平面向量数量积运算专题(附答案解析)

平面向量数量积运算平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1 1 2014 天津 已知菱形ABCD的边长为 2 BAD 120 点E F分别在边 BC DC上 BC 3BE DC DF 若 1 则 的值为 AE AF 2 已知圆O的半径为 1 PA PB为该圆的两条切线 A B为切点 那么 的最小值 PA PB 为 A 4 B 3 22 C 4 2 D 3 2 22 变式训练 1 2015 湖北 已知向量 3 则 OA AB OA OA OB 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 1 2015 重庆 若非零向量a a b b满足 a a b b 且 a a b b 3a a 2b b 则a a与b b的 22 3 夹角为 A B C D 4 2 3 4 2 若平面向量a a与平面向量b b的夹角等于 a a 2 b b 3 则 2a a b b与a a 2b b的夹角的 3 余弦值等于 A B C D 1 26 1 26 1 12 1 12 变式训练 2 2014 课标全国 已知A B C为圆O上的三点 若 则 AO 1 2 AB AC 与的夹角为 AB AC 题型三 利用数量积求向量的模 例 3 1 已知平面向量a a和b b a a 1 b b 2 且a a与b b的夹角为 120 则 2a a b b 等于 A 2 B 4 C 2 D 6 5 2 已知直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的动 点 则 3 的最小值为 PA PB 变式训练 3 2015 浙江 已知e e1 e e2是平面单位向量 且e e1 e e2 若平面向量b b满足 1 2 b b e e1 b b e e2 1 则 b b 高考题型精练高考题型精练 1 2015 山东 已知菱形ABCD 的边长为a ABC 60 则 等于 BD CD A a2 B a2 3 2 3 4 C a2 D a2 3 4 3 2 2 2014 浙江 记 max x y Error Error min x y Error Error 设a a b b为平面向量 则 A min a a b b a a b b min a a b b B min a a b b a a b b min a a b b C max a a b b 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 D max a a b b 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 3 2015 湖南 已知点A B C在圆x2 y2 1 上运动 且AB BC 若点P的坐标为 2 0 则 的最大值为 PA PB PC A 6 B 7 C 8 D 9 4 如图 在等腰直角 ABO中 OA OB 1 C为AB上靠近点A的四等分点 过C作AB 的垂线l P为垂线上任一点 设 a a b b p p 则p p b b a a 等于 OA OB OP A B 1 2 1 2 C D 3 2 3 2 5 在平面上 1 若 则 的取值 AB1 AB2 OB1 OB2 AP AB1 AB2 OP 1 2 OA 范围是 A 0 B 5 2 5 2 7 2 C D 5 22 7 22 6 如图所示 ABC中 ACB 90 且AC BC 4 点M满足 3 则 等 BM MA CM CB 于 A 2 B 3 C 4 D 6 7 2014 安徽 设a a b b为非零向量 b b 2 a a 两组向量x x1 x x2 x x3 x x4和y y1 y y2 y y3 y y4均 由 2 个a a和 2 个b b排列而成 若x x1 y y1 x x2 y y2 x x3 y y3 x x4 y y4所有可能取值中的最小值为 4 a a 2 则a a与b b的夹角为 A B C D 0 2 3 3 6 8 2014 江苏 如图 在平行四边形ABCD中 已知 AB 8 AD 5 3 2 则 的值是 CP PD AP BP AB AD 9 设非零向量a a b b的夹角为 记f a a b b a acos b bsin 若e e1 e e2均为单位向量 且 e e1 e e2 则向量f e e1 e e2 与f e e2 e e1 的夹角为 3 2 10 如图 在 ABC中 O为BC中点 若AB 1 AC 3 60 则 AB AC OA 11 已知向量a a sin x b b cos x 1 当a a b b时 求 cos2x sin 2x的值 3 4 12 在 ABC中 AC 10 过顶点C作AB的垂线 垂足为D AD 5 且满足 AD 5 11DB 1 求 AB AC 2 存在实数t 1 使得向量x x t y y t 令k x x y y 求k的最小值 AB AC AB AC 平面向量数量积运算平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例 1 1 2014 天津 已知菱形ABCD的边长为 2 BAD 120 点E F分别在边 BC DC上 BC 3BE DC DF 若 1 则 的值为 AE AF 2 已知圆O的半径为 1 PA PB为该圆的两条切线 A B为切点 那么 的最小值 PA PB 为 A 4 B 3 22 C 4 2 D 3 2 22 答案 1 2 2 D 解析 1 如图 AE AF AB BE AD DF AB 1 3BC AD 1 DC AB AD 1 AB DC 1 3BC AD 1 3 BC DC 2 2 cos 120 2 2 2 2 2 2 cos 120 2 1 1 3 1 3 4 4 3 2 3 10 3 2 3 又 1 AE AF 1 2 10 3 2 3 2 方法一 设 x APB PA PB 则 tan 2 1 x 从而 cos 1 tan2 2 1 tan2 2 x2 1 x2 1 cos PA PB PA PB x2 x2 1 x2 1 x4 x2 x2 1 x2 1 2 3 x2 1 2 x2 1 x2 1 3 2 3 2 x2 12 当且仅当x2 1 2 即x2 1 时取等号 故 的最小值为 2 3 2 PA PB 2 方法二 设 APB 0 则 PA PB 1 tan 2 cos PA PB PA PB 2cos 1 tan 2 1 2sin2 cos2 2 sin2 2 2 1 sin2 2 1 2sin2 2 sin2 2 令x sin2 0 x 1 2 则 PA PB 1 x 1 2x x 2x 3 2 3 1 x2 当且仅当 2x 即x 时取等号 1 x 2 2 故 的最小值为 2 3 PA PB 2 方法三 以O为坐标原点 建立平面直角坐标系xOy 则圆O的方程为x2 y2 1 设A x1 y1 B x1 y1 P x0 0 则 x1 x0 y1 x1 x0 y1 x 2x1x0 x y PA PB 2 12 02 1 由OA PA x1 y1 x1 x0 y1 0 OA PA x x1x0 y 0 2 12 1 又x y 1 2 12 1 所以x1x0 1 从而 x 2x1x0 x y PA PB 2 12 02 1 x 2 x 1 x 2 12 02 1 2x x 3 2 3 2 12 02 故 的最小值为 2 3 PA PB 2 点评 1 平面向量数量积的运算有两种形式 一是依据长度和夹角 二是利用坐标运算 具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择 注意两向量a a b b的数量积a a b b与代数中a b 的乘积写法不同 不应该漏掉其中的 2 向量的数量积运算需要注意的问题 a ba b 0 时得不到a a 0 或b b 0 根据平面向量数量 积的性质有 a a 2 a a2 但 a ba b a a b b 变式训练 1 2015 湖北 已知向量 3 则 OA AB OA OA OB 答案 9 解析 因为 所以 0 所以 2 OA AB OA AB OA OB OA OA AB OA OA AB 2 0 32 9 OA 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例 2 1 2015 重庆 若非零向量a a b b满足 a a b b 且 a a b b 3a a 2b b 则a a与b b的 22 3 夹角为 A B 4 2 C D 3 4 2 若平面向量a a与平面向量b b的夹角等于 a a 2 b b 3 则 2a a b b与a a 2b b的夹角的 3 余弦值等于 A B 1 26 1 26 C D 1 12 1 12 答案 1 A 2 B 解析 1 由 a a b b 3a a 2b b 得 a a b b 3a a 2b b 0 即 3a a2 a ba b 2b b2 0 又 a a b b 设 a a b b 22 3 即 3 a a 2 a a b b cos 2 b b 2 0 b b 2 b b 2 cos 2 b b 2 0 8 3 22 3 cos 又 0 2 2 4 2 记向量 2a a b b与a a 2b b的夹角为 又 2a a b b 2 4 22 32 4 2 3 cos 13 3 a a 2b b 2 22 4 32 4 2 3 cos 52 3 2a a b b a a 2b b 2a a2 2b b2 3a a b b 8 18 9 1 故 cos 2a a b b a a 2b b 2a a b b a a 2b b 1 26 即 2a a b b与a a 2b b的夹角的余弦值是 1 26 点评 求向量的夹角时要注意 1 向量的数量积不满足结合律 2 数量积大于 0 说明不共 线的两向量的夹角为锐角 数量积等于 0 说明两向量的夹角为直角 数量积小于 0 且两向量 不能共线时两向量的夹角为钝角 变式训练 2 2014 课标全国 已知A B C为圆O上的三点 若 则 AO 1 2 AB AC 与的夹角为 AB AC 答案 90 解析 AO 1 2 AB AC 点O是 ABC中边BC的中点 BC为直径 根据圆的几何性质得与的夹角为 90 AB AC 题型三 利用数量积求向量的模 例 3 1 已知平面向量a a和b b a a 1 b b 2 且a a与b b的夹角为 120 则 2a a b b 等于 A 2 B 4 C 2 D 6 5 2 已知直角梯形ABCD中 AD BC ADC 90 AD 2 BC 1 P是腰DC上的动 点 则 3 的最小值为 PA PB 答案 1 A 2 5 解析 1 因为平面向量a a和b b a a 1 b b 2 且a a与b b的夹角为 120 所以 2a a b b 2a a 2 b b2 2 2a a b b cos 120 2 22 12 22 2 2 1 2 1 2 2 方法一 以D为原点 分别以DA DC所在直线为x y轴建立如图所示的平面直角坐 标系 设DC a DP x D 0 0 A 2 0 C 0 a B 1 a P 0 x 2 x 1 a x PA PB 3 5 3a 4x PA PB 3 2 25 3a 4x 2 25 PA PB 3 的最小值为 5 PA PB 方法二 设 x 0 x a a b b 此时 a a b b 2 a a 2 b b 2 当a a b b夹角为钝角时 a a b b a a 2 b b 2 当a a b b时 a a b b 2 a a b b 2 a a 2 b b 2 故选 D 3 2015 湖南 已知点A B C在圆x2 y2 1 上运动 且AB BC 若点P的坐标为 2 0 则 的最大值为 PA PB PC A 6 B 7 C 8 D 9 答案 B 解析 A B C在圆x2 y2 1 上 且AB BC AC为圆直径 故 2 4 0 设B x y 则x2 y2 1 且x 1 1 PA PC PO x 2 y PB x 6 y 故 x 1 时有最大值 PA PB PC PA PB PC 12x 37 7 故选 B 49 4 如图 在等腰直角 ABO中 OA OB 1 C为AB上靠近点A的四等分点 过C作AB 的垂线l P为垂线上任一点 设 a a b b p p 则p p b b a a 等于 OA OB OP A B 1 2 1 2 C D 3 2 3 2 答案 A 解析 以OA OB所在直线分别作为x轴 y轴 O为坐标原点建立平面直角坐标系 则A 1 0 B 0 1 C 3 4 1 4 直线l的方程为y x 1 4 3 4 即x y 0 1 2 设P x x 则p p x x 1 2 1 2 而b b a a 1 1 所以p p b b a a x x 1 2 1 2 5 在平面上 1 若 a 所以A 4 3 4 4 所以f x 4cos 2A sin 2x 62 4 1 2 因为x 0 所以 2x 3 4 4 11 12 所以 1 f x 4cos 2A 3 2 62 1 2 所以f x 4cos 2A 的取值范围为 1 6 3 22 1 2 12 在 ABC中 AC 10 过顶点C作AB的垂线 垂足为D AD 5 且满足 AD 5 11DB 1 求 AB AC 2 存在实数t 1 使得向量x x t y y t 令k x x y y 求k的最小值 AB AC AB AC 解 1 由 且A B D三点共线 AD 5 11DB 可知 又AD 5 所以DB 11 AD 5 11 DB 在 Rt ADC中 CD2 AC2 AD2 75 在 Rt BDC中 BC2 DB2 CD2 196 所以BC 14 所以 14 AB AC CB 2 由 1 知