素材：2012高中数学备课参考数学教学一道高考试题的深入探讨.doc

29年第12期数学教学 12-4一道高考试题的深入探讨 19江苏省徐州高级中学沈家书陈兴信 2009年上海数学高考试题理科第13题(文科第14题)为：某地街道呈现东一西、南一北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(一2，2)，(3，1)，(3，4)，(一2，3)，(4， 5)，(6，6)为报刊零售点请确定一个格点(除零售点外) 为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短这是一道与实际生活和生产实际密切结合的应用题设发行站的位置为格点(，)，因为总可以把各零售点平移到横向或纵向线上研究，所以对于横向有 =l+2I+I+2I+l一3l+I一 3IIzlJ+2十2J+J一4+J一6=2IJ一3十I一 4l+I一61，对于纵向有 !，=J一1l+J一2I+l3J+I一4J+J一5J+l一61本题转化为：、取何值(这里、为整数)时， +取得最小值、是若干个绝对值之和形式且绝对值内分别是关于、的一次函数式，此类函数的最小值问题需分区间讨论，去其绝对值符号，然后利用一次函数的单调性来求解本文研究其一般情况，可总结成如下定理：定理设为正实常数，Qt为实常数(i= 1，2，礼)且 1 2 n设f(t)=只lt iI，为变量，tR，nN，n2 i= 1 r 1几 r+1 (1)若r满足只去 ，则当t= r+1时，f(t)取最小值； (2)若r满足 =去，则t取【， +1的任一值时，f(t)取最小值；其最小值统一记作m= l+1一QtI仁：1证明：(1)当t(一 ，1】时， y(t)= (一 )(t一 t) = (一耋)抖量 。一 0，。，(t)在(一，1上是减函数当t【aJ，J+1(J=1，2，7)时，f(t)= nJ ” PJ一 J= (t )一 (一 i)= t=1 i=1 i=J+1 尸i一，J礼 t一 Pii+只 (丰) = 1 i=1 t=J+1尸 P， 只， t=1 =1 i=J+1 t=r+1 r 1n又题设寺只 i=r+1 =1 Jn rn。 P P一 i=1 i=j+1 =1 i=r+1去， t=1 =l礼 1n得 P0 =1 i=r+2于是由(木木)得y(t)在【，oj+l】(J=r+1 r+2，n1)上是增函数当t【Ol，+)时，=(只)t一 0，(t)在【Ol，+)上是增函数综上得f()Or1+。)t在【l+，o上是增函数 由、得，当t=Ozr+1时，y(t)取得最小值，其最小值为7n= Plr+1一 tI至此，(1)获证关于(2)的证明，可仿上法证之这里简述如下，详细证明由读者完成仿上法可证得y(t)在(一，Ol】上是减函数； +】tX)t【，rl，()=(一 t =l i=r+l， rn一 tOi+ L，：1 i=v+l r 1n =去只， t=l t=l，n 1n =去， t=r+1 t=1 rn于是得f()+ 为常t=一只 t i=1 i=r+l函数；仿上法可证得f(t)在【+l，十)上是增函数；由以上可推得当t取【OL， +1】任一值时， f(t)取得最小值，其最小值可表示为 m= I+1一Ql令P=1(i=1，2，礼)，可得如下推论：推论设 t(=1，2，几)为实常数且 1 0 ，t)= t一tIt2设y(I=f ljt2+ +ItIztR，+lQI一 n，为变量， nN且n2 (1)当n=2k一1(后N)时，则当t=时，y(t)取最小值，I一1 2k-1 其最小值m=t一 =1 i=k+1 f (2)当n=2k(七N)时，贝0当t取【， Ok+l】中任意值时，y(t)取最小值， I 2南I其最小值m=J1一 I i=1知+l下面略举数例，以示应用例1本文开头的高考试题解：设发行站的位置为(，)、 z)，则 = 21=+2I+2Ix一3I+l一4I+l一61， ) !，=l一1I+I一2I+I一3l+l一4I+l一5l+I一61-对于 取Q1= -2，2=3，3=4，Q4= 6， =2，P2=2，Pa=1，尸4=1，t取又 4 12只=6，Pl=2去62+2=只， =1 l：1故得7=1由定理中(1)得，当 = 2=3时，取最小值对于，取 1=1，2=2，3=3，4= 4，5=5，6：6，只 = P2=Pa=P4=P5= P6=1t取又：去只，故得r= =1 i=1 3由定理中(2)得， 【3，4】内任一值时，取最小值，本题限定为整数，所以取3或4时，取最小值综上得发行站设在(3，3)3，4)这一点在零售点中已出现)时， = +最小例2 (2006年高考全国卷试题)求f(x)= IiJ的最小值解：这里取Oi=， =1(i=1，2，19)， l9为奇数，19=2101，利用推论中(1)得当 =10时，y(x)取得最小值，其最小值仇 = I蔷 I01i=9 i1I例3一条直路上有5座粮库，相邻两粮库间的距离为50公里按从左至右顺序编号为1，2， 3，4，5，第号粮库中恰好有后(后=1，2，3，4，5)吨大米，现在想把5个粮库的大米集中到一个粮库，为了节省运费，这座粮库应在何处?解：运费最省就是总的吨公里最小，我们可以把这5座粮库所在的直线看成一条数轴，原点在1号粮库，5号粮库的坐标为50X4=2(公29年第12期数学教学 12-4s里)，设所建粮库距1号粮库公里处，那么这5座粮库的大米运往这座粮库的吨公里数是 s=llf+2f一50l+3f一1f+4I一150l+5一2I(0 2)，这里 1= 0，2= 50，3= 100，4：150， 5= 200，P1： 1，P2= 2，Pa = 3，尸4= 4，P5：5又有 =1+2+3：6 i= 1 54去PiP=10，故得r=3由定理中(1)得，当 =4：150时，即粮库在距1号粮库150公里的4号粮库处，所求吨公里数最小例4如图1，在环形运输线上、B、D、E、F六个仓库，现有某种货物的库存量分别为50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨现对各仓库的存货进行调整，使各仓库的存货相等，但每个仓库只能向相邻的仓库调动，并使调动的总量最小求备仓库向其他仓库的调运量 AB F图l 1解：各仓库的存货量相等，应为去(50+84+ 80+70+55+45)=64(吨)设A库运往B库XB吨，B库运往C库吨，C库运往D库XD吨，D库运往E库XE吨，E库运往F库 F吨，F库运往A库XA吨，故有 50+XAXB= 84+XBXC= 80+XC XD =70+XD XE =55+XE F =45+ XFXA 64，所以 B=XA一14，：XB+ 20=XA十6，XD = G+16=XA+22，XE= XD+6=XA +28，XF =XE一9=XA+19要使调运量最小只需 =XI+lA+l日 JzI十JDI+IFJX+IA一1JX+JEIX=JAJX4+ lA+6lXlX8+IA+1l+IA+IA+2IX9取最小值，即求 =IA一(2)+lA一( )+X-8I-llA一(-9l一6llXA一1)十lA一()+lA一0+l14l的最小值这里 l= -28，2= -，3= -19，4： -6，5= 0，6= 14，P1=P2= Pa=P4= = =1，n=6=23为偶数，由推论中(2)得，当取【-19，一6】内任一值时，取最小值。若XA= -19时，口= -33，G= 13，XD=3，XE=9，XF=0即A库运往B库 -33吨，亦即 B库运往A库吨，B库运往C库 -13吨，亦即C库运往B库13吨，C库运往D库3吨，一D库运往E库9吨，E库运往F库0吨，F库运往A库-19吨，亦即A库运往F库l9吨总调运量为77吨例5 (27年全国高中数学联赛试题)设实数n使得不等式J2nI+l3一2n 0对任意实数恒成立，则满足条件的n组成的集合是()cA，一1，； cB一1，； ； ()(c)1D【)】一解：令 =，原不等式可化为I2tanI+ 13a22即-2tl3t詈)tan，n(i+I一1 I。此不等式等价于2I一I+3l一詈l，得。itl1于是tImn2I一I+3t一言)这就化求(=If3-l最转为，)2t1+t詈的小值问题这里 =2，尸2=3，l=12 =，芸，又2 2+3，故得7=1，由定理中 n (1)得，当t：