运用数形结合思想转化问题.doc

运用数形结合思想解决问题Application of combination of Quantities and Spatial Forms in solving problems作者 刘萍萍 摘要：数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，因此数形结合思想在中学教学中起着举足轻重的作用。本文针对解决不同类型的数学问题给出了对应详细的例题分析，最终给出了在培养学生利用数形结合思想时需注意的问题，以激发学生的学习兴趣、提高学生的解题能力和培养学生思维能力。Abstract Combining the operation with figure is the study of mathematics learning the important thinking and problem solving methods. So combining the operation with figure is the study of mathematics and learning the important thinking and problem solving methods. Then the related examples are proposed for s to better understand the combination of quantities and spatial forms. The research on combination of quantities and spatial forms can arouse students learning interest, improve the skill of solving mathematical problems and develop the students creativity .关键词：数形结合 转化 解题Keywords Numeral Form Combination Transform Solve problems “数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面，一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样，有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致。 “数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位。关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求圆锥曲线问题中，巧妙运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，效果事半功倍。(一)、解决集合问题在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而从而使问题得以简化，使运算快捷明了。例 1: 已知集合 A=0,4,B=-2,3, 求 AB。分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来, 就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出AB=0,3。图1例2：某校高二年级参加市级数学竞赛，已知共有40个学生参加第二试（第二试共3道题），参赛情况如下： 40个学生每人都至少解出一道题 在没有解出第一道题的学生中，图2解出第二道题的人数是解出第三道题人数的2倍 仅解出第一道题的人数比余下的学生中解出第一道题的人数多1个 仅解出一道题的学生中有一半没有解出第一道题试问：（1）仅解出第二道题的学生有几个？（2）解出第一道题的学生有几个？分析 本题数量关系错综复杂，似乎与集合无关，但若把“解出第一道题”、“解出第二道题”和“解出第三道题”的学生分别看作一个集合，则可利用韦恩图直观求解.解答 设集合A=解出第一道题的学生数，集合B=解出第二道题的学生数，集合C=解出第三道题的学生数，如图2，可得解之得a=11，b=10，c=1，d+e+g=10所以仅解出第二道题的学生有10个，解出第一道题学生有21个.(二)、解决函数问题利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。例 3: 对于 xR, y 取 4 - x, x + 1，(5 - x)三个值的最小值。求y 与x 的函数关系及最大值。分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = (5 - x)的图像，如图3。易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y与x 的函数关系式是:y= 图3它的图像是图形中的实线部分。结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。例 4:若函数 f(x)是定义在R上的偶函数,在(- ,0上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x) 0的x的范围。解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y轴对称,由y = f(x)在(- ,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图4,由图像可知f(x) 0 ，所以x（- 2，2) 图4(三)、解决方程与不等式的问题处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。例 5: 已知关于x 的方程=px，有 4个不同的实根, 求实数p 的取值范围。分析: 设y =与y=px这两个函数在同一坐标系内, 画出这两个函数的图像, 如图5。可知：图5(1)直线y= px 与y= -(x- 4x+ 3) , x 1, 3 相切时原方程有3个根。(2) y= px 与 x 轴重合时, 原方程有两个解, 故满足条件的直线y= px 应介于这两者之间, 由: 得x+ (p - 4)x+ 3= 0, 再由=0 得, p = 42 , 当p= 4+ 2时, x= - 1, 3 舍去, 所以实数p的取值范围是 0 p 4- 2 。例 6: 若不等式 x- x 0, 在（0,)内恒成立, 则a的取值范围是什么?分析: 原不等式可化为x x，x（0,)，设y= x与y= x，在坐标系中作出y= x，x（0,)的图像，如图当x=时，y= x =，显然, 当x（0,)时，y1 时, 在（0,)上y= x图像( 如图6 )在y= x的图像下方, 不合题意。图6当 0 a 1 时，y= x在（0,)上的图像（ 如图7 ）是减函数。只需 y ，就可以使x x，x（0,)恒成立。图7故，a4，所以a（）= , 综上有a 。（四）解决圆锥曲线问题例7：已知椭圆C：，确定m的取值范围，使C上有不同的两点A、B关于直线L：y=4x+m对称。解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0) 则有 (1) (2) (1)-(2)得 A、B关于L对称 KAB = y0 = 6x0于是以为斜率的平行弦中点轨迹是直线y=6x在椭圆内部的一段，不包括端点。与联立得两交点A1(),B1()，问题转化为L与线段 有交点问题。由图形知，当L过A1点时，m最大值为 ，当L过B1点时，m最小值为 -，例8 (06上海卷)若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 。解析：作出函数的图象，如右图所示：所以，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论