高中数学竞赛讲义(免费).doc

高中数学高中数学竞赛资竞赛资料料 一 高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛 一试 所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年 全日制普通高 级中学数学教学大纲 中所规定的教学要求和内容 但在方法的要求上有所提高 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试 二试 与国际数学奥林匹克接轨 在知识方面有所扩展 适 当增加一些教学大纲之外的内容 所增加的内容是 1 平面几何 几个重要定理 梅涅劳斯定理 塞瓦定理 托勒密定理 西姆松定理 三角形中的几 个特殊点 旁心 费马点 欧拉线 几何不等式 几何极值问题 几何中的变换 对称 平移 旋转 圆的幂和根轴 面积方法 复数方法 向量方法 解析几何方法 2 代数 周期函数 带绝对值的函数 三角公式 三角恒等式 三角方程 三角不等式 反三 角函数 递归 递归数列及其性质 一阶 二阶线性常系数递归数列的通项公式 第二数学归纳法 平均值不等式 柯西不等式 排序不等式 切比雪夫不等式 一元凸函 数 复数及其指数形式 三角形式 欧拉公式 棣莫弗定理 单位根 多项式的除法定理 因 式分解定理 多项式的相等 整系数多项式的有理根 多项式的插值公式 n 次多项式根的个数 根与系数的关系 实系数多项式虚根成对定理 函数迭代 简单的函数方程 3 初等数论 同余 欧几里得除法 裴蜀定理 完全剩余类 二次剩余 不定方程和方程组 高斯 函数 x 费马小定理 格点及其性质 无穷递降法 欧拉定理 孙子定理 4 组合问题 圆排列 有重复元素的排列与组合 组合恒等式 组合计数 组合几何 抽屉原理 容斥原理 极端原理 图论问题 集合的划分 覆盖 平面凸集 凸包及应用 注 有 号的内容加试中暂不考 但在冬令营中可能考 二 初中数学竞赛大纲 1 数 整数及进位制表示法 整除性及其判定 素数和合数 最大公约数与最小公倍数 奇数和偶数 奇偶性分析 带余除法和利用余数分类 完全平方数 因数分解的表示法 约数个数的计算 有理数的概念及表示法 无理数 实数 有理数和实数四则运算的封闭 性 2 代数式 综合除法 余式定理 因式分解 拆项 添项 配方 待定系数法 对称式和轮换 对称式 整式 分工 根式的恒等变形 恒等式的证明 3 方程和不等式 含字母系数的一元一次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程根的分布 含绝对 值的一元一次方程 一元二次方程的解法 含字母系数的一元一次不等式的解法 一元二 次不等式的解法 含绝对值的一元一次不等式 简单的多元方程组 简单的不定方程 组 4 函数 二次函数在给定区间上的最值 简单分工函数的最值 含字母系数的二次函数 5 几何 三角形中的边角之间的不等关系 面积及等积变换 三角形中的边角之间的不等关系 面积及等积变换 三角形的心 内心 外心 垂心 重心 及其性质 相似形的概念和性 质 圆 四点共圆 圆幂定理 四种命题及其关系 6 逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用 简单的组合问题简单的逻辑推理问题 反证法 极端原理的 简单应用 枚举法及其简单应用 三 高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一 基础知识 定义 1 一般地 一组确定的 互异的 无序的对象的全体构成集合 简称集 用大写字 母来表示 集合中的各个对象称为元素 用小写字母来表示 元素在集合 A 中 称属xx 于 A 记为 否则称不属于 A 记作 例如 通常用 N Z Q B Q 分别Ax xAx 表示自然数集 整数集 有理数集 实数集 正有理数集 不含任何元素的集合称为空集 用来表示 集合分有限集和无限集两种 集合的表示方法有列举法 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法 如 1 2 3 描述法 将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法 例如 有理数 分别表示有理数集和正实数集 0 xx 定义 2 子集 对于两个集合 A 与 B 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素 则 A 叫做 B 的子集 记为 例如 规定空集是任何集合的子集 如果 A 是BA ZN B 的子集 B 也是 A 的子集 则称 A 与 B 相等 如果 A 是 B 的子集 而且 B 中存在元素不 属于 A 则 A 叫 B 的真子集 定义 3 交集 BxAxxBA 且 定义 4 并集 BxAxxBA 或 定义 5 补集 若称为 A 在 I 中的补集 1 AxIxxACIA 且则 定义 6 差集 BxAxxBA 且 定义 7 集合记作开区间 集合 baRxbxax ba 记作闭区间 R 记作 baRxbxax ba 定理 1 集合的性质 对任意集合 A B C 有 1 2 CABACBA CABACBA 3 4 111 BACBCAC 111 BACBCAC 证明 这里仅证 1 3 其余由读者自己完成 1 若 则 且或 所以或 CBAx Ax Bx Cx BAx 即 反之 则 CAx CABAx CABAx 或 即且或 即且 即 BAx CAx Ax Bx Cx Ax CBx CBAx 3 若 则或 所以或 所以BCACx 11 ACx 1 BCx 1 Ax Bx 又 所以 即 反之也有 BAx Ix 1 BACx 111 BACBCAC 111 BCACBAC 定理 2 加法原理 做一件事有类办法 第一类办法中有种不同的方法 第二类办法n 1 m 中有种不同的方法 第类办法中有种不同的方法 那么完成这件事一共有 2 mn n m 种不同的方法 n mmmN 21 定理 3 乘法原理 做一件事分个步骤 第一步有种不同的方法 第二步有种不n 1 m 2 m 同的方法 第步有种不同的方法 那么完成这件事一共有n n m 种不同的方法 n mmmN 21 二 方法与例题 1 利用集合中元素的属性 检验元素是否属于集合 例 1 设 求证 22 ZyxyxaaM 1 12ZkMk 2 24ZkMk 3 若 则 MqMp Mpq 证明 1 因为 且 所以Zkk 1 22 1 12 kkk 12Mk 2 假设 则存在 使 由于和 24ZkMk Zyx 22 24yxk yx 有相同的奇偶性 所以是奇数或 4 的倍数 不可能等于yx 22 yxyxyx 假设不成立 所以24 k 24Mk 3 设 则Zbayxbaqyxp 2222 2222 bayxpq 22222222 aybxbyaa Myaxbybxa 22 因为 ZyaxbZyaxa 2 利用子集的定义证明集合相等 先证 再证 则 A B BA AB 例 2 设 A B 是两个集合 又设集合 M 满足 求集合 M 用 A B 表示 BAMBABAMBMA 解 先证 若 因为 所以MBA BAx BAMA 所以 MxMAx MBA 再证 若 则1 若 则 BAM Mx BAMBAx Ax 2 若 则 所以BAMAx Bx BAMBx BAM 综上 BAM 3 分类讨论思想的应用 例 3 若 02 01 023 222 mxxxCaaxxxBxxxA 求CCAABA ma 解 依题设 再由解得或 2 1 A01 2 aaxx1 ax1 x 因为 所以 所以 所以或 2 所以或 3 ABA AB Aa 111 a2 a 因为 所以 若 则 即 CCA AC C08 2 m2222 m 若 则或 解得 CC 1C 2 3 m 综上所述 或 或 2 a3 a3 m2222 m 4 计数原理的应用 例 4 集合 A B C 是 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 的子集 1 若 IBA 求有序集合对 A B 的个数 2 求 I 的非空真子集的个数 解 1 集合 I 可划分为三个不相交的子集 A B B A 中的每个元素恰属于IBA 其中一个子集 10 个元素共有 310种可能 每一种可能确定一个满足条件的集合对 所以 集合对有 310个 2 I 的子集分三类 空集 非空真子集 集合 I 本身 确定一个子集分十步 第一步 1 或者属于该子集或者不属于 有两种 第二步 2 也有两种 第 10 步 0 也有两种 由乘法原理 子集共有个 非空真子集有 1022 个 1024210 5 配对方法 例 5 给定集合的个子集 满足任何两个子集的交集非 3 2 1 nI k k AAA 21 空 并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质 求的值 k 解 将 I 的子集作如下配对 每个子集和它的补集为一对 共得对 每一对不能同 1 2 n 在这个子集中 因此 其次 每一对中必有一个在这个子集中出现 否则 k 1 2 n kk 若有一对子集未出现 设为 C1A 与 A 并设 则 从而可以在 1 AA ACA 11 个子集中再添加 与已知矛盾 所以 综上 kAC1 1 2 n k 1 2 n k 6 竞赛常用方法与例问题 定理 4 容斥原理 用表示集合 A 的元素个数 则A BABABA 需要xy 此结论可CBACBCABACBACBA 以推广到个集合的情况 即n n i kji jinkji jii n i i AAAAAAA 111 1 1 1 n i i n A 定义 8 集合的划分 若 且 IAAA n 21 1 jinjiAA ji 则这些子集的全集叫 I 的一个 划分 n 定理 5 最小数原理 自然数集的任何非空子集必有最小数 定理 6 抽屉原理 将个元素放入个抽屉 必有一个抽屉放有不少于1 mn 1 nn 个元素 也必有一个抽屉放有不多于个元素 将无穷多个元素放入个抽屉必有1 mmn 一个抽屉放有无穷多个元素 例 6 求 1 2 3 100 中不能被 2 3 5 整除的数的个数 解 记 2 2 1001 100 3 2 1 xxxxAI记为整除能被且 由容斥原理 5 1001 3 1001 xxxCxxxB 3 100 2 100 CBAACCBBACBACBA 所以不能被 2 3 5 整除的数有74 30 100 15 100 10 100 6 100 5 100 个 26 CBAI 例 7 S 是集合 1 2 2004 的子集 S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7 问 S 中最 多含有多少个元素 解 将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示 由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S 将这 11 个数按连续两个为一组 分成 6 组 其中一组只有一个数 若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个 则必有两个数在同一组 与已知矛盾 所以 S 至多含有其中 5 个 数 又因为 2004 182 11 2 所以 S 一共至多含有 182 5 2 912 个元素 另一方面 当 时 恰有 且 S 满足题目条 2004 10 7 4 2 1 11 NkrttkrrS 912 S 件 所以最少含有 912 个元素 例 8求所有自然数 使得存在实数满足 2 nn n aaa 21 2 1 2 1 1 nn njiaa ji 解 当时 当时 当时 2 n1 0 21 aa3 n3 1 0 321 aaa4 n 下证当时 不存在满足条件 1 5 2 0 4321 aaaa5 n n aaa 21 令 则 n aaa 21 0 2 1 nn an 所以必存在某两个下标 使得 所以或ji 1 nji aaa 111 1 nnn aaaa 即 所以或 2 1aaa nn 1 2 a1 2 1 1 nnn aa nn a 2 1 nn an 1 2 a 若 考虑 有或 1 2 1 1 nnn aa nn a2 n a 2 2 nn aa 2 2aaa nn 即 设 则 导致矛盾 故只有2 2 a2 2 nn aa 121 nnnn aaaa 2 2 a 考虑 有或 即 设 则3 n a 2 3 nn aa 3 3aaa nn 3 3 a 2 3 nn aa 推出矛盾 设 则 又推出矛 0221 2aaaa nn 3 3 a 231 1aaaa nn 盾 所以故当时 不存在满足条件的实数 4 22 naan5 n 若 考虑 有或 即1 2 1 2 a nn an2 n a 1 2 nn aa 3 2aaa nn 这时 推出矛盾 故 考虑 有2 3 a 1223 aaaa 2 1 nn aa3 n a 或 即 3 于是 矛盾 因此 2 3 nn aa nn aa3 3 a 3 a 123 nn aaaa 所以 这又矛盾 所以只有 所以3 2 nn aa 1221 1aaaa nn 22 aan 故当时 不存在满足条件的实数 4 n5 n 例 9 设 A 1 2 3 4 5 6 B 7 8 9 n 在 A 中取三个数 B 中取两个 数组成五个元素的集合 求的最小值 i A 201 2 20 2 1 jiAAi ji n 解 16 min n 设 B 中每个数在所有中最多重复出现次 则必有 若不然 数出现次 i Ak4 kmk 则在出现的所有中 至少有一个 A 中的数出现 3 次 不妨设它是4 k 123 km i A 1 就有集合 1 其中 121 bmaa 1 1 365243 bmaabmaa61 iAai 为满足题意的集合 必各不相同 但只能是 2 3 4 5 6 这 5 个数 这不可能 所以 i a 4 k 20 个中 B 中的数有 40 个 因此至少是 10 个不同的 所以 当时 如 i A16 n16 n 下 20 个集合满足要求 1 2 3 7 8 1 2 4 12 14 1 2 5 15 16 1 2 6 9 10 1 3 4 10 11 1 3 5 13 14 1 3 6 12 15 1 4 5 7 9 1 4 6 13 16 1 5 6 8 11 2 3 4 13 15 2 3 5 9 11 2 3 6 14 16 2 4 5 8 10 2 4 6 7 11 2 5 6 12 13 3 4 5 12 16 3 4 6 8 9 3 5 6 7 10 4 5 6 14 15 例 10 集合 1 2 3n 可以划分成个互不相交的三元集合 其中 n zyxzyx3 求满足条件的最小正整数 n 解 设其中第 个三元集为则 1 2 i 2 1 nizyx ii n i i zn 1 43 所以 当为偶数时 有 所以 当为奇数时 有 n i i z nn 1 4 2 13 3 nn388 nn 所以 当时 集合 1 11 4 2 13 5 3 15 6 138 n5 n5 n 9 12 7 10 14 8 满足条件 所以的最小值为 5 n 第二章 二次函数与命题 一 基础知识 1 二次函数 当0 时 y ax2 bx c 或 f x ax2 bx c 称为关于 x 的二次函数 其对称轴 a 为直线 x 另外配方可得 f x a x x0 2 f x0 其中 x0 下同 a b 2a b 2 2 二次函数的性质 当 a 0 时 f x 的图象开口向上 在区间 x0 上随自变量 x 增大 函数值减小 简称递减 在 x0 上随自变量增大函数值增大 简称递增 当 a0 时 方程 f x 0 即 ax2 bx c 0 和不等式 ax2 bx c 0 及 ax2 bx c0 时 方程 有两个不等实根 设 x1 x2 x1 x2 不等式 和不等式 的解集分别 是 x xx2 和 x x1 x x2 二次函数 f x 图象与 x 轴有两个不同的交点 f x 还可写成 f x a x x1 x x2 2 当 0 时 方程 有两个相等的实根 x1 x2 x0 不等式 和不等式 的解集分别 a b 2 是 x x 和空集 f x 的图象与 x 轴有唯一公共点 a b 2 3 当 0 时 方程 无解 不等式 和不等式 的解集分别是 R 和 f x 图象与 x 轴无 公共点 当 a0 当 x x0时 f x 取最小值 f x0 若 a0 当 x0 m n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f x0 当 x0n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f n 以上结论由二次函数图象 即可得出 定义 1 能判断真假的语句叫命题 如 3 5 是命题 萝卜好大 不是命题 不含逻辑 联结词 或 且 非 的命题叫做简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题 注 1 p 或 q 复合命题只有当 p q 同为假命题时为假 否则为真命题 p 且 q 复合 命题只有当 p q 同时为真命题时为真 否则为假命题 p 与 非 p 即 p 恰好一真一假 定义 2 原命题 若 p 则 q p 为条件 q 为结论 逆命题 若 q 则 p 否命题 若非 p 则 q 逆否命题 若非 q 则非 p 注 2 原命题与其逆否命题同真假 一个命题的逆命题和否命题同真假 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律 而未必是证明原命题的逆否命题 定义 3 如果命题 若 p 则 q 为真 则记为 pq 否则记作 pq 在命题 若 p 则 q 中 如果已知 pq 则 p 是 q 的充分条件 如果 qp 则称 p 是 q 的必要条件 如果 pq 但 q 不p 则称 p 是 q 的充分非必要条件 如果 p 不q 但 pq 则 p 称为 q 的必要 非充分条件 若 pq 且 qp 则 p 是 q 的充要条件 二 方法与例题 1 待定系数法 例 1 设方程 x2 x 1 0 的两根是 求满足 f f f 1 1 的二次函数 f x 解 设 f x ax2 bx c a0 则由已知 f f 相减并整理得 a b 1 0 因为方程 x2 x 1 0 中 0 所以 所以 a b 1 0 又 1 所以 a b 1 0 又因为 f 1 a b c 1 所以 c 1 1 所以 c 2 又 b a 1 所以 f x ax2 a 1 x 2 再由 f 得 a 2 a 1 2 所以 a 2 a 2 1 所以 a 2 a 1 0 即 a 2 1 1 a 0 即 1 a 0 所以 a 1 所以 f x x2 2x 2 2 方程的思想 例 2 已知 f x ax2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求 f 3 的取值范围 解 因为 4 f 1 a c 1 所以 1 f 1 c a 4 又 1 f 2 4a c 5 f 3 f 2 f 1 3 8 3 5 所以 1 f 3 5 4 3 8 3 5 3 8 3 5 所以 1 f 3 20 3 利用二次函数的性质 例 3 已知二次函数 f x ax2 bx c a b c R a0 若方程 f x x 无实根 求证 方程 f f x x 也无实根 证明 若 a 0 因为 f x x 无实根 所以二次函数 g x f x x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上 所以对任意的 x R f x x 0 即 f x x 从而 f f x f x 所以 f f x x 所以方程 f f x x 无实根 注 请读者思考例 3 的逆命题是否正确 4 利用二次函数表达式解题 例 4 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 方程 f x x 的两根 x1 x2满足 0 x1 x2 a 1 当 x 0 x1 时 求证 x f x x1 设函数 f x 的图象关于 x x0对称 求证 x0 2 1 x 证明 因为 x1 x2是方程 f x x 0 的两根 所以 f x x a x x1 x x2 即 f x a x x1 x x2 x 当 x 0 x1 时 x x1 0 x x20 所以 f x x 其次 f x x1 x x1 a x x2 1 a x x1 x x2 0 所以 f x x1 a 1 综上 x f x 1 求证 方程的正根比 1 小 负根比 1 大 证明 方程化为 2a2x2 2ax 1 a2 0 构造 f x 2a2x2 2ax 1 a2 f 1 a 1 2 0 f 1 a 1 2 0 f 0 1 a20 所以 f x 在区间 1 0 和 0 1 上各有一根 即方程的正根比 1 小 负根比 1 大 6 定义在区间上的二次函数的最值 例 6 当 x 取何值时 函数 y 取最小值 求出这个最小值 22 24 1 5 x xx 解 y 1 令u 则 0 u 1 222 1 5 1 1 xx 1 1 2 x y 5u2 u 1 5 20 19 20 19 10 1 2 u 且当即 x 3 时 ymin 10 1 u 20 19 例 7 设变量 x 满足 x2 bx x b 1 并且 x2 bx 的最小值是 求 b 的值 2 1 解 由 x2 bx x b b 1 即 b 2 时 x2 bx 在 0 b 1 上是减函数 2 b 所以 x2 bx 的最小值为 b 1 b 1 b 2 1 2 3 综上 b 2 3 7 一元二次不等式问题的解法 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个 求 a 的取值范围 12 0 22 ax aaxx 解 因为方程 x2 x a a2 0 的两根为 x1 a x2 1 a 若 a 0 则 x1 x2 的解集为 a x1 2a 因为 1 2a 1 a 所以 a 0 所以不等式组无解 若 a 0 当 0 a 时 x1 x2 的解集为 a x 1 a 2 1 因为 0 a x 1 a时 a 1 a 由 得 x 1 2a 2 1 所以不等式组的解集为 1 a x1 且 a 1 a 3 所以 1 a 2 并且当 1 a 2 时 不等式组恰有两个整数解 0 1 综上 a 的取值范围是 10 B A C 2 y z 2 4AC y z 2 0 恒成立 所以 B A C 2 4AC 0 即 A2 B2 C2 2 AB BC CA 同理有 B 0 C 0 所以必要性成立 再证充分性 若 A 0 B 0 C 0 且 A2 B2 C2 2 AB BC CA 1 若 A 0 则由 B2 C2 2BC 得 B C 2 0 所以 B C 所以 0 所以 成立 成立 2 若 A 0 则由 知 0 所以 成立 所以 成立 综上 充分性得证 9 常用结论 定理 1 若 a b R a b a b a b 证明 因为 a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 注 若 m 0 则 m x m 等价于 x m 又 a a b b a b b 即 a b a b 综上定理 1 得证 定理 2 若 a b R 则 a2 b2 2ab 若 x y R 则 x y 2 xy 证略 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况 在不等式证明一章中详细论证 第三章 函数 一 基础知识 定义 1 映射 对于任意两个集合 A B 依对应法则 f 若对 A 中的任意一个元素 x 在 B 中都有唯一一个元素与之对应 则称 f A B 为一个映射 定义 2 单射 若 f A B 是一个映射且对任意 x y A xy 都有 f x f y 则称之为单射 定义 3 满射 若 f A B 是映射且对任意 y B 都有一个 x A 使得 f x y 则称 f A B 是 A 到 B 上的满射 定义 4 一一映射 若 f A B 既是单射又是满射 则叫做一一映射 只有一一映射存在逆 映射 即从 B 到 A 由相反的对应法则 f 1构成的映射 记作 f 1 A B 定义 5 函数 映射 f A B 中 若 A B 都是非空数集 则这个映射为函数 A 称为它的 定义域 若 x A y B 且 f x y 即 x 对应 B 中的 y 则 y 叫做 x 的象 x 叫 y 的原象 集合 f x x A 叫函数的值域 通常函数由解析式给出 此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围 如函数 y 3 1 的定义域为 x x 0 x R x 定义 6 反函数 若函数 f A B 通常记作 y f x 是一一映射 则它的逆映射 f 1 A B 叫原函数的反函数 通常写作 y f 1 x 这里求反函数的过程是 在解析式 y f x 中反解 x 得 x f 1 y 然后将 x y 互换得 y f 1 x 最后指出反函数的定义域即原函数的值域 例如 函数 y 的反函数是 y 1 x0 x 1 1 x 1 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 定理 2 在定义域上为增 减 函数的函数 其反函数必为增 减 函数 定义 7 函数的性质 1 单调性 设函数 f x 在区间 I 上满足对任意的 x1 x2 I 并且 x1 x2 总有 f x1 f x2 则称 f x 在区间 I 上是增 减 函数 区间 I 称为单调增 减 区间 2 奇偶性 设函数 y f x 的定义域为 D 且 D 是关于原点对称的数集 若对于任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是奇函数 若对任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是 偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 3 周期性 对于函数 f x 如果存在一个不为零的常数 T 使得当 x 取定义域内每一个 数时 f x T f x 总成立 则称 f x 为周期函数 T 称为这个函数的周期 如果周期中存在 最小的正数 T0 则这个正数叫做函数 f x 的最小正周期 定义 8 如果实数 a b 则数集 x a x b x R 叫做开区间 记作 a b 集合 x a x b x R 记作闭区间 a b 集合 x a x b 记作半开半闭区间 a b 集合 x a xa 记作开区间 a 集合 x x a 记作半 开半闭区间 a 定义 9 函数的图象 点集 x y y f x x D 称为函数 y f x 的图象 其中 D 为 f x 的定义 域 通过画图不难得出函数 y f x 的图象与其他函数图象之间的关系 a b 0 1 向右平 移 a 个单位得到 y f x a 的图象 2 向左平移 a 个单位得到 y f x a 的图象 3 向下 平移 b 个单位得到 y f x b 的图象 4 与函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 5 与函 数 y f x 的图象关于原点成中心对称 6 与函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称 7 与函数 y f x 的图象关于 x 轴对称 定理 3 复合函数 y f g x 的单调性 记住四个字 同增异减 例如 y u 2 x 在 x 2 1 2 上是减函数 y 在 0 上是减函数 所以 y 在 2 上是增函 u 1 x 2 1 数 注 复合函数单调性的判断方法为同增异减 这里不做严格论证 求导之后是显然的 二 方法与例题 1 数形结合法 例 1 求方程 x 1 的正根的个数 x 1 解 分别画出 y x 1 和 y 的图象 由图象可知两者有 x 1 唯一交点 所以方程有一个正根 例 2 求函数 f x 的最11363 2424 xxxxx 大值 解 f x 记点 P x x 2 A 3 2 222222 0 1 3 2 xxxx B 0 1 则 f x 表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差 因为 PA PA AB 当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y x2的交点10 12 3 22 时等号成立 所以 f x max 10 x y x 1 1 x 2 函数性质的应用 例 3 设 x y R 且满足 求 x y 1 1 1997 1 1 1 1997 1 3 2 yy xx 解 设 f t t3 1997t 先证 f t 在 上递增 事实上 若 a0 所以 f t 递增 由题设 f x 1 1 f 1 y 所以 x 1 1 y 所以 x y 2 例 4 奇函数 f x 在定义域 1 1 内是减函数 又 f 1 a f 1 a2 0 求 a 的取值范围 解 因为 f x 是奇函数 所以 f 1 a2 f a2 1 由题设 f 1 a f a2 1 又 f x 在定义域 1 1 上递减 所以 1 1 a a2 1 1 解得 0 a 1 例 5 设 f x 是定义在 上以 2 为周期的函数 对 k Z 用 Ik表示区间 2k 1 2k 1 已知当 x I0时 f x x2 求 f x 在 Ik上的解析式 解 设 x Ik 则 2k 10 则由 得 n 0 设 f t t 1 则 f t 在 0 上是增函数 又 f m 4 2 t f n 所以 m n 所以 3x 1 2x 3 0 所以 x 5 4 若 m0 同理有 m n 0 x 但与 m 0 矛盾 5 4 综上 方程有唯一实数解 x 5 4 3 配方法 例 7 求函数 y x 的值域 12 x 解 y x 2x 1 2 1 112 x 2 1 12 x 1 1 1 2 1 12 x 2 1 2 1 当 x 时 y 取最小值 所以函数值域是 2 1 2 1 2 1 4 换元法 例 8 求函数 y 2 1 x 0 1 的值域 x 1x 1 2 1x 解 令 u 因为 x 0 1 所以 2 u2 2 2 4 所以 u 2 x 1x 1 2 1x 2 所以 2 1 2 所以 y u2 2 8 2 22 2 2 u 2 2 u 2 2 u 2 所以该函数值域为 2 8 2 5 判别式法 例 9 求函数 y 的值域 43 43 2 2 xx xx 解 由函数解析式得 y 1 x2 3 y 1 x 4y 4 0 当 y1 时 式是关于 x 的方程有实根 所以 9 y 1 2 16 y 1 2 0 解得 y 1 7 1 又当 y 1 时 存在 x 0 使解析式成立 所以函数值域为 7 7 1 6 关于反函数 例 10 若函数 y f x 定义域 值域均为 R 且存在反函数 若 f x 在 上递增 求证 y f 1 x 在 上也是增函数 证明 设 x1 x2 且 y1 f 1 x1 y2 f 1 x2 则 x1 f y1 x2 f y2 若 y1 y2 则因为 f x 在 上递增 所以 x1 x2与假设矛盾 所以 y1 y2 即 y f 1 x 在 递增 例 11 设函数 f x 解方程 f x f 1 x 4 23 14 x x 解 首先 f x 定义域为 其次 设 x1 x2是定义域内变量 3 2 4 1 且 x1 x20 3 2 23 14 2 2 x x 23 14 1 1 x x 23 23 5 12 12 xx xx 所以 f x 在 上递增 同理 f x 在 上递增 3 2 4 1 在方程 f x f 1 x 中 记 f x f 1 x y 则 y 0 又由 f 1 x y 得 f y x 所以 x 0 所以 x y 4 1 若 xy 设 x y 则 f x yy 也可得出矛盾 所以 x y 即 f x x 化简得 3x5 2x4 4x 1 0 即 x 1 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 因为 x 0 所以 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 所以 x 1 第四章 几个初等函数的性质 一 基础知识 1 指数函数及其性质 形如 y ax a 0 a1 的函数叫做指数函数 其定义域为 R 值域为 0 当 0 a1 时 y ax为增函数 它的图象恒过定点 0 1 2 分数指数幂 nm n m n nnm n m n n a a a aaaaa 1 1 1 3 对数函数及其性质 形如 y logax a 0 a1 的函数叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 R 图象过定点 1 0 当 0 a1 时 y logax 为增函数 4 对数的性质 M 0 N 0 1 ax Mx logaM a 0 a1 2 loga MN loga M loga N 3 loga loga M loga N 4 loga Mn n loga M N M 5 loga loga M 6 aloga M M 7 loga b a b c 0 a c1 n M n 1 a b c c log log 5 函数 y x a 0 的单调递增区间是和 单调递减区间为 x a a a 和 请读者自己用定义证明 0 a a 0 6 连续函数的性质 若 a b f x 在 a b 上连续 且 f a f b 0 证明 设 f x b c x bc 1 x 1 1 则 f x 是关于 x 的一次函数 所以要证原不等式成立 只需证 f 1 0 且 f 1 0 因为 1 a0 f 1 b c bc a 1 b 1 c 0 所以 f a 0 即 ab bc ca 1 0 例 2 柯西不等式 若 a1 a2 an是不全为 0 的实数 b1 b2 bn R 则 2 等号当且仅当存在R 使 ai i 1 2 n n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 i b 时成立 证明 令 f x x2 2 x n i i a 1 2 n i iib a 1 n i i b 1 2 n i ii bxa 1 2 因为 0 且对任意 x R f x 0 n i i a 1 2 所以 4 4 0 n i iib a 1 n i i a 1 2 n i i b 1 2 展开得 2 n i i a 1 2 n i i b 1 2 n i iib a 1 等号成立等价于 f x 0 有实根 即存在 使 ai i 1 2 n i b 例 3 设 x y R x y c c 为常数且 c 0 2 求 u 的最小值 y y x x 11 解 u xy xy 2 y y x x 11 xyx y y x1 xy 1 x y y x xy 2 xy 1 令 xy t 则 0 t xy 设 f t t 0 t 44 22 cyx t 1 4 2 c 因为 0 c 2 所以 00 所以 p q p q 2 51 例 5 对于正整数 a b c a b c 和实数 x y z w 若 ax by cz 70w 且 wzyx 1111 求证 a b c 证明 由 ax by cz 70w取常用对数得 xlga ylgb zlgc wlg70 所以lga lg70 lgb lg70 lgc lg70 w 1 x 1 w 1 y 1 w 1 z 1 相加得 lga lgb lgc lg70 由题设 w 1 zyx 111 wzyx 1111 所以 lga lgb lgc lg70 所以 lgabc lg70 所以 abc 70 2 5 7 若 a 1 则因为 xlga wlg70 所以 w 0 与题设矛盾 所以 a 1 又 a b c 且 a b c 为 70 的正约数 所以只有 a 2 b 5 c 7 所以 a b c 例 6 已知 x1 ac1 a1 c1 且 logax logcx 2logbx 求证 c2 ac logab 证明 由题设 logax logcx 2logbx 化为以 a 为底的对数 得 b x c x x a a a a a log log2 log log log 因为 ac 0 ac1 所以 logab logacc2 所以 c2 ac logab 注 指数与对数式互化 取对数 换元 换底公式往往是解题的桥梁 3 指数与对数方程的解法 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解 值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论 例 7 解方程 3x 4 x 5 x 6 x 解 方程可化为 1 设 f x 则 f x 在 xxx 6 5 3 2 2 1 xxx 6 5 3 2 2 1 上是减函数 因为 f 3 1 所以方程只有一个解 x 3 例 8 解方程组 其中 x y R 3 12 xy yx yx yx 解 两边取对数 则原方程组可化为 3lg lg12lg glxyyx yxyx 把 代入 得 x y 2lgx 36lgx 所以 x y 2 36 lgx 0 由 lgx 0 得 x 1 由 x y 2 36 0 x y R 得 x y 6 代入 得 lgx 2lgy 即 x y2 所以 y2 y 6 0 又 y 0 所以 y 2 x 4 所以方程组的解为 2 4 1 1 2 2 1 1 y x y x 例 9 已知 a 0 a1 试求使方程 loga x ak loga2 x2 a2 有解的 k 的取值范围 解 由对数性质知 原方程的解 x 应满足 0 0 22 222 ax akx axakx 若 同时成立 则 必成立 故只需解 0 222 akx axakx 由 可得 2kx a 1 k2 当 k 0 时 无解 当 k0 时 的解是 x 代入 得 k k ka 2 1 2 k k 2 1 2 若 k1 所以 k0 则 k2 1 所以 0 k1 时 an Sn Sn 1 定义 2 等差数列 如果对任意的正整数 n 都有 an 1 an d 常数 则 an 称为等差数列 d 叫做公差 若三个数 a b c 成等差数列 即 2b a c 则称 b 为 a 和 c 的等差中项 若公 差为 d 则 a b d c b d 定理 2 等差数列的性质 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前 n 项和公式 Sn 3 an am n m d 其中 n m 为正整数 4 若d nn na aan n 2 1 2 1 1 n m p q 则 an am ap aq 5 对任意正整数 p q 恒有 ap aq p q a2 a1 6 若 A B 至 少有一个不为零 则 an 是等差数列的充要条件是 Sn An2 Bn 定义 3 等比数列 若对任意的正整数 n 都有 则 an 称为等比数列 q 叫做公q a a n n 1 比 定理 3 等比数列的性质 1 an a1qn 1 2 前 n 项和 Sn 当 q1 时 Sn q qa n 1 1 1 当 q 1 时 Sn na1 3 如果 a b c 成等比数列 即 b2 ac b0 则 b 叫做 a c 的等比中 项 4 若 m n p q 则 aman apaq 定义 4 极限 给定数列 an 和实数 A 若对任意的 0 存在 M 对任意的 n M n N 都有 an A 则称 A 为 n 时数列 an 的极限 记作 limAan n 定义 5 无穷递缩等比数列 若等比数列 an 的公比 q 满足 q 1 则称之为无穷递增等比数 列 其前 n 项和 Sn的极限 即其所有项的和 为 由极限的定义可得 q a 1 1 定理 3 第一数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n0 成立 2 当 p n 时 n k 成立 时能推出 p n 对 n k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自然数 n n0成立 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n0 成立 2 当 p n 对一切 n k 的自然数 n 都成立时 k n0 可推出 p k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自 然数 n n0成立 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn axn 1 bxn 2 设它的特征方程 x2 ax b 的两个根为 1 若 则 xn c1an 1 c2 n 1 其中 c1 c2由初始条件 x1 x2的值确定 2 若 则 xn c1n c2 n 1 其中 c1 c2的值由 x1 x2的值确定 二 方法与例题 1 不完全归纳法 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律 当然结论未必都是正确的 但却是人类 探索未知世界的普遍方式 通常解题方式为 特殊 猜想 数学归纳法证明 例 1 试给出以下几个数列的通项 不要求证明 1 0 3 8 15 24 35 2 1 5 19 65 3 1 0 3 8 15 解 1 an n2 1 2 an 3n 2n 3 an n2 2n 例 2 已知数列 an 满足 a1 a1 a2 an n2an n 1 求通项 an 2 1 解 因为 a1 又 a1 a2 22 a2 2 1 所以 a2 a3 猜想 n 1 23 1 43 1 132 2 aa 1 1 nn an 证明 1 当 n 1 时 a1 猜想正确 2 假设当 n k 时猜想成立 12 1 当 n k 1 时 由归纳假设及题设 a1 a1 a1 k 1 2 1 ak 1 所以 k k 2 ak 1 1 1 23 1 12 1 kk 即 k k 2 ak 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 kk 所以 k k 2 ak 1 所以 ak 1 1 k k 2 1 1 kk 由数学归纳法可得猜想成立 所以 1 1 nn an 例 3 设 0 a1 n a 1 证明 证明更强的结论 1 an 1 a 1 当 n 1 时 1 a1 1 a 式成立 2 假设 n k 时 式成立 即 1an 又由 an 1 5an 移项 平方得124 2 n a 0 110 2 1 2 1 nnnn aaaa 当 n 2 时 把 式中的 n 换成 n 1 得 即0110 2 11 2 nnnn aaaa 0 110 2 1 2 1 nnnn aaaa 因为 an 1 an 1 所以 式和 式说明 an 1 an 1是方程 x2 10anx 1 0 的两个不等根 由韦 2 n a 达定理得 an 1 an 1 10an n 2 再由 a1 0 a2 1 及 式可知 当 n N 时 an都是整数 3 数列求和法 数列求和法主要有倒写相加 裂项求和法 错项相消法等 例 6 已知 an n 1 2 求 S99 a1 a2 a99 100 24 1 n 解 因为 an a100 n 100 24 1 n100100 24 1 n100100100100 100100 2 1 44 224 4422 nn nn 所以 S99 2 99 2 99 2 1 2 1 101100 99 1 100 n nn aa 例 7 求和 432 1 321 1 n S 2 1 1 nnn 解 一般地 2 1 2 2 2 1 1 kkk kk kkk 2 1 1 1 1 2 1 kkkk 所以 Sn n k kkk 1 2 1 1 2 1 1 1 1 43 1 32 1 32 1 21 1 2 1 nnnn 2 1 1 2 1 2 1 nn 2 1 2 1 4 1 nn 例 8 已知数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 an 1 an Sn为数列的前 n 项和 求证 Sn 2 n n a 2 证明 由递推公式可知 数列 an 前几项为 1 1 2 3 5 8 13 因为 n n n a S 22 8 2 5 2 3 2 2 2 1 2 1 65432 所以 15432 22 5 2 3 2 2 2 1 2 1 n n n a S 由 得 12 2 22 222 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n aa S 所以 1 2 24 1 2 1 2 1 n n nn a SS 又因为 Sn 20 1 2 n n a 所以Sn 所以 4 1 2 1 2 1 n S 2 1 4 1 n S 所以 Sn0 2 2 1 1 x x 由 可知对任意 n N 0 且 2 2 n n x x 2 2 lg2 2 2 lg 1 1 n n n n x x x x 所以是首项为 公比为 2 的等比数列 2 2 lg n n x x 22 22 lg 所以 所以 1 2 2 2 lg n n n x x 22 22 lg 2 2 n n x x 1 2 22 22 n 解得 2 n x 11 11 22 22 22 22 22 22 nn nn 注 本例解法是借助于不动点 具有普遍意义