4.4函数y=Asin()的图像及应用

4 4函数y Asin x 的图像及应用要点梳理1 用五点法画y Asin x 一个周期内的简图时 要找五个特征点 如下表所示 0 基础知识自主学习 2 函数y sinx的图像经变换得到y Asin x 的图像的步骤如下 以上两种方法的区别 方法一先平移再伸缩 方法二先伸缩再平移 特别注意方法二中的平移量 3 当函数y Asin x A 0 0 x 0 表示一个振动时 A叫做 叫做 叫做 x 叫做 叫做 4 三角函数的图像和性质 振幅 周期 相位 初相 频率 5 三角函数模型的应用 1 根据图像建立解析式或根据解析式作出图像 2 将实际问题抽像为与三角函数有关的简单函数模型 3 利用收集到的数据作出散点图 并根据散点图进行函数拟合 从而得到函数模型 基础自测1 2009 湖南 将函数y sinx的图像向左平移 0 2 个单位后 得到函数的图像 则 等于 A B C D 解析将函数y sinx的图像向左平移 0 2 个单位得到函数y sin x 在A B C D四项中 只有 D 2 为了得到函数x R的图像 只需把函数y 2sinx x R的图像上所有的点 A 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 B 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 C 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 D 向右平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍 纵坐标不变 解析将y 2sinx的图像向左平移个单位得到y 2sin的图像 将y 2sin图像上各点横坐标变为原来的3倍 纵坐标不变 则得到的图像 故选C 答案C 3 已知函数f x asinx bcosx a b为常数 a 0 x R 在处取得最小值 则函数 A 偶函数且它的图像关于点 0 对称 B 偶函数且它的图像关于点对称 C 奇函数且它的图像关于点对称 D 奇函数且它的图像关于点 0 对称 解析据题意 当时 函数取得最小值 由三角函数的图像与性质可知其图像必关于直线对称 故必有故原函数f x asinx acosx 答案D 0 4 将函数y sin4x的图像向左平移个单位 得到y sin 4x 的图像 则 等于 A B C D 解析将函数y sin4x的图像向左平移个单位后得到的图像的解析式为 C 5 2008 浙江 在同一平面直角坐标系中 函数的图像和直线的交点个数是 A 0B 1C 2D 4解析函数图像如图所示 直线与该图像有两个交点 C 题型一作y Asin x 的图像已知函数 1 求它的振幅 周期 初相 2 用 五点法 作出它在一个周期内的图像 3 说明的图像可由y sinx的图像经过怎样的变换而得到 1 由振幅 周期 初相的定义即可解决 2 五点法作图 关键是找出与x相对应的五个点 3 只要看清由谁变换得到谁即可 题型分类深度剖析 解 1 的振幅A 2 周期 X X 方法一把y sinx的图像上所有的点向左平移个单位 得到的图像 再把的图像上的点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到的图像 最后把上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 横坐标不变 即可得到的图像 方法二将y sinx的图像上每一点的横坐标x缩短为原来的倍 纵坐标不变 得到y sin2x的图像 再将y sin2x的图像向左平移个单位 得到的图像 再将的图像上每一点的横坐标保持不变 纵坐标伸长为原来的2倍 得到的图像 1 作三角函数图像的基本方法就是五点法 此法注意在作出一个周期上的简图后 应向两端伸展一下 以示整个定义域上的图像 2 变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移 对于后者可利用来确定平移单位 知能迁移1已知函数 1 用五点法作出函数的图像 2 说明此图像是由y sinx的图像经过怎么样的变化得到的 3 求此函数的振幅 周期和初相 4 求此函数图像的对称轴方程 对称中心 解 1 列表 描点 连线 如图所示 2 方法一 先平移 后伸缩 先把y sinx的图像上所有点向右平移个单位 得到的图像 再把的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 得到的图像 最后将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变 就得到的图像 方法二 先伸缩 后平移 先把y sinx的图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍 纵坐标不变 得到的图像 再把图像上所有的点向右平移个单位 得到的图像 最后将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍 横坐标不变 就得到的图像 题型二求函数y Asin x b的解析式如图为y Asin x 的图像的一段 求其解析式 首先确定A 若以N为五点法作图中的第一个零点 由于此时曲线是先下降后上升 类似于y sinx的图像 所以A0 而可由相位来确定 解方法一以N为第一个零点 方法二由图像知A 1 与 是一致的 由 可得 事实上同样由 也可得 2 由此题两种解法可见 在由图像求解析式时 第一个零点 的确定是重要的 应尽量使A取正值 3 已知函数图像求函数y Asin x A 0 0 的解析式时 常用的解题方法是待定系数法 由图中的最大值或最小值确定A 由周期确定 由适合解析式的点的坐标来确定 但由图像求得的y Asin x A 0 0 的解析式一般不惟一 只有限定 的取值范围 才能得出惟一解 否则 的值不确定 解析式也就不惟一 4 将若干个点代入函数式 可以求得相关待定系数A 这里需要注意的是 要认清选择的点属于 五点 中的哪一个位置点 并能正确代入式中 依据五点列表法原理 点的序号与式子的关系是 第一点 即图像上升时与x轴的交点 为 x 0 第二点 即图像曲线的最高点 为 第三点 即图像下降时与x轴的交点 为 x 第四点 即图像曲线的最低点 为 第五点 为 x 2 知能迁移2 2009 辽宁 已知函数f x Acos x 的图像如图所示 则f 0 A B C D 解析由题意可知 答案C 题型三函数y Asin x 的图像与性质的综合应用 12分 在已知函数f x Asin x x R 其中A 0 0 0 的图像与x轴的交点中 相邻两个交点之间的距离为且图像上一个最低点为 1 求f x 的解析式 2 当时 求f x 的值域 易知T A 2 利用点M在曲线上可求 第 2 问由函数图像易解 关键是将 x 看成一个整体 解 1分 3分 5分 6分 解题示范 认识并理解三角函数的图像与性质是解决此题的关键 图像与x轴的两个相邻交点间的距离即为半个周期 在求函数值域时 由定义域转化成 x 的范围 即把 x 看作一个整体 8分 10分 12分 知能迁移3已知向量a cosx sinx b cosx cosx 若f x a b 1 求函数f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 2 求函数f x 在区间上的值域 解 1 f x a b cos2x sinxcosx 方法与技巧1 五点法作函数图像及函数图像变换问题 1 当明确了函数图像基本特征后 描点法 是作函数图像的快捷方式 运用 五点法 作正 余弦型函数图像时 应取好五个特殊点 并注意曲线的凹凸方向 2 在进行三角函数图像变换时 提倡 先平移 后伸缩 但 先伸缩 后平移 也经常出现在题目中 所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形 切记每一个变换总是对字母x而言 即图像变换要看 变量 起多大变化 而不是 角 变化多少 思想方法感悟提高 2 由图像确定函数解析式由函数y Asin x 的图像确定A 的题型 常常以 五点法 中的第一零点作为突破口 要从图像的升降情况找准第一零点的位置 要善于抓住特殊量和特殊点 3 对称问题函数y Asin x 的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心 经过该图像上坐标为 x A 的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴 这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期 或两个相邻平衡点间的距离 失误与防范1 由函数y sinx x R 的图像经过变换得到函数y Asin x 的图像 在具体问题中 可先平移变换后伸缩变换 也可以先伸缩变换后平移变换 但要注意 先伸缩 后平移时要把x前面的系数提取出来 2 函数y Asin x 的图像和性质是本节考查的重点 也是高考热点 复习时尽可能使用数形结合的思想方法 如求解对称轴 对称中心和单调区间等 3 注意复合形式的三角函数的单调区间的求法 函数y Asin x A 0 0 的单调区间的确定 基本思想是把 x 看做一个整体 在单调性应用方面 比较大小是一类常见的题目 依据是同一区间内函数的单调性 一 选择题1 2009 山东 将函数y sin2x的图像向左平移个单位 再向上平移1个单位 所得图像的函数解析式是 A y 2cos2xB y 2sin2xC D y cos2x解析将函数y sin2x的图像向左平移个单位 得到函数即的图像 再向上平移1个单位 所得图像的函数解析式为y 1 cos2x 2cos2x A 定时检测 2 将函数的图像上各点的纵坐标不变 横坐标伸长到原来的2倍 再向右平移个单位 所得到的图像解析式是 A f x sinxB f x cosxC f x sin4xD f x cos4x解析 A 3 若函数y Asin x m的最大值为4 最小值为0 最小正周期为 直线是其图像的一条对称轴 则它的解析式是 解析 答案D 4 2009 全国 若将函数y tan x 0 的图像向右平移个单位长度后 与函数y tan x 的图像重合 则 的最小值为 A B C D 解析 D 5 电流强度I 安 随时间t 秒 变化的函数I Asin t A 0 0 0 的图像如下图所示 则当秒时 电流强度是 A 5安B 5安C 安D 10安 解析 答案A 6 2009 天津 已知函数f x sin x x R 0 的最小正周期为 为了得到函数g x cos x的图像 只要将y f x 的图像 A 向左平移个单位长度B 向右平移个单位长度C 向左平移个单位长度D 向右平移个单位长度 解析 答案A 二 填空题7 2009 江苏 函数y Asin x A 为常数 A 0 0 在闭区间 0 上的图像如图所示 则 解析由函数y Asin x 的图像可知 3 8 2008 全国 改编 若动直线x a与函数f x sinx和g x cosx的图像分别交于M N两点 则 MN 的最大值为 解析设x a与f x sinx的交点为M a y1 x a与g x cosx的交点为N a y2 则 MN y1 y2 sina cosa 9 若函数f x 2sin x 0 在上单调递增 则 的最大值为 解析 三 解答题10 已知函数f x Asin x b 0 的图像的一部分如图所示 1 求f x 的表达式 2 试写出f x 的对称轴方程 解 1 由图像可知 函数的最大值M 3 11 函数y Asin x A 0 0 的一段图像如图所示 1 求函数y f x 的解析式 2 将函数