如图所示 四边形 ABCD 是正方形 AB CD 第 18 页 共 53 页 OAE OCG 在 AOE 和 COG 中 AOE COG AAS OA OC 即 O 为 AC 的中点 正方形的对角线互相平分 O 为对角线 AC BD 的交点 即 O 为正方形的中心 3 解 设四边形 EFGH 面积为 S 设 BE xcm 则 BF 8 x cm 根据勾股定理得 EF2 BE2 BF2 x2 8 x 2 S x2 8 x 2 2 x 4 2 32 2 0 S 有最小值 当 x 4 时 S 的最小值 32 四边形 EFGH 面积的最小值为 32cm2 考点 四边形综合题 2 2015 山东临沂 第 25 题 11 分 如图 1 在正方形 ABCD 的外侧 作两个等边三角形 ADE 和 DCF 连接 AF BE 1 请判断 AF 与 BE 的数量关系是 位置关系是 2 如图 2 若将条件 两个等边三角形 ADE 和 DCF 变为 两个等腰三角形 ADE 和 DCF 且 EA ED FD FC 第 1 问中的结论是否仍然成立 请作出判断并给予证明 3 若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形 且 AE DF ED FC 第 1 问中的结论都能 成立吗 请直接写出你的判断 第 19 页 共 53 页 答案 1 AF BE AF BE 2 结论成立 3 结论都能成立 在 EAD 和 FDC 中 EAD FDC EAD FDC EAD DAB FDC CDA 第 20 页 共 53 页 即 BAE ADF 在 BAE 和 ADF 中 BAE ADF BE AF ABE DAF DAF BAF 90 ABE BAF 90 AF BE 3 结论都能成立 考点 正方形 等边三角形 三角形全等 3 2015 山东菏泽 20 8 分 如图 已知 ABC 90 D 是直线 AB 上的点 AD BC 1 如图 1 过点 A 作 AF AB 并截取 AF BD 连接 DC DF CF 判断 CDF 的形 状并证明 2 如图 2 E 是直线 BC 上一点 且 CE BD 直线 AE CD 相交于点 P APD 的度数 是一个固定的值吗 若是 请求出它的度数 若不是 请说明理由 答案 1 CDF 是等腰三角形 2 APD 45 第 21 页 共 53 页 考点 全等三角形的判定与性质 4 2015 四川省宜宾市 第 18 题 6 分 注意 在试题卷上作答无效 如图 AC DC BC EC ACD BCE 求证 A D D E CB A 第 22 页 共 53 页 5 2015 浙江省绍兴市 第 23 题 12 分 正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有公共顶点 A 将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 记旋转角 DAG 其中 0 180 连结 DF BF 如图 1 若 0 则 DF BF 请加以证明 2 试画一个图形 即反例 说明 1 中命题的逆命题是假命题 3 对于 1 中命题的逆命题 如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题 请直接 写出你认为需要补充的一个条件 不必说明理由 考点 正方形的性质 全等三角形的判定与性质 命题与定理 旋转的性质 分析 1 利用正方形的性质证明 DGF BEF 即可 2 当 180 时 DF BF 3 利用正方形的性质和 DGF BEF 的性质即可证得是真命题 第 23 页 共 53 页 解答 1 证明 如图 1 四边形 ABCD 和四边形 AEFG 为正方形 AG AE AD AB GF EF DGF BEF 90 DG BE 在 DGF 和 BEF 中 DGF BEF SAS DF BF 2 解 图形 即反例 如图 2 3 解 补充一个条件为 点 F 在正方形 ABCD 内 即 若点 F 在正方形 ABCD 内 DF BF 则旋转角 0 点评 本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质 旋转的性质 命题和定理 掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键 注意利用正方形的性质找三角形全等的条 件 6 2015 浙江省台州市 第 24 题 定义 如图 1 点 M N 把线段 AB 分割成 AM MN 和 BN 若以 AM MN BN 为边的三角形是一个直角三角形 则称点 M N 是线段 AB 的 第 24 页 共 53 页 勾股分割点 1 已知点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 若 AM 2 MN 3 求 BN 的长 2 如图 2 在 ABC 中 FG 是中位线 点 D E 是线段 BC 的勾股分割点 且 EC DE BD 连接 AD AE 分别交 FG 于点 M N 求证 点 M N 是线段 FG 的勾股分割 点 3 已知点 C 是线段 AB 上的一定点 其位置如图 3 所示 请在 BC 上画一点 D 使 C D 是线段 AB 的勾股分割点 要求尺规作图 保留作图痕迹 画出一种情形即可 4 如图 4 已知点 M N 是线段 AB 的勾股分割点 MN AM BN AMC MND 和 NBM 均是等边三角形 AE 分别交 CM DM DN 于点 F G H 若 H 是 DN 的中点 试探究 和的数量关系 并说明理由 AMF S BEN S MNHG S四边形 第 25 页 共 53 页 第 26 页 共 53 页 第 27 页 共 53 页 7 2015 福建泉州第 20 题 9 分 如图 在矩形 ABCD 中 点 O 在边 AB 上 AOC BOD 求证 AO OB 解 四边形 ABCD 是矩形 A B 90 AD BC AOC BOD AOC DOC BOD DOC AOD BOC 在 AOD 和 BOC 中 AOD BOC AO OB 第 28 页 共 53 页 8 2015 广东梅州 第 20 题 9 分 如图 已知 ABC 按如下步骤作图 以 A 为圆心 AB 长为半径画弧 以 C 为圆心 CB 长为半径画弧 两弧相交于点 D 连结 BD 与 AC 交于点 E 连结 AD CD 1 求证 ABC ADC 2 若 BAC 30 BCA 45 AC 4 求 BE 的长 B D E CA 考点 全等三角形的判定与性质 作图 复杂作图 分析 1 利用 SSS 定理证得结论 2 设 BE x 利用特殊角的三角函数易得 AE 的长 由 BCA 45 易得 CE BE x 解得 x 得 CE 的长 解答 1 证明 在 ABC 与 ADC 中 ABC ADC SSS 2 解 设 BE x BAC 30 ABE 60 AE tan60 x x ABC ADC CB CD BCA DCA BCA 45 BCA DCA 90 CBD CDB 45 CE BE x 第 29 页 共 53 页 x x 4 x 2 2 BE 2 2 点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质 特殊角的三角函数 利用方程思想 综 合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键 9 2015 甘肃兰州 第 25 题 9 分 如图 四边形 ABCD 中 AB CD AB CD BD AC 1 求证 AD BC 考点解剖 本题考查特殊四边形的性质 和等腰三角形性质中的相关 知识点 知识准备 在同一个三角形中 相等的边所对的角相等 思路点拔 1 要说明 AD BC 只要能说明 ACD BDC 现已有 AC BD CD DC 那么关键是如何说明 1 2 这里需要注意的是 由 AC BD 并不能直接得出结论 1 2 因为 AC 和 BD 并非同一 个三角形中的元素 能否以某一角为媒介 使得 1 和 2 都与之相等 结合已知条件中的 AC BD 如果能够构造出以 AC 和 BD 为其中两边的三角形 那么它们 所对的角自然相等 为此 可将 AC 平移 使点 A 到点 B 位置 如图 那么 有 2 K 而 K 1 则有 2 1 问题得以解决 解答过程 1 延长 DC 至 K 使 CK AB ABCK 四边形 ABKC 是平行四边形 则在 ABKC 中 有 ACBK 1 K BD AC AC BK BD BK 则有 2 K 2 K 1 K 1 2 ACD 和 BDC 中 ACD BDC SAS CDDC BDAC 21 第 30 页 共 53 页 AD BC 题目星级 解题策略 很多时候 在直接说明某两个量相等 如本题中需证明 1 2 有困难时 我们往往可以寻找第三方媒介 分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等 从而达到 说明两个目标量相等的目的 10 2015 四川泸州 第 18 题 6 分 如图 AC AE 1 2 AB AD 求证 BC DE 考点 全等三角形的判定与性质 专题 证明题 分析 先证出 CAB DAE 再由 SAS 证明 BAC DAE 得出对应边相等即可 解答 证明 1 2 CAB DAE 在 BAC 和 DAE 中 BAC DAE SAS BC DE 点评 本题考查了全等三角形的判定与性质 熟练掌握全等三角形的判定方法 证明三角 形全等是解决问题的关键 11 2015 四川凉山州 第 21 题 8 分 如图 在正方形 ABCD 中 G 是 BC 上任意一点 连接 AG DE AG 于 E BF DE 交 AG 于 F 探究线段 AF BF EF 三者之间的数量关 系 并说明理由 2 1 D E CA B 第 31 页 共 53 页 答案 AF BF EF 理由见试题解析 考点 1 全等三角形的判定与性质 2 正方形的性质 12 2015 四川眉山 第 25 题 9 分 如图 在矩形 ABCD 中 E 是 AB 边的中点 沿 EC 对折矩形 ABCD 使 B 点落在点 P 处 折痕为 EC 连结 AP 并延长 AP 交 CD 于 F 点 1 求证 四边形 AECF 为平行四边形 2 若 AEP 是等边三角形 连结 BP 求证 APB EPC 3 若矩形 ABCD 的边 AB 6 BC 4 求 CPF 的面积 考点 四边形综合题 专题 综合题 分析 1 由折叠的性质得到 BE PE EC 与 PB 垂直 根据 E 为 AB 中点 得到 AE PE 利用等角对等边得到两对角相等 由 AEP 为三角形 EBP 的外角 利用外角性质 第 32 页 共 53 页 得到 AEP 2 EPB 设 EPB x 则 AEP 2x 表示出 APE 由 APE EPB 得到 APB 为 90 进而得到 AF 与 EC 平行 再由 AE 与 FC 平行 利用两对边平行的四边形 为平行四边形即可得证 2 根据三角形 AEP 为等边三角形 得到三条边相等 三内角相等 再由折叠的性质及 邻补角定义得到一对角相等 根据同角的余角相等得到一对角相等 再由 AP EB 利用 AAS 即可得证 3 过 P 作 PM CD 在直角三角形 EBC 中 利用勾股定理求出 EC 的长 利用面积法 求出 BQ 的长 根据 BP 2BQ 求出 BP 的长 在直角三角形 ABP 中 利用勾股定理求出 AP 的长 根据 AF AP 求出 PF 的长 由 PM 与 AD 平行 得到三角形 PMF 与三角形 ADF 相 似 由相似得比例求出 PM 的长 再由 FC AE 3 求出三角形 CPF 面积即可 解答 1 证明 由折叠得到 BE PE EC PB E 为 AB 的中点 AE EB 即 AE PE EBP EPB EAP EPA AEP 为 EBP 的外角 AEP 2 EPB 设 EPB x 则 AEP 2x APE 90 x APB APE EPB x 90 x 90 即 BP AF AF EC AE FC 四边形 AECF 为平行四边形 2 AEP 为等边三角形 BAP AEP 60 AP AE EP EB PEC BEC PEC BEC 60 BAP ABP 90 ABP BEQ 90 BAP BEQ 在 ABP 和 EBC 中 第 33 页 共 53 页 ABP EBC AAS EBC EPC ABP EPC 3 过 P 作 PM DC 交 DC 于点 M 在 Rt EBC 中 EB 3 BC 4 根据勾股定理得 EC 5 S EBC EB BC EC BQ BQ 由折叠得 BP 2BQ 在 Rt ABP 中 AB 6 BP 根据勾股定理得 AP 四边形 AECF 为平行四边形 AF EC 5 FC AE 3 PF 5 PM AD 即 解得 PM 则 S PFC FC PM 3 第 34 页 共 53 页 点评 此题属于四边形综合题 涉及的知识有 全等三角形的判定与性质 折叠的性质 等边三角形的性质 勾股定理 三角形的面积求法 相似三角形的判定与性质 熟练掌握 全等三角形的判定与性质是解本题的关键 13 2015 四川乐山 第 20 题 10 分 如图 将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠 使点 A 落在平面上的 F 点处 DF 交 BC 于点 E 1 求证 DCE BFE 2 若 CD 2 ADB 30 求 BE 的长 答案 1 证明见试题解析 2 第 35 页 共 53 页 考点 1 翻折变换 折叠问题 2 全等三角形的判定与性质 14 2015 山东潍坊第 23 题 12 分 如图 1 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点 分别 延长 OD 到点 G OC 到点 E 使 OG 2OD OE 2OC 然后以 OG OE 为邻边作正方形 OEFG 连接 AG DE 1 求证 DE AG 2 正方形 ABCD 固定 将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角 0 360 得到正 方形 OE F G 如图 2 在旋转过程中 当 OAG 是直角时 求 的度数 若正方形 ABCD 的边长为 1 在旋转过程中 求 AF 长的最大值和此时 的度数 直接 写出结果不必说明理由 第 36 页 共 53 页 考点 几何变换综合题 分析 1 延长 ED 交交 AG 于点 H 易证 AOG DOE 得到 AGO DEO 然 后运用等量代换证明 AHE 90 即可 2 在旋转过程中 OAG 成为直角有两种情况 由 0 增大到 90 过程中 当 OAG 90 时 30 由 90 增大到 180 过程中 当 OAG 90 时 150 当旋转到 A O F 在一条直线上时 AF 的长最大 AF AO OF 2 此时 315 解答 解 1 如图 1 延长 ED 交 AG 于点 H 点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点 OA OD OA OD OG OE 在 AOG 和 DOE 中 AOG DOE AGO DEO AGO GAO 90 AGO DEO 90 AHE 90 即 DE AG 2 在旋转过程中 OAG 成为直角有两种情况 由 0 增大到 90 过程中 当 OAG 90 时 第 37 页 共 53 页 OA OD OG OG 在 Rt OAG 中 sin AG O AG O 30 OA OD OA AG OD AG DOG AG O 30 即 30 由 90 增大到 180 过程中 当 OAG 90 时 同理可求 BOG 30 180 30 150 综上所述 当 OAG 90 时 30 或 150 如图 3 当旋转到 A O F 在一条直线上时 AF 的长最大 正方形 ABCD 的边长为 1 OA OD OC OB OG 2OD OG OG OF 2 AF AO OF 2 COE 45 此时 315 第 38 页 共 53 页 点评 本题主要考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 锐角三角函数 旋转 变换的性质的综合运用 有一定的综合性 分类讨论当 OAG 是直角时 求 的度数是本 题的难点 15 2015 山东威海 第 23 题 10 分 1 如图 1 已知 ACB DCE 90 AC BC 6 CD CE AE 3 CAE 45 求 AD 的长 2 如图 2 已知 ACB DCE 90 ABC CED CAE 30 AC 3 AE 8 求 AD 的长 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 分析 1 连接 BE 证明 ACD BCE 得到 AD BE 在 Rt BAE 中 AB 6 AE 3 求出 BE 得到答案 2 连接 BE 证明 ACD BCE 得到 求出 BE 的长 得到 AD 的长 解答 解 1 如图 1 连接 BE ACB DCE 90 ACB ACE DCE ACE 即 BCE ACD 又 AC BC DC EC 在 ACD 和 BCE 中 第 39 页 共 53 页 ACD BCE AD BE AC BC 6 AB 6 BAC CAE 45 BAE 90 在 Rt BAE 中 AB 6 AE 3 BE 9 AD 9 2 如图 2 连接 BE 在 Rt ACB 中 ABC CED 30 tan30 ACB DCE 90 BCE ACD ACD BCE BAC 60 CAE 30 BAE 90 又 AB 6 AE 8 BE 10 AD 点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质 全等三角形的判定和性质 掌握性质定 第 40 页 共 53 页 理和判定定理是解题的关键 正确作出辅助线是重点 16 2015 山东日照 第 20 题 10 分 如图 已知 在 ABC 中 CA CB ACB 90 E F 分别是 CA CB 边的三等分点 将 ECF 绕点 C 逆时针旋转 角 0 90 得 到 MCN 连接 AM BN 1 求证 AM BN 2 当 MA CN 时 试求旋转角 的余弦值 考点 旋转的性质 全等三角形的判定与性质 分析 1 由 CA CB E F 分别是 CA CB 边的三等分点 得 CE CF 根据旋转的 性质 CM CE CN CF ACM BCN 证明 AMC BNC 即可 2 当 MA CN 时 ACN CAM 由 ACN ACM 90 得到 CAM ACM 90 所以 cot 解答 解 1 CA CB ACB 90 E F 分别是 CA CB 边的三等分点 CE CF 根据旋转的性质 CM CE CN CF ACM BCN 在 AMC 和 BNC 中 AMC BNC AM BN 2 MA CN ACN CAM ACN ACM 90 CAM ACM 90 第 41 页 共 53 页 AMC 90 cos 点评 本题主要考查了旋转的性质 三角形全等的判定与性质 平行线的性质以及锐角 三角函数的综合运用 难度适中 掌握旋转的性质是关键 17 2015 四川南充 第 19 题 8 分 8 分 如图 ABC 中 AB AC AD BC CE AB AE CE 求证 1 AEF CEB 2 AF 2CD 答案 略 解析 试题分析 根据 AD BC CE AB 得出 AEF CEB 90 即 AFE EAF CFD ECB 90 结合 AEF CFD 得出 EAF ECB 从而得到 AEF CEB 根据全等得到 AF BC 根据 ABC 为等腰三角形则可得 BC 2CD 从而得 出 AF 2CD 试题解析 1 AD BC CE AB AEF CEB 90 即 AFE EAF CFD ECB 90 又 AEF CFD EAF ECB 在 AEF 和 CEB 中 AEF CEB AE CE EAF ECB AEF CEB 2 由 AEF CEB 得 AF BC 在 ABC 中 AB AC AD BC CD BD BC 2CD AF 2CD 第 42 页 共 53 页 考点 三角形全等 等腰三角形的性质 18 2015 四川资阳 第 23 题 11 分 如图 12 E F 分别是正方形 ABCD 的边 DC CB 上 的点 且 DE CF 以 AE 为边作正方形 AEHG HE 与 BC 交于点 Q 连接 DF 1 求证 ADE DCF 2 若 E 是 CD 的中点 求证 Q 为 CF 的中点 3 连接 AQ 设 S CEQ S1 S AED S2 S EAQ S3 在 2 的条件下 判断 S1 S2 S3是否 成立 并说明理由 考点 四边形综合题 分析 1 由正方形的性质得出 AD DC ADE DCF 90 再由 SAS 即可证出 ADE DCF 2 先证出 DAE CEQ 再证明 ADE ECQ 得出比例式 证出 CQ DE 即可得出结论 3 先证明 AEQ ECQ 得出 AEQ ECQ ADE 得出面积比等于相似比的平 方 再由勾股定理即可得出结论 解答 1 证明 四边形 ABCD 是正方形 AD DC ADE DCF 90 在 ADE 和 DCF 中 ADE DCF SAS 2 证明 E 是 CD 的中点 CE DE DC AD 四边形 AEHG 是正方形 AEH 90 AED CEQ 90 AED DAE 90 DAE CEQ ADE DCF ADE ECQ 第 43 页 共 53 页 CQ DE DE CF CQ CF 即 Q 为 CF 的中点 3 解 S1 S2 S3成立 理由如下 如图所示 ADE ECQ DE CE C AEQ 90 AEQ ECQ AEQ ECQ ADE 2 2 EQ2 AE2 AQ2 1 S1 S2 S3 点评 本题是四边形综合题目 考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 相似三 角形的判定与性质 勾股定理等知识 本题综合性强 难度较大 需要多次证明三角形相 第 44 页 共 53 页 似才能得出结论 19 2015 浙江滨州 第 23 题 10 分 如图 已知 B C E 三点在同一条直线上 ABC 与 DCE 都是等边三角形 其中线段 BD 交 AC 于点 G 线段 AE 交 CD 于点 F 求证 1 ACE BCD 2 答案 第 45 页 共 53 页 考点 三角形全等 三角形相似的判定与性质 20 2015 浙江杭州 第 18 题 8 分 如图 在 ABC 中 已知 AB AC AD 平分 BAC 点 M N 分别在 AB AC 边上 AM 2MB AN 2NC 求证 DM DN CDB N M A 答案 证明 AM 2MB AN 2NC 22 33 AMABANAC 又 AB AC AMAN AD 平分 BAC MADNAD 又 AD AD AMDAND SAS 第 46 页 共 53 页 DM DN 考点 全等三角形的判定和性质 分析 要证 DM DN 只要即可 两三角形已有一条公共边 由 AD 平分 AMDAND BAC 可得 只要再有一角对应相等或即可 而 MADNAD AMAN 易由 AB AC AM 2MB AN 2NC 证得 AMAN 21 2015 广东梅州 第 21 题 9 分 如图 已知 ABC 按如下步骤作图 以 A 为圆心 AB 长为半径画弧 以 C 为圆心 CB 长为半径画弧 两弧相交于点 D 连接 BD 与 AC 交于点 E 连接 AD CD 1 求证 ABC ADC 2 若 BAC 30 BCA 45 AC 4 求 BE 的长 考点 全等三角形的判定与性质 作图 复杂作图 分析 1 利用 SSS 定理证得结论 2 设 BE x 利用特殊角的三角函数易得 AE 的长 由 BCA 45 易得 CE BE x 解得 x 得 CE 的长 解答 1 证明 在 ABC 与 ADC 中 ABC ADC SSS 2 解 设 BE x BAC 30 ABE 60 AE tan60 x x 第 47 页 共 53 页 ABC ADC CB CD BCA DCA BCA 45 BCA DCA 90 CBD CDB 45 CE BE x x x 4 x 2 2 BE 2 2 点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质 特殊角的三角函数 利用方程 思想 综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键 22 2015 广东佛山 第 18 题 6 分 如图 ABC 是等腰三角形 AB AC 请你用尺规作 图将 ABC 分成两个全等的三角形 并说明这两个三角形全等的理由 保留作图痕迹 不写作法 考点 作图 应用与设计作图 全等三角形的判定 等腰三角形的性质 专题 作图题 分析 作出底边 BC 的垂直平分线 交 BC 于点 D 利用三线合一得到 D 为 BC 的中点 可得出三角形 ADB 与三角形 ADC 全等 解答 解 作出 BC 的垂直平分线 交 BC 于点 D AB AC AD 平分 BAC 即 BAD CAD 在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD SAS 第 48 页 共 53 页 点评 此题考查了作图 应用于设计作图 全等三角形的判定 以及等腰三角形 的性质 熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键 23 2015 广东广州 第 18 题 9 分 如图 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在 AD CD 上 且 AE DF 连接 BE AF 求证 BE AF 考点 全等三角形的判定与性质 正方形的性质 专题 证明题 分析 根据正方形的四条边都相等可得 AB AD 每一个角都是直角可得 BAE D 90 然后利用 边角边 证明 ABE 和 ADF 全等 根据全等三角形对应边 相等证明即可 解答 证明 在正方形 ABCD 中 AB AD BAE D 90 在 ABE 和 ADF 中 ABE ADF SAS BE AF 点评 本题考查了正方形的性质 全等三角形的判定与性质 以及垂直的定义 求出两三角形全等 从而得到 BE AF 是解题的关键 第 49 页 共 53 页 24 2015 湖南株洲 第 22 题 8 分 如图 在ABC 中 C 90 BD 是ABC 的 Rt Rt 一条角一平分线 点 O E F 分别在 BD BC AC 上 且四边形 OECF 是正方形 1 求证 点 O 在 BAC 的平分线上 2 若 AC 5 BC 12 求 OE 的长 第第2 22 2题题图图 M E F D O