高三数学第一轮复习讲义3解不等式.docx

2018届高三第一轮复习讲义解不等式一、知识梳理（1）一元二次不等式的解法1、一元二次不等式的一般形式是： 或。 解一元二次不等式就是求使不等式成立的的范围，可借助一元二次函数图像求解。2、一元二次不等式的解法总结： 借助二次函数的图像可以方便地得出一元二次不等式的解集。设（当时，可转化为型），记方程的根的判别式为“”，当时方程的两实根为，且，当时方程有两相等实根记为。则一元二次不等式的解集情况如下表：类型注意：解一元二次不等式的一般步骤：1判断的正负；2若有根，求出根；3写出不等式解集。（2）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式）同解；与不等式组同解.（3）一元高次不等式的解法标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集.若，则不等式或的解法如下图（即“数轴标根法”）：【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（4）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.最简单的绝对值不等式的同解变形；或； 或.关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形；或；.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”【注意】1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” ；2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集；3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论：不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性；在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论；在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、讨论.二、基础检测11. 不等式的解集是_.2. 不等式的解集是_.3. 不等式的解集是_.4. 若一元二次不等式对一切实数x都成立, 则实数k的取值范围是_.5. 关于x的一元二次不等式的解集为, 则_, _.6. 已知不等式组无实数解, 则实数a的取值范围是_.基础检测21. “”是“”成立的答 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分条件又非必要条件2. 不等式的解集是_.3. 不等式的解集是_.4. 不等式的解集是_.5. 不等式的解集是_.6. 设, 若成立, 则实数x的取值范围是_.三、例题精讲例1：解下列不等式：（1）；（2）；（3）； （4）。解：（1）求不等式的解集，可以看作为求二次函数取正值时变量的取值范围。由，可得到二次函数与轴交点的横坐标为和，又二次函数的图像开口向上，容易看出，当或时，此函数的图像在轴的上方。也容易看出，当时，图像在轴的下方。从而可以得得到：不等式的解集为，不等式的解集为。（2）方程的两根为，又二次函数的开口向下，所以不等式的解集为。（3）解集为：； （4）解集为。例2：解下列不等式：（1）； （2）；（3）；（4）。解：（1）方程没有实数根，二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为。（2）方程没有实数根，二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为。（3）方程的实根为，二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为。（4）。例3：（1）不等式对一切 实数恒成立，求的范围。 （2）不等式对一切实数恒成立，求 的范围。解：（1）； （2）。例4：设关于的不等式：的解集为， 其中。 求不等式的解集。解： 。拓展思考：设关于的不等式：的解集为，分别就下列情况求不等式的解集。（1）；（2）。答案：（1）；（2）。例5：关于的不等式组的所有整数解组成的集合为， 求实数的取值范围。解：不等式的解集为，由题意：满足不等式，则。又方程的两根分别为，而，所以不等式的解集，由只含有一个整数，所以，即。总结：本例也可以借助二次函数的图像进行求解。在解只含有一个整数时，要利用数轴来说明，可以把抽象的东西变成形象的。数轴在解不等式中的应用要注意加强，可以直观地表示出不等式的解集。例6：解关于的不等式：。解：（1） 当，即或时，方程的 两根为。所以不等式的解集为：（2）当，即或。当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；（3）当，即时，不等式的解集为。例7：解关于的不等式：。解：（1）当时，不等式化为：，此时不等式解集为；（2）当时，方程，可化为， 方程两根分别为。 ，二次函数的图像开口向上，所以不等式的解集为；当时，二次函数的图像开口向下：（）当时，不等式解集为；（）当时，不等式解集为；（）当，不等式解集为。综上知：时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为；时不等式解集为。总结：对于二次项系数含有参数的一元二次不等式问题，在讨论时一定要注意二次函数的开口方向，注意讨论的层次：先注意二次项系数能否为零、再讨论方程的根、联系相应二次函数的图像，不能“乱”。【1】简单高次不等式的解法：例1：解不等式。解：（数轴标根法） ， 即， 方程的根分别为：。 在数轴上将其标出： 知不等式的解集为。【2】分式不等式的解法：例2：解下列不等式：（1）；（2）。 解：（1）原不等式可化为，利用数轴标根法可得解集为。 （2）， 利用数轴标根法得解集为。3、含绝对值不等式的解法：例3：解不等式：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）；2）； （3）；（4）4、无理不等式的解法例4：解不等式.解：原不等式等价于四、课堂练习1、解下列不等式.(1);(2);(3);(4).2、函数的定义域为R, 求实数k的取值范围.3、若关于x的不等式有且仅有一解, 则实数_.4、已知, , 若, , 求实数a, b的值.5、已知关于x的不等式的解集为(其中a,b为常数, a,b为实数且).(1) 求a, b的值;(2) 解不等式(其中c为常数, c为实数).6、解下列不等式(1);(2);(3);(4).7、解下列不等式.(1) ;(2) (其中).8、根据下列条件, 求参数a的取值范围.(1) 关于x的不等式的解集是R, 则实数a的取值范围是_.(2) 关于x的不等式有解, 则实数a的取值范围是_.9、设. 解不等式.五、【难题突破】 1. 已知, , 若, 求实数k的取值范围. 2. 已知函数()的值域为, 若关于x的不等式的解 集为区间, 求实数c的值. 3. 在整数集内, 关于x的不等式的解集为, 则实数a的取值范围_. 4. 若不等式的解集是区间的子集, 则实数a的取值范围是_.六、回顾与总结：1. 主要方法:转化为一元一次或一元二次不等式(组)，即通过去掉不等式中的“绝对值”或“分母”或“指数对数的底数”；将其等价转化是解不等式的主要思路；去掉绝对值的主要方法有:根据绝对值得几何意义；依定义法: 零点分段法；平方法: 不等式两边都是非负时，两边同时平方.2. 易错、易漏点:一元二次不等式:当时，注意的系数为正时不等式的解集，大于0时两根之外，小于0时两根之间；特别注意时，如何求二次不等式的解集；分式不等式要注意一般不直接去分母，特殊情况分母符号确定可以去分母，特别注意分母不为零；不等式组的求解过程中，注意集合之间的交、并等的运算.3. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数间的联系：一元二次方程的两个根即为一元二次不等式的解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标.4. 解一元二次不等式的步骤： （1）化标准：将不等式化成标准形式（右边为0、最高次的系数为正）；（2）考虑判别式：计算判别式的值，若值为正，则求出相应方程的两根；（3）下结论：注意结果要写成集合或者区间的形式 .记忆口诀： 大于取两边，小于取中间（前提）.七、课后练习1. 不等式的解集为_.2. 不等式组的解集为_.3. 设, 则关于x的不等式的解集是_.4. 若关于x的不等式的解集是, 则的解集是_.5. 若关于x的不等式的解集为空集, 则实数k的取值范围是_.6. 已知函数, 则不等式的解集是_.7. 解下列不等式组.(1);(2);(3);(4).8. 解下列不等式.(1);(2).9. 若关于x的不等式的解集是, 求不等式的解集.10. 已知集合, , ,(1) 若, 求实数a的取值范围;(2) 若且, 求实数b, c的值. 11. 不等式的解集是_. 12. 不等式的解集是_. 13. 不等式的解集是_ 14. 不等式的解集是_. 15. 的解集是_. 16. 不等式的解集是_. 17. 关于x的不等式有解, 则实数a的取值范围是_. 18.求下列不等式的解集.(1);(2). 19.已知集合, , , 满足 , , 求实数a, b的值.八、答案及解析（一）基础练习11、；2、；3、；4、；5、，；6、；（二）基础练习21、A；2、；3、；4、；5、；6、；（三）课堂练习：1、（1）解: ,（2）解: ,所以不等式的解集为. ,所以不等式的解集为.（3）解: ,（4）解: ,所以不等式的解集为.,所以不等式解集为.【评注】本题需要落实: 解一元二次不等式(不含参数).2、解: 由题意, 函数图像上的点恒在x轴上或在x轴上方,当时, 函数为, 不合题意;当时, 函数为二次函数, 故 , 解得;综上所述, .【评注】本题需要落实: 一元二次不等式在上恒成立的问题.3、解: 记, 则,由题意, 有且仅有一个x, 使得,也即函数图像上只有一个点位于水平线(含)与(含)之间,其大致图像如右图所示, 即函数的最小值为1,故, 解得.【评注】本题需要落实: 图像法解一元二次不等式.4、解: ,若B是空集, 则显然不合题意,故令,则由, 可知,因此是方程的两根,由韦达定理: .【评注】本题需要落实: 一元二次方程与一元二次不等式间的联系.5、(1)解: 当时, ,以上述集合为解集, 则方程的根为1,b,代入得.(2)解: 即解,当时, 不等式的解集为;当时, 不等式的解集为;当时, 不等式的解集为.【评注】本题需要落实: (1)一元二次方程与一元二次不等式间的联系; (2)简单的、含参数的一元二次不等式的解法.6、（1）解: 不等式等价于,（2）解: ,或者,若, 则不等式显然成立;解得或者.若, 则不等式等价于, 无解;若, 则不等式等价于;综上所述, 不等式的解为或者.（3）解: 原不等式,（4）解设则原不等式化为, , 解得, 即.,解得或且.【评注】本题需要落实: (1)分式不等式; (2)含绝对值的不等式.7、（1）解: ,由对数函数是增函数, 两边取对数得.（2）解: 原不等式,当时, 由对数函数是增函数,则有, 解得;当时, 由对数函数是减函数,则有, 解得.【评注】本题需要落实: 利用(指对数)函数的单调性解不等式.8、（1）解: 设, 即,由图像可知: , 即.（2）解: 设, 即,由(1)可知: , 即.【评注】本题需要落实: 不等式恒成立问题. 建议利用函数的图像来解决不等式恒成立问题; 转化为函数最值来解的方法带过即可, 待函数最值复习完成再详细介绍.9、解: ,当时, 由在上单调递增得上述不等式等价于,化简得, 结合, 解得.当时, 由在上单调递减得上述不等式等价于,由, 解得或; 由, 结合, 解得;又, 故此时得.综上所述, 当时, 不等式的解为; 当时, 不等式的解为.【评注】本题需要落实: (1)利用函数单调性解不等式; (2)分式不等式的解法; (3)分类讨论.（四）难题突破1、解: ,若, 则上述不等式解集为, 不等组的解集为, 不合题意;若, 则其解集为, 不合题意;若, 则其解集为, 若, 不等式组的解集为, 此时要求(如下图);若,不等式组的解集为, 符合题意;若, 不等式组的解集为, 则要求;综上所述, k的取值范围是.2、解: 由函数的值域为得,不等式, 其解集为区间可知,是方程的两根,故有, 结合, 解得.3、解析：4、解析：解: ,令, 即函数图像在下方的部分对应的x均在区间内.考虑函数的图像, 由, 得其图像如下:结合图像可知, 当时, 函数图像在下方的部分是的子区间.【评注】本题也可以通过画出函数以及函数的图像, 并要求前者恒位于后者下方来解出a的范围. 但由于此时a会影响的图像, 整体上会较解答中的方法更难说清楚一些.（五）课后练习1、；2、；3、；4、；5、；6、；7、（1）解: 解集为.（2）解: 解集为.（3）解: 解集为.（4）解: 解集为.8、解: 当时, 解集为;解: 当时, 解集为;当时, 解集为; 当时, 解集为;当时, 解集为