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数学分析提纲一、实数集与函数二、数列极限1. 数列极限的概念2. 收敛数列的性质（1）(唯一性) 若数列收敛，则它只有一个极限(2)(有界性) 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有(3) (保号性) 若(或0)，则对任何 (或，存在正数，使得当时有(或)(4)(保不等式性) 设与均为收敛数列若存在正数，使得当时，有，则(5)(迫敛性) 设收敛数列都以为极限，数列满足：存在正数，当时有 ，则数列收敛，且3. 数列极限存在的条件（1）单调有界定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限（2）柯西(Cauchy)收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当时有三、函数极限1. 函数极限的概念2. 函数极限的性质在1中我们引入了下述六种类型的函数极限：1) 2) 3)4) 5) 6)下面以第4)种类型的极限为代表叙述并证明这些性质.(1) (唯一性) 若极限存在, 则此极限是唯一的.(2)(局部有界性) 若存在,则在的某空心领域内有界(3)(局部保号性) 若(或),则对任何正数(或),存在 使得对一切有 (或).(4)定理3.5(保不等式性) 设 与 都存在,且在某邻域 内有,则 (5)定理3.6(迫敛性) 设 且在某内有则(6)定理3.7(四则运算法则) 若极限与都存在,则函数当时极限也存在,且1)2)又若,则当时极限存在,且有3)3. 函数极限存在的条件 （1）归结原则：设在内有定义存在的充要条件是：对任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等 （2）单调有界定理 ：相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理现以这种类型为例叙述如下：设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在（3）柯西准则：设函数在内有定义.存在的充要条件是:任给,存在正数,使得对任何有.4. 两个重要极限(1). (2).5. 无穷小量和无穷大量（1）无穷小量 （2）无穷小量阶的比较 （3）等价无穷小代换定理 （4）无穷大量四、函数的连续性1.连续性的概念（1）函数在一点的连续性 （2）间断点及其分类 （3）区间上的连续函数2.连续函数的性质(1)连续函数的局部性质（a）（局部连续性）若函数在点连续，则在点的某邻域内有界。( b)（局部保号性）若函数在点连续，且，则对任意存在某邻域 时，(c)（四则运算性质）若函数则在区间I上有定义，且都在 连续，则（）在点连续。(d)（复合函数的连续性）若函数在点连续，在点连续，则复合函数在点连续。（2） 闭区间上连续函数的基本性质 (a)(最大最小值定理) 若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有最大值与最小值。推论：（有界性）若函数在闭区间上连续，则在闭区间 上有界。 (b)(介值性定理) 若函数在闭区间上连续，且，若为介于之间的任何实数（或）,则在开区间内至少存在一点，使得 .推论（根的存在定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则至少存在一点使得.即在内至少有一个实根.（3） 反函数的连续性（反函数的连续性）若函数在闭区间严格递增（递减）且连续，则其反函数在相应的定义域 （）上递增（递减）且连续。（4） 一致连续性(a)定义（一致连续性）设函数在区间I上有定义，若只要， ，都有 ，则称在区间I上一致连续。(b)（一致连续定理）若函数在闭区间上连续，则在上一致连续。3.初等函数的连续性五、导数和微分1.导数的概念（1）导数的定义（2）导函数（3）导数的几何意义2.求导法则(1) 导数的四则运（2）反函数的导数（3）复合函数的导数3.参变量函数的导数4.高阶导数5.微分(1) 微分的概念（2）微分的运算法则（3）高阶微分（4）微分在近似运算中的作用六、微分中值定理及应用1.拉格朗日中值定理和函数的单调性（1）罗尔定理与拉格朗日定理（2）单调函数2.柯西中值定理和不定式极限（1）柯西中值定理（2）不定式极限3.泰勒公式4.极值和最值（1）极值判别（2）最大值与最小值5.凸性和拐点七、实数的完备性八、不定积分1.不定积分的概念2.积分法九、定积分1.定积分的概念2.牛顿莱布尼茨公式3.可积条件（1）可积的必要条件定理9.2 若函数f在a,b上可积,则f在a,b上必定有界（2）可积的充要条件定理9.3 （可积准则）函数在可积（3）可积函数类定理9.4 若f为a,b上的连续函数,则f在a,b上可积.定理9.5 若f是区间a,b上只有有限个间断点的有界函数，则f在a,b上可积。定理9.6 若f是a,b上的单调函数，则f在a,b上可积。4.定积分的性质（1）定积分的基本性质（2）积分中值定理定理1（积分第一中值定理）若函数在闭区间连续，则至少存在一点，使得.定理2（广义积分第一中值定理）若函数与在闭区间连续，且在不改变符号，则至少存在一点，使得.定理911 (积分第二中值定理) 设函数在上可积.()若函数在上减,且,则存在 ,使 ()若函数在上增,且,则存在 ,使 推论 设函数在上可积, 若函数为单调函数,则存在,使5.微积分学基本定理十、定积分的应用 1.平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线y=f上(x)与y=f下(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成, 则面积元素为f上(x)- f下(x)dx, 于是平面图形的面积为. 类似地, 由左右两条曲线x=j左(y)与x=j右(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为 . 2.立体的体积（1）设立体在x轴的投影区间为a, b, 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截, 截面面积为A(x), 则体积元素为A(x)dx , 立体的体积为 . （2）由曲线直线，及轴所围成的曲边梯形，绕轴旋转一周而生成的立体的体积。取为积分变量，则，对于区间上的任一区间，它所对应的窄曲边梯形绕轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以为底半径，为高的圆柱体体积。即：体积元素为所求的旋转体的体积为3.平面曲线的弧长设函数在区间上具有一阶连续的导数，计算曲线的长度。取为积分变量，则,在上任取一小区间，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度可以用它的弧微分来近似。于是，弧长元素为，弧长为4.旋转曲面的面积设平面光滑曲线C的方程为（不妨设f(x)0），这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，得旋转曲面的面积公式S= 5.物理中的应用十一、反常积分1无穷积分和瑕积分的概念2无穷积分的性质和收敛判别3瑕积分的性质和收敛判别十二、数项级数1.级数的收敛性（1）收敛性判别 （a）定义 （b）级数收敛的柯西准则 （2）收敛级数的性质 2.正项级数（1）部分和数列有界 （2）比较原则 （3）比式判别法 （4）根式判别法 （5）积分判别法3.一般项级数（1）交错级数 （2）一般项级数收敛判别 （a）阿贝尔判别法 （b）狄利克雷判别法 十三、函数列与函数项级数1.一致收敛性（1）函数列及其一致收敛性 （2）函数项级数及其一致收敛性（3）函数项级数一致收敛性判别法2.一致收敛函数列与函数项级数的性质（1）连续性 (2) 可微性 (3)可积性十四、幂级数1.幂级数（1）幂级数的收敛区间 （2）幂级数的一致收敛（3）幂级数在收敛区间上的性质2.函数的幂级数展开十五、傅里叶级数1. 傅里叶级数（1）三角级数（2）以为周期的函数的傅里叶级数（3）收敛定理2.以为周期的函数的展开式（1）.以为周期的函数的傅里叶级数（2）偶函数与奇函数的傅里叶级数3. 收敛定理的证明十六、多元函数的极限和连续1平面点集与多元函数（1）平面点集（2）上的完备性定理（3）二元函数2二元函数的极限（1）二元函数的极限（重极限）（2）累次极限3二元函数的连续性（1）二元函数连续性概念（2）有界闭域上连续函数的性质十七、多元函数微分学1.可微性（1）可微性与全微分（2）偏导数（3）可微性条件（4）可微性几何意义2.复合函数微分法（1）复合函数求导法则（2）复合函数的全微分3.方向导数与梯度4.泰勒公式与极值问题（1）高阶偏导数（2）中值定理和泰勒公式十八、隐函数1隐函数2隐函数组3几何应用4.条件极值十九、含参量积分1. 含参量正常积分2. 含参量反常积分3.欧拉积分二十、曲线积分1第一型曲线积分2第二型曲线积分二十一、重积分1二重积分2.直角坐标系下二重积分的计算3.格林公式定理1 若函数，在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有= （1）这里是区域的边界曲线，并取正方向公式（1）称为格林公式4.二重积分的变量变换5.三重积分二十二、曲面积分1.第一型曲面积分2.第二型曲面积分3.高斯公式与斯托克斯公式定理1 设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数在