数学概念的策略.doc

数学概念的策略数学概念是形成数学公式、法则、定理的基础，同时也是计算和证明的奠基石，在初中数学教学大纲中指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”只有掌握好概念，才能做出正确的判断与推理，也才能灵活地运用知识解决实际问题，因此数学概念的教学是数学教学的核心，它有着极其重要的地位。如何把概念讲清、讲透、讲活，使每位同学都能理解、表达、应用自如，这是我们数学教师所追求的目标。而形成和理解概念，大致经过三种途径，第一种是从经验中抽象出概念，参照直观图景理解概念；第二种是从定理的证明中形成和理解概念；第三种是在运用中理解概念。因此实施概念教学要注重以下几个方面。一、概念的引出方式要恰当，不同的概念应有不同的引出方法。1、可运用直观操作演示法：例如圆的概念的引出前，可让同学们联想生活中见过的年轮、太阳等实物的形状，再让同学用圆规在纸上画圆，也可用准备好的定长的线绳，将一端固定，而另一端带有铅笔并绕固定端旋转一周，从而引导同学们自己发现圆的形成过程，进而总结出圆的概念，又如绝对值概念的引入可先复习有理数的组成以及在数轴上的相应位置，再在数轴上给出A、B两点，A点在数轴原点右边的“8”上，即对应有理数“8”，B点在原点左边的“-1”上，即对应有理数“-1”，问：A点到原点的距离是多少？答：“是8；问：B点到原点的距离是多少？答：是1，即-1的相反数；然后联想到测量两点间距离时，人们常用两支标杆立在两点上，两杆之间的长度即为两点的距离，不论从甲杆量到乙杆，还是从乙杆量到甲杆，都得到同一数值（距离），这个数与方向（正负）无关，一律为非负的，对于这个数，只要在它的两侧立上两支标杆“| |”就可，即正数的两侧加上“| |”（绝对值）就是它本身，零的两侧加上“| |”（绝对值）仍是零，负数的两侧加上“| |”（绝对值）就是它的相反数，这样绝对值概念就好理解了。2、可从问题开始引出。例如：初中函数概念的引出，可先提出问题：出于防洪及灌溉的需要，某水库经常需要知道它的实际储水量，你能为它设计出一个简便易行的测量储水量的方案吗？具体应做哪些工作？然后引导学生分析：直接测量水库的储水量是困难的，但测量水库在某一点的水深却是很容易的，那么能否通过测量水深来间接地测量储水量呢？接着通过讨论让同学们建立起用较容易刻划的变量来刻划另一个变量的意识即函数意识。当然并不是任意两个互不相关的变量都可以实现用其中的一个来表达另一个的目的的，于是提出另一问题：当两个变量具有什么样的联系时，才能实现用一个变量刻划另一个变量的目的呢？于是展开寻求函数概念本质属性的活动，即先让同学分别指出下面例子中的变量及变量之间的关系的表达式：（1）以每小时60公里的速度匀速行驶的火车，所驶过的路程和时间；（2）用表格绘出的某水库的存水量与水深；（3）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻；接着找出上述各例中两变量之间关系的共同属性；然后通过抽象，提出共同本质属性之间的各种假设，并让学生运用变式对假设进行检验，以确认其本质属性；最后让学生举例，将上述本质属性推广到同类事物，概括形式函数概念并用定义表示。3、由旧引新法，例如在教“复数概念”时，首先让学生了解数的概念是从实践中产生和发展起来的，即与学生共同讨论归纳成下表： （计数需要） 正整数集N 整数集Z 有理数集Q （自然数） （循环小数） 零 有限小数 负整数 分数 无限循环小数 实数集R （表示具有相反 （测量和分 意义的量的需要） 配的需要） 无限不循环小数无理数然后指出当数的概念扩充到实数R后，新的矛盾又出现了：象X2= -1这样的简易方程，在实数集R内仍无解，因此，需将实数集进一步扩充，以适应解方程之需 A A D h h B a C B a C （1） （2）要，从而引入一个新的数i（虚数单位），进而引入复数这一概念。4、类比法。例如学习“三棱锥体积公式”时，可先回顾如下知识公理6；V棱柱=sh；等底等高的两个锥体的体积相等；再提出问题：对于三棱锥V三棱锥=?联系平面几何中三角形面积SABC的计算的解决方法是：如上图（1）（2），从而得：SABC=SABCD=ah；设想求三棱锥体积能否采取类似补法？可以考虑补成同底等高的三棱柱；猜想：由SABC=ah，V三棱锥=sh？平面是二维空间，系数为，三棱锥在三维空间中，系数是否为？即猜想，V三棱锥=sh；试验来验证上述猜想，拿出事先制作的“同底等高”的三棱锥和三棱柱容器，将三棱锥容器装满水三次倒入三棱柱容器正好装满，验证了猜想；论证实验结果可按课本证明进行，这样对此公式的形成就很清楚了。二、概念的巩固方法可灵活多变。1、讲透含义，揭示其本质。例如：函数概念：1）在某个变化过程中，有两个变量“X”和“Y”是说明：变量的存在性函数研究两个变量之间的依存关系在这个变化过程中，两个变量的取值都有一定的范围；2）“对于在某一范围内的每一个确定的值”是说明：变量X的取值是有范围限制的即允许值范围也就是函数的定义域；3）“Y有唯一确定的值和它对应”是说明有唯一确定的对应规律；4）“Y是X的函数”揭示了谁是谁的函数，由以上剖析可知：函数概念的本质是对应关系，即两个集合之间存在着一种对应关系：y=f(x)。2、运用反例巩固概念。例如：学习了对顶角概念之后，可让学生判断以下图中的1与2是不是对顶角？为什么？ 212 1 2 1学习了“平行四边形”的判定定理后，可以提出以下问题：1）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？2）有两组邻边相等的四边形一定是平行四边形吗？3、比较、区分异同。数学概念有些很容易混淆，教学中引导学生运用对比的方法来澄清模糊认识。例如：平方根与算术平方根是联系紧密的两个概念，可采用下列对比表进行分析比较，从而区别异同。平 方 根算术平方根符号表示（a0）（a0）读 法a的平方根a的算术平方根或根号a相 同 点它们的被开方数都是非负数不 同 点一个正数的平方根是两个，它们互为相反数一个正数的算术平方根只有一个且为正数联 系 点一个正数的算术平方根是正平方根4、变式的对比训练。教学中对标准形式（或位置）的图加以变化后进行研究。例如在学“三线八角”概念时，可向同学们展示如下图形：1212 3 4 7 6 3 2 1 4 5 8 6 5 8 5 4 1 2 3 6 7 7 8 （1） （2） （3） （4）通过图（1）明确三线八角的概念，再用图（2）加以对照，用图（3）的直观形象引导学生指出直线a、b被直线c截得的内错角和同位角，最后用图（4）中的1和2判断它们是否为内错角。5、归纳总结深化概念。在学完某一章了后应引导学生作系统归纳和总结，建立概念体系。例如：学完四边形以后，将其知识体系归纳成下表： 一个角是直角 矩形 一组邻边相等 两组对边 一个角是直角 正方形分别平行 一组邻边相等 平行四边形 一组邻边相等 一个角是直角 两腰相等四边形 等腰梯形 只有一组 梯形 对边平行 有一角是直角 直角梯形6、引伸探究活用概念。例如：在学习正比例函数y=kx(k0)、反比例函数y=k/x(k0)的应用中要灵活处理其中的K，当出现二者的同名或异名复合函数时，应将K区分为K1K2，且K1+K2，K1/K2，K1K2+1等仍为K的化身。又如学完不等式a2+b22ab后，可通过降次得出不等式a+b2，通过升次可得a4+b42a2b