2.3 区间估计.doc

3 区间估计问题：未知参数的点估计是取, 事实上只有, 这种估计的近似程度如何?3.1 区间估计概述（1）定义：设母体的分布函数形式已知, 其中是未知参数,是来自的一个子样，给定实数，构造，两个统计量，使得 则称是的置信概率为的置信区间(confidence interval)，和分别为置信下限和置信上限(lower, upper confidence limit)，为置信水平(confidence level)，为置信区间长度.置信水平又称为置信概率或置信度，表示未知参数的真值落入该置信区间的可信程度；置信区间长度体现了估计的精度。例2.3.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量()在正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量5炉铁水，其含碳量分别是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）试以置信概率95对母体均值作区间估计。数学模型：设有正态母体，已知，从母体中抽得子样值，要求以置信概率对母体均值作区间估计。解：的点估计可取为；由抽样分布定理1知 (3.1)称为枢轴量(pivotal statistic).给定置信概率为，则存在，使 (3.2)即亦即于是，的置信概率为的置信区间为.代入数值：，,则，查表知，又由子样值算得，于是，母体均值的置信概率为95的置信区间是（4.269，4.459）.（2）几点说明：区间估计的步骤写出的点估计；找出含有及但不含任何其他未知参数，且分布已知的随机变量作为枢轴量；对于给定置信概率, 写出置信区间表达式；代入数值.为何取对称区间上例中取对称区间时得到置信区间长度为；若取不对称区间，使得，可求得置信区间为，置信区间长度为（图示说明）当取定时，置信概率与置信区间长度的关系置信概率越大时，值越小，越大，从而置信区间长度越大，参数估计的精度越差。相反，置信概率越小时，参数估计的精度越高。对置信区间与置信概率的进一步解释上例得到置信区间，是一个随机区间，随抽样结果的不同而成为不同的数值区间，这些数值区间中有95包含的真值。或理解为每个这样的数值区间包含的真值的概率为95。如抽样获得上例中子样值时，置信区间是（4.269，4.459），此区间包含的真值的概率为95，置信区间长度的一半是0.095，表示用估计的误差范围。3.2 大子样对母体均值的区间估计问题: 设母体的分布是任意的，均存在且未知，从母体中抽大子样，试以概率对母体均值作区间估计。解：的点估计可取为；由中心极限定理知，但其中是未知参数，注意到是的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有以此随机变量作为枢轴量.给定置信概率为，则存在使，即 亦即于是，的置信概率为的置信区间为.例2.3.2 从某台机床加工的零件中取出50个，量其长度，并算得，求的置信概率为的置信区间.解：，属大子样情形。给定置信概率，的置信区间为.这时，查表知，又，从而，于是，母体均值的置信概率为的置信区间是.例2.3.3 现从一批产品中取个样品，得次品个，求次品率的置信概率为的置信区间。解：设母体为从这批产品中任取一个所得的次品数，则，故此问题属大子样情形下对母体均值的区间估计。给定置信概率，的置信区间为.这时，查表知，又，从而，于是，母体均值的置信概率为的置信区间是.3.3 正态母体均值的区间估计例2.3.1中已分析了方差已知时正态母体均值的区间估计，现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。问题：母体,未知,求的置信概率为的置信区间。解: 的点估计可取为；由抽样分布定理2知以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为，则存在，使，即亦即故的置信概率为的置信区间为.例2.3.4 假设铅的比重测量值,如果测量16次，算得，求铅的比重的置信概率为的置信区间。解：此问题属于方差未知时对正态母体均值的区间估计。给定置信概率，的置信区间为.这时，查表知，又，于是母体均值的置信概率为的置信区间是.3.4 大子样对两母体均值之差的区间估计问题：设母体的分布是任意的，均存在且未知，独立地从两母体中抽取大子样，是子样均值，是子样方差，. 试以概率对母体均值之差作区间估计。解：的点估计可取为；由中心极限定理知由两子样独立性知两子样均值独立，故但其中是未知参数，注意到是的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为，则存在，使即亦即于是，的置信概率为的置信区间为 .例2.3.5 甲乙两台机床加工同种零件，分别从甲、乙机床处取个和个零件，量其长度（单位：毫米），算得, , ，求这两台机床加工的零件平均长度之差的置信概率为置信区间。解：设甲、乙机床加工的零件长度为，则平均长度分别为 且，故此问题属于大子样下对两母体均值之差作区间估计。给定置信概率，的置信区间为.这时，查表知，于是置信下限置信上限的置信概率为的置信区间是.3.5 两个正态母体均值之差的区间估计问题：设当时母体，未知，独立地从两母体中抽取子样，是子样均值，是子样方差，试以概率对母体均值之差作区间估计。（1）已知时解：的点估计可取为；由抽样分布定理1知由两子样独立性知两子样均值独立，故以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为，则存在，使即亦即于是，的置信概率为的置信区间为 （2）未知但两母体方差相等时，记解：的点估计可取为；由抽样分布定理3知其中：.以随机变量T为枢轴量.给定置信概率为，则存在，使即亦即于是，的置信概率为的置信区间为 .例2.3.6 甲、乙两台机床加工的同种零件的长度分别满足,，从甲、乙机床加工的零件中分别取出个和个,量其长度（单位：毫米），算得, 在下列两情形下分别求的置信概率为的的置信区间：已知 ； 未知，.解: 两个正态母体方差已知时，枢轴量取为给定,则的置信区间为 这时，故所求置信区间为 两个正态母体中未知时，枢轴量取为其中.给定，则的置信区间为 这时，查表知，又，故所求的置信区间为. 3.6正态母体方差的区间估计问题：设母体,其中均未知,求的置信概率为的置信区间。解: 的点估计可取为；由抽样分布定理2知以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为，则存在和，使即亦即 (3.4)于是的置信概率为的置信区间为.（3.4）式又可改写成 (3.5)于是的置信概率为的置信区间为.例2.3.7 设炮弹速度,其中均未知,取9发炮弹做实验，算得子样方差，求炮弹速度方差和标准差的置信概率为的置信区间。解: 此题属正态母体方差和标准差的区间估计。给定,则的置信区间为，这里, ,查表知 , .于是的置信概率为的置信区间为(5.675,32.199),从而的置信概率为的置信区间为(2.38,5.67).3.7 两个正态总体方差之比的区间估计问题：设当时，母体，均未知，独立地从两母体中抽取子样，是子样方差，试以概率对母体方差之比作区间估计。解：的点估计可取为；由抽样分布定理3知以随机变量F为枢轴量.给定置信概率为，则存在上侧分位数和，使即亦即于是，的置信概率为置信区间为.例2.3.8 设当时母体，均未知，独立地从两母体中抽取容量为9和7的子样，子样方差，试求母体方差之比的置信概率为的区间估计。解：两个正态母体方差之比的置信概率为置信区间为.这时，查表知， ，又，故所求的置信区间为.3.8 单侧置信区间（1）双侧置信区间和单侧置信区间前述问题中，对于未知参数，给出统计量，构成双侧置信区间。但在某些实际问题中，往往只关注未知参数的置信下限或只关注置信上限。例如：对于设备、元件的寿命，希望平均寿命较长，关心的下限，应找的形如的置信区间；对化学药品中杂质的含量、次品率等希望均值较小，只关心上限，应找的形如的置信区间。（2）一般定义设母体的分布函数形式已知, 其中是未知参数,是来自的一个子样，给定实数，若有则称是的单侧置信区间，为单侧置信下限；若有则称是的单侧置信区间，为单侧置信上限。（3）求法（仅举几类情形）正态母体方差未知时，求的单侧置信上、下限求的单侧置信上限总体，均未知，取容量为的子样，分别为子样均值和子样方差，则由抽样分布定理2知以此随机变量为枢轴量。要找使，应找使，如图知可取, 即亦即于是，的单侧置信上限为.求的单侧置信下限要找使，应找使，如图知可取, 即亦即于是，的单侧置信下限为.注意：单侧置信上下限与相应情形下双侧置信上下限之间结论的区别和联系.例2.3.9 为估计制造某种产品所需要的单件平均工时（单位：小时），现制造5件，记录每件所需工时如下：10.5，11.0，11.2，12.5，12.8，设制造单件产品所需要工时，均未知，给定置信概率为，求平均工时的单侧置信上限。解：正态母体方差未知时，的单侧置信上限为.这时，算得，又，查表得，故的单侧置信上限为.大子样时求的单侧置信上限设母体分布是任意的，取容量的子样，为子样标准差，则由中心极限定理知以此随机变量为枢轴量.要找使，应找使，如图知可取, 即亦即于是，的单侧置信上限为.特别，当时，若未知，大子样中有个观测值为1，其余为0，则，给定置信概率，则的单侧置信上限为例2.3.10 现从一批产品中取个样品，得次品个，求次品率的置信概率为的单侧置信上限。解：设母体为从这批产品中任取一个所得的次品数，则于是，未知，属大子样情形，0-1分布母体均值的单侧置信上限为.这时，查表知，又，从而，于是母体均值的置信概率为的单侧置信上限，置信区间是 .正态母体标准差的单侧置信上限枢轴量取作.给定置信概率为，要找 使 应找使 ，如图知可取, 即亦即于是的置信概率为的单侧置信上限为，置信区间为.P81 Ex34 解：正态母体标准差的单侧置信上限为，这里，, ， ，故的单侧置信上限为.P80 Ex27 证明：总体，故，且，又，从而有即以此随机变量为枢轴量.给定置信概率为，则存在，使即亦即于是的置信概率为的置信区间为.例2.3.11 从正态母体中抽取一个大子样，求母体方差的置信概率为的置信区间。解：这里，（1）正态母体方差的置信概率为的置信区间为，故所求置信区间为(120.54,362.80)（2）大子样下，正态母体方差的置信概率为的置信区间为, ，故所求置信区间为(127.04,428.75).两种方法的结果相比，差异较明显。处理原则: 能用精确分布时不用近似分布；能用小子样时不必用大子样；用大子样时，容量较大则偏差较小。补充内容：有关参数估计的MATLAB命令函数名称功能调用格式norminv求的上侧分位数norminv()chi2inv求分布的上侧分位数chi2inv(,n)tinv求分布的上侧分位数tinv(,n)finv求分布的上侧分位数finv(,m,n)mle求最大似然估计值及置信区间phat,pci=mle(dist,x,)1. 正态母体方差已知时,对母体均值的区间估计例2.3.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量()在正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量5炉铁水，其含碳量分别是4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（）试以置信概率95对母体均值作区间估计。x=4.28,4.40,4.42,4.35,4.37; sigma=0.108; alpha=0.05;n=length(x);ci(1)=mean(x)-norminv(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n);ci(2)=mean(x)+norminv(1-alpha/2)*sigma/sqrt(n);cici = 4.2693 4.45872. 正态母体均值、方差的区间估计直接调用函数P78，19（2）x=2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12,2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11;phat,pci=mle(norm,x,0.10)phat = 2.1250 0.0166