傅立叶级数和Hermite函数的性质分析.doc

12傅立叶级数和Hermite函数的性质分析内 容 摘 要该文从傅立叶级数和Hermite函数都有正交基性出发，分别阐述了两者各有的性质。文中首先介绍了傅立叶级数的来源，建立于波动方程的发展历程，以及它的正交基性。文中后半部分介绍了Hermite函数的性质，主要是证明了Hermite函数的正交基性。关键词：傅立叶级数 Hermite函数 正交基性ABSTRACTThis paper starts out from that both Fourier series and Hermite functions form a complete orthonormal system for ,and analyze their properties. First we introduce the origins of Fourier series ,the development which is based on standing wave and its property as orthonormal basis. The later part focus on the property of Hermite function, mainly prove its orthonormal basis. KEY WORDS: orthonormal basis Fourier series Hermite function 目 录傅立叶级数的性质分析1Hermite函数的性质分析4（一）Hermite函数的一些性质4（二）Hermite函数基性的证明6参考文献8傅立叶级数和Hermite 函数的性质分析在高等数学的理论中，傅立叶级数的研究一直占有着重要的地位，而在量子力学的发展史上，Hermite函数起了不可估量的作用 。两个看似极不相同的函数却有着很多相似的特性。它们都是作为调和振动的特征根被数学家们所发现，都是傅立叶变换的特征根，最重要的是它们都有正交基性。下面让我们看一下它们各自的性质分析。一、傅立叶级数的性质分析傅立叶是第一个相信任意一个函数可以表示成三角级数的人，即任意函数是基本的三角函数sinmx和cosmx的线性组合，其中m是任意整数。尽管这个想法在当时并没有受认可，但傅立叶对自己的观点充满信心，同时把它应用到热的分散的分析中去。这便是傅立叶分析的开端。这门学科最初发展是用来解决一些物理问题，并逐渐运用于一些数学问题和其它领域。傅立叶级数的发展背景：一开始这关于是振动弹簧的问题，逐渐是对热量流动的探讨，最后发展为傅立叶分析。这两个不同的物理现象能被不同的偏微分方程，波动方程和热方程表示，而它们都能用傅立叶级数解决。在此我们从振动弹簧开始分析并且分三步进行。首先，我们用到了一些重要的数学概念，cost, sint, 变量分离的应用，驻波，线性组合等等；接着，我们通过振动弹簧的运动分析得出偏微分方程；最后，求出偏微分方程的解。考虑一个质量为m的物体水平放置，一端通过弹簧连着固定的墙另一端连着物体，其中水平面的摩擦系数为零。当物体静止时质量中心位于水平线的原点，如图： 随着物体偏离原点开始运动，它将经历简单调和振动，而这种运动恰好能被数学中的偏微分方程表示。Y(t)表示物体在t时刻的偏离距离，我们假定弹簧满足Hookes law:即弹簧对物体的作用力是F=-k*y（t）,其中k是给定的弹簧系数，结合牛顿定理可以得出：-k*y（t）=m*y”(t),这里y”(t)是y关于t的二阶偏导，记c=,方程变形为y”(t)+ y(t)=0 （1）。方程（1）的通解是y(t)=a*cosct+b*sinct, 其中a和b都是常数。而且，a*cosct+b*sinct=A*cos(ct-),在这里A=是振幅，c是振动频率，是相位。由此我们可以看出，振动弹簧可以用一维波动方程表示，而这可以用驻波来解出，所谓的驻波就是y=u(x,t)可以表示为u(x,t)= .而且驻波从本质上解释了“变量分离”的数学概念。下面我们进行波动方程的推导。把一根匀质的，总长为L的绳子放在（x,y）平面上，抖动绳子后产生了波动，用y=u(x,t)表示绳子的垂直高度，我们的目标是由此得出偏微分方程。考虑将绳子均匀分成N等分，如果把每一段绳子想象成一个质点，第n个质点的横坐标是=。如图： 我们令=u(,t),并记-=h,这里h=.我们假定绳子有固定的密度p0,这样可以假定每一个质点的质量是ph.根据牛顿定理，作用在第n个质点上的力等于ph y”(t).这样来自质点右边的力同比例于（-）/h, h是与之间的距离。因此我们记来自右边的拉力为（）（-），同理来自左边的拉力是（）（-），其中是绳子的拉力系数。把两个力结合起来可以得出ph y”(t)= （）（+-2），因为我们可以有+-2=u+ u- 2u,结合这两个方程，再根据二阶导的定义，我们得出了这样的的二阶偏微分方程，即=, 令c=,我们得到=这就是一维波动方程，也叫波动方程。作进一步的简化，我们可以假设，这里是一个正的常数，在新的坐标下，区间从,转化成为，同理，我们令，就可以把一维的波动方程转化为.接下来我们讨论怎么去解出这个方程，这里用到驻波的概念。我们注意到方程的一边只对做了偏微分，而另一边只对做了偏微分。这个结果让我们联想到了用变量分离法，即，把难解的偏微分方程化简得便于计算。此时我们得出， 这个式子的关键之处是左边只与有关，而右边只与有关，我们令该式等于常数，则这个波动方程可以简化为 （2）观察这两个式子可以发现这正是我们在前面得到的简单调和运动，考虑小于等于0的情形（因为如果大于0， ）定义，得出方程（2）的解是 考虑到绳子在处的值是，可以得出，且当时，必是一个正整数。这就是驻波，也即波动方程的解。前面提到波动方程是线性的，这意味着如果和是方程的解，那么对任意的常数，也是方程的解。因此我们可以构造出波动方程的基础解系是。由于以上解的和是无穷的，这涉及到是否收敛的问题，在此暂不讨论。如果我们假定绳子在时刻的初始形状由函数的函数决定，且有，同时，我们得到。运用条件，我们可以得出的第个傅立叶级数的系数是。（在此顺便说一下正交性：我们知道由此可以得到，三角函数在区间上是两两正交的，而且在正交系中不包含恒等于零的函数，也不包含其他任何平方的积分等于零的函数。）同理，是否可以得到区间上的偶函数能被表示为级数，即。再进一步，既然任意一个上的函数，能被表示为一个偶函数和一个奇函数的和，这是否意味着能够表示成，其中，.这就是傅立叶级数的由来。关于它的证明已经有无数篇文献供我们参考，我们在此就不做讨论了。二、Hermite 函数的性质分析傅立叶之后，有很多伟大的数学家试图用一些特殊的函数来解决数学物理中的微分方程，Hermite 函数以其优良的性能进入了他们的视野。Hermite 函数首先是作为哈密尔顿调和振动的特征根出现，之后在量子力学中起着重要作用。它们也是傅立叶变换的特征根，这一特征为维纳Plancherel公式的发展起了关键作用。后人逐渐把它发展到多维空间上。在这里我们只讨论一维Hermite 函数，主要是分析它的正交基性。（一） Hermite函数的一些性质Hermite 函数在不同的书中有不同的定义，在此我们采取最常用的一种。定义Hermite 多项式，,可以推出它的一般形式是，其中代表的整数部分。另外，还可以从下面的展式 （*）中得出，为此我们只需注意到。由于为的整函数，所以它在的任意有限区域内都是一致收敛的，且逐项可微，因此我们有 （3） （4）由（3）式，进一步有比较系数，就得到 由（4）式有故得 结合以上两式，得出 ,对上式逐项微分，就有 定义Hermite函数，对它进行微分可以得出。接着可以得出很多Hermite函数的性质可以直接从这个定义中得出。如果在等式（*）中令，就得到 .由（*）式知，进一步得出，对上式两边积分，可以得出（二） Hermite函数基性的证明我们令由前面所述，易知构成一组正交系，构成以为权的一组正交系，即此即.下面将证明构成的一组完全正交基，我们称之为Hermite基，即有：如果，令 （积分显然为收敛）则我们有证明：如果令，则有 （*）今作变数变换 则有此外，不难看出，当时， 且这种收敛对固定 有界时为一致的，因此对任何，故此外由的连续性，知，当，且对任何，. 由上式知 在（*）两边乘以积分，就会得到.将上式乘以再积分得 故对于任何，我们知必有，使 令 则有同时，上式左端当充分大，正交基性得证。由此我们可以看到，对于任何一个函数，它既可以表示成傅立叶级数，又可以是Hermite函数的线性组合，并且可以根据正交性求得多项式前的系数。参考文献1 丁夏畦，丁毅.Hermite 展开和广义函数M.武汉：华中师范大学出版社，2005. 2 Sundaram Thangavelu.Lectures on Hermite and Laguerre expansionsM.New Jersey: Prince