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星形线与力学（理论力学教学论文），谢建华，2009-11-13 星形线与力学 谢建华(西南交通大学应用力学与工程系，成都，610031) 摘要：星形线的几何性质用运动学的方法证明比较直观，这些性质在力学和日常生活中有非常有趣的应用。关键词：星形线；几何；运动学；应用1. 星形线如图1，一个小圆在一个固定的大圆内部作纯滚动，如果大圆半径是小圆半径的四倍，那么小圆圆周上任一点的轨迹称为星形线。 图1星形线 图2星形线的性质 设开始时，点与大圆的点相重合，由于弧长等于弧长 ，及，有 , (1)建立直角坐标系，点的坐标为： 或 利用三角公式，上式简化为： (2) 在(2)中消去，得 (3) (2)和(3)即为星形线的方程。如图2，作大圆半径，其中是两圆的接触点，是小圆的直径。过与点作直线，分别交轴和轴于点和点。 由(1)可知 , 所以与都是等腰三角形，故有 (4)及 (5)由于点是小圆的速度瞬心，其上点的速度垂直于，即指向点，于是是星形线的切线。我们得到如下结论：(A) 星形线任一切线被轴和轴所截长度为的线段，切线方程为 (6)(B) 如长度为的线段两端点分别限制在两相互垂直的直线上移动，其包络线是星形线。2.随意平衡问题在一堵光滑铅直的墙面与光滑曲面之间搁置一根长度为的均匀杆，光滑曲面应为什么形状，使杆在任何位置都能平衡？因为杆在任一位置可保持平衡其重心高度为一常值，即重心在同一水平线上，另外杆的端点始终在铅直线上，因此应为星形线，如果坐标系如图3所示，则其方程为： (7) 图3 随意平衡问题 3. 通过问题如图4所示，有一直角过道两边各宽和，问能容许多长的梯子通过？ 图 4 通过问题解法一：梯子如图放置时其长度为 (8)显然容许通过梯子的长度应小于上述函数的最小值，令 (9)解出 (10) ，容易计算出： (11)故 (12) 解法二：星形线方程为 (13) 墙角的坐标为恰好在星形线(7)上，由此条件得到 这时梯子的斜率为 (14) 图 5 如果搬动一张桌子通过一墙角，如果桌子的宽为，如图5(a)所示，那么桌子的长度最大不能超过多少？我们考虑星形线(13)的一个重要性质。令 (15)方程(13)是不变的，即星形线簇 (13)中的曲线(为参数)是关于坐标原点仿射对称的。如果是过坐标原点的射线，与(13)中两条不同的星形线分别交于点和点，那么这两条的星形线在点和点的切线是平行的，并保持不变的距离。根据这些性质，就可以利用前述关于梯子最大长度的结果来导出桌子的最大长度。具体做法：设和分别由(12)和(14)确定，过角点作一条斜角为直线，然后作的平行线，两者距离为。被轴和轴所截线段的长度即为桌子的最大长度。不难算出 (15)特别地，如果,那么 (16)这与4中结果是相同的。4. 公共汽车门开启问题： 图 5公共汽车门开启问题 (a) 开启时间问题图5(a)所示的是公共汽车的折叠式门（俯视），我们来比较其与传统的门6(c)开启时间的快慢问题。设折叠式门的每扇门宽为，质量；而传统的门宽为，质量为。两种门上作用同样的常力矩。对叠式门，点坐标为： (14)叠式门系统的动能： (15)由动能定理： (16)由(16) (17)传统的门图5(c)，门的动能为： (18)动能定理： (19)由(19) (20)由(17) (21)所以叠式门完全开启的时间要比传统的门要少。设参数为：。计算得： (b)开启所占空间问题 我们来讨论公共汽车们开启过程所占空间问题。如图5(a)，在折叠门在开门过程中，直线簇的包络线是星形线，其方程为 (21)由直线簇形成包络线的过程，可知门在空间所占的位置如图中曲线，轴和轴正向所包围的区域(图5(b)，其中星形线的一段()，点的坐标为。将分成，和，其中的面积为： ，而 如果用普通的门（图5(c)），则 折叠门所需的空间只是普通门的倍。参考文献1. V.C. Boltyanskii. Envelopes. Pergamon Press,19642. 施坦豪斯。数学万花筒。湖南教育出版社，19993. H.L.Lamb. Statics. 19124. 朱志平。星形线的性质在两个极值问题中的应用。邯郸师专学报（综合版），1994,1-2期，63-695. 蒋声。形形色色的曲线。上海教育出版社，The Astroid And Mechanics Xie Jianhua ( Department of Applied