高中数学常用公式-精简版

精品文档 1欢迎下载 高中数学常用公式及结论高中数学常用公式及结论 1 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA AA 2 2 集合集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真子集有个 真子集有个 非空子集有个 非空子集有个 非空的真子集个 非空的真子集 12 n a aa 2n21 n 21 n 有有个个 22 n 3 3 二次函数的解析式的三种形式 二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 当已知抛物线的顶点坐标 当已知抛物线的顶点坐标时 设为此式 时 设为此式 2 0 hf xaakx h k 3 3 零点式零点式 当已知抛物线与 当已知抛物线与轴的交点坐标为轴的交点坐标为时 时 12 0 f xa xxxax x 12 0 0 xx 设为此式 设为此式 4 4 切线式 切线式 当已知抛物线与直线 当已知抛物线与直线相切且切点相切且切点 0 2 0 xkxdf xa xa ykxd 的横坐标为的横坐标为时 设为此式 时 设为此式 0 x 4 4 真值表 真值表 同真且真 同假或假同真且真 同假或假 5 5 常见结论的否定形式常见结论的否定形式 原结论原结论反设词反设词原结论原结论反设词反设词 是是不是不是至少有一个至少有一个一个也没有一个也没有 都是都是不都是不都是至多有一个至多有一个至少有两个至少有两个 大于大于不大于不大于至少有至少有个个n 至多有 至多有 个 个1n 小于小于不小于不小于至多有至多有个个n 至少有 至少有 个 个1n 对所有对所有 成立 成立x存在某存在某 不成立 不成立x或或pq且且p q 对任何对任何 不成立 不成立x存在某存在某 成立 成立x且且pq或或p q 6 6 四种命题的相互关系四种命题的相互关系 下图下图 原命题与逆否命题同真同假 逆命题与否命题同真同假 原命题 互逆 逆命题 若 则 若 则 互 互 互 为 为 互 否 否 精品文档 2欢迎下载 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非 则非 互逆 若非 则非 充要条件 充要条件 1 1 则 P 是 q 的充分条件 反之 q 是 p 的必要条件 pq 2 2 且 q p 则 P 是 q 的充分不必要条件 pq 3 3 p p 且 则 P 是 q 的必要不充分条件 qp 4 p p 且 q p 则 P 是 q 的既不充分又不必要条件 7 7 函数单调性函数单调性 增函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而增大 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对任意的 1212 x xDxx 且 都有 12 f xf x 成立 则就叫 f x 在 x D 上是增函数 D 则就是 f x 的递增区间 减函数 1 1 文字描述是 y 随 x 的增大而减小 2 2 数学符号表述是 设 f x 在 x D 上有定义 若对任意的 1212 x xDxx 且 都有 12 f xf x 成立 则就叫 f x 在 x D 上是减函数 D 则就是 f x 的递减区间 单调性性质 1 1 增函数 增函数 增函数 2 2 减函数 减函数 减函数 3 3 增函数 减函数 增函数 4 4 减函数 增函数 减函数 注 上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的 是等号左边两个函数定义域的交集 复合函数的单调性 函数 单调单调性 内层函数 精品文档 3欢迎下载 外层函数 复合函数 等价关系 等价关系 1 1 设设那么那么 1212 x xa bxx 上是增函数 上是增函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 上是减函数上是减函数 1212 0 xxf xf x baxf xx xfxf 0 21 21 在 2 2 设函数设函数在某个区间内可导 如果在某个区间内可导 如果 则 则为增函数 如果为增函数 如果 则 则 xfy 0 x f xf0 x f 为减函数为减函数 xf 8 8 函数的奇偶性 注 函数的奇偶性 注 是奇偶函数的前提条件是 定义域必须关于原点对称 奇函数 奇函数 定义 定义 在前提条件下 若有 0fxf xfxf x 或 则 f x 就是奇函数 性质性质 1 奇函数的图象关于原点对称 2 奇函数在 x 0 和 x0 和 x 0 上具有相反相反的单调区间 奇偶函数间的关系 奇偶函数间的关系 1 1 奇函数 偶函数 奇函数 2 2 奇函数 奇函数 偶函数 3 3 偶奇函数 偶函数 偶函数 4 4 奇函数 奇函数 奇函数 也有例外得偶函数的 5 5 偶函数 偶函数 偶函数 6 6 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 精品文档 4欢迎下载 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y y 轴对称轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于那么这个函数是奇函数 如果一个函数的图象关于 y y 轴对称 那么这个函数是偶函数 轴对称 那么这个函数是偶函数 9 9 函数的周期性 函数的周期性 定义 定义 对函数 f x 若存在 T0 使得 f x T f x 则就叫 f x 是周期函数 其中 T 是 f x 的一个周期 周期函数几种常见的表述形式 周期函数几种常见的表述形式 1 1 f x T f x 此时周期为 2T 2 2 f x m f x n 此时周期为 2 mn 3 3 此时周期为 2m 1 f xm f x 1010 常见函数的图像 常见函数的图像 k0 y kx b o y x a0 y ax2 bx c o y x 0 a1 1 y ax o y x 0 a1 1 y logax o y x 1111 对于函数对于函数 恒成立恒成立 则函数则函数的对称轴是的对称轴是 两个两个 xfy Rx xbfaxf xf 2 ba x 函数函数与与 的图象关于直线的图象关于直线对称对称 axfy xbfy 2 ba x 1212 分数指数幂与根式的性质 分数指数幂与根式的性质 1 1 且 m nm n aa 0 am nN 1n 2 2 且 11 m n m nm n a a a 0 am nN 1n 3 3 n n aa 4 4 当 当为奇数时 为奇数时 当 当为偶数时 为偶数时 n nn aa n 0 0 nn a a aa a a 1313 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 指数性质 指数性质 精品文档 5欢迎下载 1 1 1 2 2 3 3 1 p p a a 0 1a 0a mnmn aa 4 4 5 5 0 rsr s aaaar sQ m nm n aa 指数函数 指数函数 1 1 在定义域内是单调递增函数 1 x yaa 2 2 在定义域内是单调递减函数 注 注 指数指数函数图象都恒过点 0 1 01 x yaa 对数性质 对数性质 1 1 2 2 logloglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 3 3 4 4 5 5 loglog m aa bmb loglog m n a a n bb m log 10 a 6 6 7 7 log1 aa logab ab 对数函数 对数函数 1 1 在定义域内是单调递增函数 log 1 a yx a 2 2 在定义域内是单调递减函数 注 注 对数对数函数图象都恒过点 1 0 log 01 a yxa 3 3 log0 0 1 1 a xa xa x 或 4 4 或 log0 0 1 1 a xax 则 1 0 1 ax 则 1414 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 对数恒等式 对数恒等式 且且 logaN aN 0a 1a 0N 推论推论 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0N 1515 对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a 1a 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 2 2 log loglog aaa MNMN logloglog aaa M MN N 精品文档 6欢迎下载 3 3 4 4 loglog n aa MnM nR loglog m n a a n NN n mR m 1616 平均增长率的问题 负增长时平均增长率的问题 负增长时 0p 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为 则对于时间 则对于时间的总产值的总产值 有 有 pxy 1 xyNp 1717 等差数列 等差数列 通项公式 通项公式 1 其中为首项 d 为公差 n 为项数 为末项 1 1 n aand 1 a n a 2 推广 nk aank d 3 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 1 2 nnn aSSn 前前 n n 项和 项和 1 其中为首项 n 为项数 为末项 1 2 n n n aa S 1 a n a 2 1 1 2 n n n Snad 3 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 1 2 nnn SSa n 4 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 12nn Saaa 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等差中项 则有 2n m p 成等差 mnp aa a是 mnp aaa 2 若 为等差数列 则为等差数列 n a n b nn ab 3 为等差数列 为其前 n 项和 则也成等差数列 n a n S 232 mmmmm SSSSS 4 0 pqp q aq apa 则 5 1 2 3 n 2 1 nn 等比数列 等比数列 精品文档 7欢迎下载 通项公式 通项公式 1 其中为首项 n 为项数 q 为公比 1 1 1 nn n a aa qqnN q 1 a 2 推广 n k nk aaq 3 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 1 2 nnn aSSn 前前 n n 项和 项和 1 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 1 2 nnn SSa n 2 注注 该公式对任意数列都适用 该公式对任意数列都适用 12nn Saaa 3 1 1 1 1 1 1 n n naq S aq q q 常用性质 常用性质 1 若 m n p q 则有 mnpq aaaa 注 注 若的等比中项 则有 n m p 成等比 mnp aa a是 2 mnp aaa 2 若 为等比数列 则为等比数列 n a n b nn ab 1818 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款 每次还款元元 贷款贷款元元 次还清次还清 每期利率为每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 1919 三角不等式 三角不等式 1 1 若 若 则 则 0 2 x sintanxxx 2 2 若若 则 则 0 2 x 1sincos2xx 3 3 sin cos 1xx 2020 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin 2121 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 2222 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin 精品文档 8欢迎下载 tantan tan 1tantan sincosab 22 sin ab 辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 a btan b a 2323 二倍角公式及降幂公式二倍角公式及降幂公式 sin2sincos 2 2tan 1tan 2222 cos2cossin2cos112sin 2 2 1tan 1tan 2 2tan tan2 1tan sin21 cos2 tan 1 cos2sin2 22 1 cos21cos2 sin cos 22 2424 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x Rx R 及函数及函数 x R x R A A 为常数 且为常数 且 A A 0 0 的周期的周期sin yx cos yx 函数 函数 A A 为常数 且为常数 且 A A 0 0 的周期的周期 2 T tan yx 2 xkkZ T 三角函数的图像 三角函数的图像 1 1 y sinx 2 2 3 2 2 3 2 2 o y x 1 1 y cosx 2 2 3 2 2 3 2 2o y x 2525 正弦定理正弦定理 R R 为为外接圆的半径 外接圆的半径 2 sinsinsin abc R ABC ABC 2 sin 2 sin 2 sinaRA bRB cRC sin sin sina b cABC 2626 余弦定理 余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 2727 面积定理 面积定理 1 1 分别表示分别表示 a a b b c c 边上的高 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 精品文档 9欢迎下载 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB 2 2 abcS rr abc 斜边 内切圆直角内切圆 2828 三角形内角和定理三角形内角和定理 在在 ABC ABC 中 有中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 2929 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设设 为实数 那么 为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b 3030与与的数量积的数量积 或内积或内积 a b a b a b cos 3131 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 1 1 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 2 2 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 xxyy 3 3 设设 A A B B 则则 11 x y 22 xy 2121 ABOBOAxx yy 4 4 设设 则 则 a x yR a xy 5 5 设设 则 则 a 11 x yb 22 xya b 1212 x xy y 3232 两向量的夹角公式 两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy ya b ab xyxy a 11 x yb 22 xy 3333 平面两点间的距离公式 平面两点间的距离公式 A A B B A B d ABAB AB 22 2121 xxyy 11 x y 22 xy 3434 向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设 设 且 且 则 则 a 11 x yb 22 xyb 0 交叉相乘差为零 交叉相乘差为零 a b b a 1221 0 x yx y 0 0 对应相乘和为零 对应相乘和为零 a b a 0 a b 1212 0 x xy y 3535 线段的定比分公式线段的定比分公式 设 设 是线段是线段的分点的分点 是实数 且是实数 且 111 P x y 222 P xy P x y 12 PP 精品文档 10欢迎下载 则 则 12 PPPP 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 1 OPtOPt OP 1 1 t 3636 三角形的重心坐标公式 三角形的重心坐标公式 ABC ABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 则则 ABC ABC 11 A x y 22 B x y 33 C x y 的重心的坐标是的重心的坐标是 123123 33 xxxyyy G 3737 三角形五三角形五 心心 向量形式的充要条件 向量形式的充要条件 设设为为所在平面上一点 角所在平面上一点 角所对边长分别为所对边长分别为 则 则OABC A B C a b c 1 1 为为的外心的外心 OABC 222 OAOBOC 2 2 为为的重心的重心 OABC 0OAOBOC 3 3 为为的垂心的垂心 OABC OA OBOB OCOC OA 4 4 为为的内心的内心 OABC 0aOAbOBcOC 5 5 为为的的的旁心的旁心 OABC A aOAbOBcOC 3838 常用不等式 常用不等式 1 1 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 22 2abab 2 2 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 a bR 2 ab ab 3 3 333 3 0 0 0 abcabc abc 4 4 bababa 5 5 当且仅当当且仅当 a a b b 时取时取 号号 22 2 22 ababab ab ab 3939 极值定理极值定理 已知已知都是正数 则有都是正数 则有yx 1 1 若积 若积是定值是定值 则当 则当时和时和有最小值有最小值 xypyx yx p2 2 2 若和 若和是定值是定值 则当 则当时积时积有最大值有最大值 yx syx xy 2 4 1 s 3 3 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1axby 精品文档 11欢迎下载 2 1111 2 byax axbyabababab xyxyxy 4 4 已知 已知 若 若则有则有 a b x yR 1 ab xy 2 2 abaybx xyxyabababab xyxy 4040 一元二次不等式一元二次不等式 如果 如果与与同号 则同号 则 2 0 0 axbxc 或 2 0 40 abac a 2 axbxc 其解集在两根之外 如果其解集在两根之外 如果与与异号 则其解集在两根之间异号 则其解集在两根之间 简言之 同号两根之外 异简言之 同号两根之外 异a 2 axbxc 号两根之间号两根之间 即 即 121212 0 xxxxxxxxx 121212 0 xxxxxxxxxx 或 4141 含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当 当 a a 0 0 时 有时 有 22 xaxaaxa 或或 22 xaxaxa xa 4242 斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx 111 P x y 222 P xy 4343 直线的五种方程 直线的五种方程 1 1 点斜式 点斜式 直线直线 过点过点 且斜率为 且斜率为 11 yyk xx l 111 P x yk 2 2 斜截式 斜截式 b b 为直线为直线 在在 y y 轴上的截距轴上的截距 ykxb l 3 3 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 12 yy 111 P x y 222 P xy 1212 xxyy 两点式的推广 两点式的推广 无任何限制条件 无任何限制条件 211211 0 xxyyyyxx 4 4 截距式截距式 分别为直线的横 纵截距 分别为直线的横 纵截距 1 xy ab ab 00ab 5 5 一般式 一般式 其中其中 A A B B 不同时为不同时为 0 0 0AxByC 直线直线的法向量 的法向量 方向向量 方向向量 0AxByC lA B lBA 4444 夹角公式 夹角公式 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 精品文档 12欢迎下载 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1与与l l2 2的夹角是的夹角是 12 ll 2 4545 到到的角公式 的角公式 1 l 2 l 1 1 21 2 1 tan 1 kk k k 111 lyk xb 222 lyk xb 12 1k k 2 2 1221 1212 tan ABA B A AB B 1111 0lA xB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 直线直线时 直线时 直线l l1 1到到l l2 2的角是的角是 12 ll 2 4646 点到直线的距离点到直线的距离 点点 直线直线 00 22 AxByC d AB 00 P xyl0AxByC 4747 圆的四种方程 圆的四种方程 1 1 圆的标准方程 圆的标准方程 222 xaybr 2 2 圆的一般方程 圆的一般方程 0 0 22 0 xyDxEyF 22 4DEF 3 3 圆的参数方程 圆的参数方程 cos sin xar ybr 4 4 圆的直径式方程 圆的直径式方程 圆的直径的端点是圆的直径的端点是 1212 0 xxxxyyyy 11 A x y 22 B x y 4848 点与圆的位置关系 点点与圆的位置关系 点与圆与圆的位置关系有三种 的位置关系有三种 00 P xy 222 rbyax 若若 则 则点点在圆外在圆外 22 00 daxby dr P 点点在圆上在圆上 点点在圆内在圆内 dr Pdr P 4949 直线与圆的位置关系 直线直线与圆的位置关系 直线与圆与圆的位置关系有三种的位置关系有三种 0 CByAx 222 rbyax 22 BA CBbAa d 0 交交rd0 交交rd0 交交rd 5050 两圆位置关系的判定方法两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 O O1 1 O O2 2 半径分别为 半径分别为 r r1 1 r r2 2 则 则 dOO 21 交交交交交交4 21 rrd 交交交交交交3 21 rrd 精品文档 13欢迎下载 d d d 交交 交交交交 交交交交 r1 r2 r2 r1od 交交交交交交2 2121 rrdrr 交交交交交交1 21 rrd 交交交交交交 21 0rrd 5151 椭圆椭圆的参数方程是的参数方程是 离心率离心率 22 22 1 0 xy ab ab cos sin xa yb 2 2 1 cb e aa 准线到中心的距离为准线到中心的距离为 焦点到对应准线的距离 焦点到对应准线的距离 焦准距焦准距 2 a c 2 b p c 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经 其长度为 2 2 b a A 5252 椭圆椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积 22 22 1 0 xy ab ab 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 12 2 1 tan 2 F PFP FPF Sc yb 5353 椭圆的的内外部椭圆的的内外部 1 1 点 点在椭圆在椭圆的内部的内部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 2 2 点 点在椭圆在椭圆的外部的外部 00 P xy 22 22 1 0 xy ab ab 22 00 22 1 xy ab 5454 椭圆的切线方程椭圆的切线方程 1 1 椭圆椭圆上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过椭圆 过椭圆外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 椭圆 椭圆与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 0 xy ab ab 0AxByC 22222 A aB bc 5555 双曲线双曲线的离心率的离心率 准线到中心的距离为 准线到中心的距离为 焦点到对应 焦点到对应 22 22 1 0 0 xy ab ab 2 2 1 cb e aa 2 a c 准线的距离准线的距离 焦准距焦准距 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 过焦点且垂直于实轴的弦叫通经 其长度为 2 b p c 2 2 b a A 焦半径公式焦半径公式 2 1 a PFe xaex c 2 2 a PFexaex c 精品文档 14欢迎下载 两焦半径与焦距构成三角形的面积两焦半径与焦距构成三角形的面积 12 2 1 cot 2 F PF FPF Sb 5656 双曲线的方程与渐近线方程的关系双曲线的方程与渐近线方程的关系 1 1 若双曲线方程为 若双曲线方程为渐近线方程 渐近线方程 1 2 2 2 2 b y a x 22 22 0 xy ab x a b y 2 2 若渐近线方程为若渐近线方程为双曲线可设为双曲线可设为 x a b y 0 b y a x 2 2 2 2 b y a x 3 3 若双曲线与若双曲线与有公共渐近线 可设为有公共渐近线 可设为1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 焦点在 焦点在 x x 轴上 轴上 焦点在 焦点在 y y 轴上 轴上 0 0 4 4 焦点到渐近线的距离总是焦点到渐近线的距离总是 b 5757 双曲线的切线方程双曲线的切线方程 1 1 双曲线双曲线上一点上一点处的切线方程是处的切线方程是 22 22 1 0 0 xy ab ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 2 2 过双曲线过双曲线外一点外一点所引两条切线的切点弦方程是所引两条切线的切点弦方程是 22 22 1 xy ab 00 P xy 00 22 1 x xy y ab 3 3 双曲线 双曲线与直线与直线相切的条件是相切的条件是 22 22 1 xy ab 0AxByC 22222 A aB bc 5858 抛物线抛物线的焦半径公式的焦半径公式 pxy2 2 抛物线抛物线焦半径焦半径 2 2 0 ypx p 0 2 p CFx 过焦点弦长过焦点弦长 pxx p x p xCD 2121 22 5959 二次函数二次函数的图象是抛物线 的图象是抛物线 2 22 4 24 bacb yaxbxca x aa 0 a 1 1 顶点坐标为 顶点坐标为 2 2 焦点的坐标为 焦点的坐标为 2 4 24 bacb aa 2 41 24 bacb aa 3 3 准线方程是 准线方程是 2 41 4 acb y a 6060 直线与圆锥曲线相交的弦长公式直线与圆锥曲线相交的弦长公式 22 1212 ABxxyy 精品文档 15欢迎下载 或或 2222 21211212 1 4 1tan 1tABkxxxxxxyyco 弦端点 弦端点 A A 由方程 由方程 消去消去 y y 得到得到 2211 yxByx 0 y x F bkxy 0 2 cbxax 为直线为直线的倾斜角 的倾斜角 为直线的斜率 为直线的斜率 0 ABk 2 121212 4xxxxx x 6161 证明直线与平面的平行的思考途径证明直线与平面的平行的思考途径 1 1 转化为直线与平面无公共点 转化为直线与平面无公共点 2 2 转化为线线平行 转化为线线平行 3 3 转化为面面平行 转化为面面平行 6262 证明直线与平面垂直的思考途径证明直线与平面垂直的思考途径 1 1 转化为该直线与平面内任一直线垂直 转化为该直线与平面内任一直线垂直 2 2 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 转化为该直线与平面内相交二直线垂直 3 3 转化为该直线与平面的一条垂线平行 转化为该直线与平面的一条垂线平行 4 4 转化为该直线垂直于另一个平行平面 转化为该直线垂直于另一个平行平面 6363 证明平面与平面的垂直的思考途径 证明平面与平面的垂直的思考途径 1 1 转化为判断二面角是直二面角 转化为判断二面角是直二面角 2 2 转化为线面垂直 转化为线面垂直 3 3 转化为两平面的法向量平行 转化为两平面的法向量平行 6464 向量的直角坐标运算 向量的直角坐标运算 设设 则 则 a 123 a a ab 123 b b b 1 1 a b 112233 ab ab ab 2 2 a b 112233 ab ab ab 3 3 R R a 123 aaa 4 4 a b 1 1223 3 aba ba b 6565 夹角公式 夹角公式 设设 则 则 a 123 a a ab 123 b b b 1 1223 3 222222 123123 cos aba ba b a b aaabbb 6666 异面直线间的距离异面直线间的距离 精品文档 16欢迎下载 是两异面直线 其公垂向量为是两异面直线 其公垂向量为 是是上任一点 上任一点 为为间的距离间的距离 CD n d n 12 l ln CD 12 l ld 12 l l 6767 点点到平面到平面的距离 的距离 B 为平面为平面的法向量 的法向量 是是的一条斜线段 的一条斜线段 AB n d n n A AB 6868 球的半径是球的半径是 R R 则其体积 则其体积 其表面积其表面积 3 4 3 VR 2 4SR 6969 球的组合体 球的组合体 1 1 球与长方体的组合体球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 2 2 球与正方体的组合体球与正方体的组合体 正方体的内切球的直径是正方体的棱长正方体的内切球的直径是正方体的棱长 正方体的棱切球的直径是正方体正方体的棱切球的直径是正方体 的面对角线长的面对角线长 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 3 3 球与正四面体的组合体球与正四面体的组合体 棱长为棱长为的正四面体的内切球的半径为的正四面体的内切球的半径为a 6 12 a 正四面体高正四面体高的的 外接球的半径为外接球的半径为 正四面体高正四面体高的的 6 3 a 1 4 6 4 a 6 3 a 3 4 7070 分类计数原理 加法原理 分类计数原理 加法原理 12n Nmmm 分步计数原理 乘法原理 分步计数原理 乘法原理 12n Nmmm 7171 排列数公式排列数公式 N N 且 且 规定 规定 m n A 1 1 mnnn mn n nmmn 1 0 7272 组合数公式 组合数公式 N N 且 且 m n C m n m m A Am mnnn 21 1 1 mnm n nmN mn 组合数的两个性质组合数的两个性质 1 1 2 2 规定规定 m n C mn n C m n C 1 m n C m n C 1 1 0 n C 7373 二项式定理二项式定理 nn n rrnr n n n n n n n n bCbaCbaCbaCaCba 222110 二项展开式的通项公式二项展开式的通项公式 rrnr nr baCT 1 210 nr 的展开式的系数关系 的展开式的系数关系 2 012 n n n f xaxbaa xa xa x 012 1 n aaaaf 012 1 1 n n aaaaf 0 0 af 7474 互斥事件互斥事件 A A B B 分别发生的概率的和 分别发生的概率的和 P AP A B P A B P A P B P B 个互斥事件分别发生的概率的和 个互斥事件分别发生的概率的和 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 P AP A2 2 P AP An n n 7575 独立事件独立事件 A A B B 同时发生的概率 同时发生的概率 P A B P A B P A P B P A P B n n 个独立事件同时发生的概率 个独立事件同时发生的概率 P AP A1 1 A A2 2 A An n P A P A1 1 P AP A2 2 P AP An n 精品文档 17欢迎下载 7676 n n 次独立重复试验中某事件恰好发生次独立重复试验中某事件恰好发生 k k 次的概率 次的概率 1 kkn k nn P kC PP 7777 数学期望 数学期望 1 122nn Ex Px Px P 数学期望的性质数学期望的性质 1 1 2 2 若 若 则则 E abaEb B n pEnp 3 3 若若