半连续格及相容连续偏序集研究.doc

27 半连续格及相容连续偏序集研究符号说明符号 在本文中的含义 页码a a的上集.7a a的下集. .7Dcpo 定向完备偏序集. .7max (P) 偏序集P中的极大点集.7D 定向集D的上确界.7Id(P) 偏序集P中的全体理想.7s(P) 偏序集P上的Scott拓扑.8s*(P) 偏序集P的全体Scott闭集.8l(P) 偏序集P上的Lawson拓扑.8w(P) 偏序集P上的下拓扑.8G(X) 拓扑空间X的所有闭子集.9xy x双小于y或x逼近于y.9x 双小于x的元的集合.9K(P) 偏序集P的紧元集.9Rd(L) 格L中的半素理想集.10xy x半双小于y.10bx 半双小于x的元的集合.10s(L) 格L上的半Scott拓扑.11s(L) 完备格L上的半Lawson拓扑.11xwy x弱双小于y.21wx 弱双小于x的元的集合.21第一章 引言连续格理论及更广的Domain理论来源于两种完全不同的背景1971年, 著名逻辑学家D.Scott因理论计算机的语义问题提出了连续格的概念1在纯数学的研究方面, 七十年代中期, JDLawson, KHHoffman等人在关于紧半格的结构理论研究中, 也发现了连续格和代数格的结构这样, 两种完全不同的背景导致了同一对象的发现, 刺激了该领域的研究后来, 人们推广了连续格的概念, 将其中最关键的way below关系移植到偏序集上得到了连续偏序集的概念 (参见文献2-6).1979年, Lawson给出了连续偏序集的谱理论, 指出任意连续偏序集上的Scott拓扑都是完全分配格2, 从而将连续偏序集、连续格及完全分配格的研究有机地结合起来理论计算机中广泛研究的各种domain则是特殊的连续偏序集, 它们一般具有良好的局部性质, 如主理想是连续格或代数格等从上世纪八十年代开始, 连续domain即连续dcpo逐渐成为domain理论的主要研究对象. 作为这种趋势的一个标志，1994年S.Abramsky和A.Jung在文7中以连续domain为主要对象系统地阐述了经典domain的数学理论.2003年出版的由GGierz等六位作者合著的文献8更是domain理论研究的著名专著随着连续domain在计算机科学和经典数学领域逐渐得到应用，人们对连续domain的研究也不断深入, 目前已经取得了许多深刻而且影响深远的结果(见文献9-15) . 其中, 文10-14研究了完备格(偏序集)理论中的重要概念基和局部基, 并且利用它们成功地刻画了完备格(偏序集)的连续性; 文15给出了dcpo的子dcpo、子空间等概念, 并研究了连续domain的遗传性及不变性.在domain理论中, 拓扑、序、逼近（计算）及逻辑的概念和思想可以互相转化，其中拓扑是非常重要的研究工具, 因而domain理论也吸引了众多格上拓扑学方面的学者的参与.拓扑学是研究几何图形连续性质即在连续变形下保持不变性质的一门学科, 它的起源可以追溯到18世纪欧拉对著名的哥尼斯堡七桥问题的研究. 1847年，高斯的学生 J. B. Listing发表了拓扑学初步，首先引用了拓扑学这一术语. 1852年，F.Guthrie提出的关于四色问题的猜想，对拓扑学的发展起到了进一步的推动作用. 1851年，黎曼在论文几何基础假设中引进了流行的概念，成功解决了可定向闭曲面上的同胚分类问题. 此后，有关拓扑学方面的研究成果逐渐出现. 拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支一个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑, 另一个分支是偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学目前, 点集拓扑学的方法和结果渗透到几乎所有数学分支中，文献16-18等都是点集拓扑学方面的重要文献. 上世纪五十年代末, CEhresmann提出了一种新的观点, 他认为具有某种分配性的格(如完备Heyting代数, 直觉逻辑学者也称之为完备Brouwer格)本身就可作为一种广义拓扑来研究, 而不论其是否可以表示为某一拓扑空间的开集格. 后来的研究表明这种融拓扑结构与序结构于一体的探讨是有特色的, 因其研究方法一般不涉及点的概念, 从而形成了无点化拓扑理论, 也称Locale理论或Frame理论. P.T.Johnstone的专著19和郑崇友等的专著20是这一领域研究工作的总结.连续格理论以及更广的连续偏序集理论集序结构、代数结构、拓扑结构的研究于一体, 取得了丰硕的成果, 并对计算机应用产生了重要影响. 但是, 狭义的Domain理论必须建立在定向完备偏序集的基础上, 因此正如徐罗山教授在文献21中指出的：最基本且结构最丰富的实数集R , 自然数集N 不能作为连续偏序集, 更谈不上连续格. 这在很大程度上限制了连续偏序集理论的实用范围. 所以近年来许多作者试图从不同的角度推广连续格理论这方面工作可参见文献21-36为了推广连续格, Y. Ray首先提出格中半素理想的概念, 并研究了它的一些基本性质24 . D.Zhao利用半素理想, 给出了一种新的关系, 并由此定义了一种新的格半连续格, 且把连续格中的一些性质移植到了半连续格中15 . 目前关于半连续格的研究已经出现较多研究成果(见文献26-30), 其中文26在完备格上引入半Scott拓扑和半Lawson拓扑, 并讨论了半连续格上的半Scott拓扑和半Lawson拓扑的一些基本性质; 文27利用半Scott拓扑给出了半连续格的等价刻画, 并研究了半连续格上的半连续映射; 文28-30将众多连续格的性质移植推广到半连续格上, 逐步扩充了半连续格理论.在上述研究基础之上, 本文将更为深入地研究半连续格我们的研究表明半连续格中若干半素理想的定向并仍为半素理想；半连续格中任一主理想都是半Scott闭集, 且若半连续格中的子集可以表示成某一主理想的补集形式, 则该子集为半Scott拓扑的素元 我们还要在完备格中引入半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画 此外, 本文还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系，并回答了赵彬教授等在这方面提出的一个公开问题相容连续偏序集是连续domain概念的微小推广, 它是由徐罗山教授针对R,N不能作为Domain看待这样一种情况, 结合R, N 的序结构特点引入的 21于是得到不仅R是相容连续偏序集, N是相容代数偏序集, 而且任一相容连续偏序集都紧密联系一个连续偏序集, 即它的定向完备化, 从而有许多良好的性质. 从范畴方面看, 相容连续偏序集范畴还以连续偏序集范畴作为满的反射子范畴.本文针对相容连续偏序集及其定向完备化将展开更深入的研究我们得到的主要结论是：(1)对连续domain P上极大点集max(P)的某真子集A, 有PA是相容连续偏序集；(2)当连续domain P上极大点集max(P)的某子集A的Scott内部是空集时, PA的定向完备化同构于P作为对连续偏序集概念的推广, Mashburn还引入了exact偏序集的概念31, 并讨论了一些基本性质. 文32主要讨论了exact偏序集的乘积和映射性质, 引入了exact偏序集的基的概念, 并研究了exact偏序集的基的性质. 本文也将进一步研究exact偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact偏序集, 每个exact domain对于Scott开集是可遗传的；讨论弱 domain和连续domain的关系, 给出弱domain成为连续domain的判别条件总之, 本文进一步研究了半连续格、相容连续偏序集和exact偏序集上的一些重要问题, 得到了一些重要研究成果, 这充实了连续格与广义domain理论的内容.下面说明本文的结构安排 第一章 引言主要介绍了本文的研究背景, 并简要介绍了本文研究的主要内容 第二章 预备知识主要介绍了后面各章要用的主要定义、定理.第三章 半连续格上的半基和局部半基主要讨论了半连续格上进一步的性质, 并在完备格上引入了半基和局部半基的概念, 研究其基本性质并给出若干等价刻画, 利用半基和局部半基给出半连续格的刻画此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.第四章 相容连续偏序集和弱domain主要针对相容连续偏序集及其定向完备化和exact偏序集做了更进一步研究第二章 预备知识为了后面的引用, 下面给出拓扑空间和Domain理论方面的基本概念和结果, 其他用到而未明确指明的概念请参见文献 8、17 、21 、25 、322. 1 格、偏序集及其理想定义2. 1. 1. 8 设(L, )为偏序集, 其对偶偏序集(L, )记为LOPL的非空子集D称为定向的, 若对任意a, bD, 存在cD使得a, b c.定义2. 1. 2. 8 设P为偏序集, 对任意aP, A P, 记a = b P: a b, a = b P: ba, A = aAa和 A = aAa. 若A = A (A = A), 则称A为上(下)集.定义2. 1. 3. 8设P为偏序集, P的任一定向的下集称为P的一个理想, P的全体理想记为Id(P)对偶地, P OP的理想称为P 的一个滤子, P的全体滤子记为Filt(P)命题2. 1. 4. 设P为偏序集, D为P中定向集, U为P中的上集且DU, 则DU为P中的定向集.证明: 设a, bDU, 只需证存在dDU使得a, b d即可.因为a, bDU, 所以a, bD且a, bU. 因为D为P中定向集, 故存在dD使得a, b d. 又U为上集, 故dU. 即存在dDU使得a, b d原命题得证定义2. 1. 5. 8 设P为一个偏序集, BP, yB若对任意xB有x y, 则称y是B的极大元记max(P)为P的极大点集类似地可定义极小元定义2. 1. 6. 8 设P为偏序集, aP，则a和a分别是P的理想和滤子，称为由a决定的主理想和主滤子.定义2. 1. 7. 8 设P为偏序集, X P, 若对任意xX, 存在aP使x a, 且当x b(bL)时有a b, 则称a为X的最小上界或上确界, 记作supX或X类似的可定义最大下界或下确界, 记作infX或X当P中定向集D 的上确界存在时, 记之为 supD 或D 对于x, yP, 记xy = supx, y, xy = infx, y定义2. 1. 8. 8 设P为偏序集, 称P为定向完备偏序集(dcpo), 若P中任意非空定向集在P中有上确界定义2. 1. 9. 8 设(P, )是一个偏序集, A是P的一个非空子集若A中任两元在关系 下可比, 则称A是全序集或链引理2. 1. 10. (Zorn引理) 8 设P是一个偏序集如果P中每一个链都有上界, 则P中必有极大元命题2. 1. 11. 设P为dcpo, 则P的极大点集max(P)不为空集证明: 作为dcpo, P中任一定向集都有上确界, 故P中任一链有上界由引理2.1.10 (Zorn引理) 得P有极大元, 从而max(P)不为空集定义2. 1. 12. 8 若偏序集L 中任意非空有限集都有交, 则称L 为交半格, 简称半格若L 的任意非空有限集都有并, 则称L 为并半格; 若L 既是交半格又是并半格, 则称L 为格；若L 的任意子集都有并和交, 则称L 为完备格定义2. 1. 13. 8 一个交半格S称为分配的, 如果由ab x可得存在元c, d使a c, b d且x = cd定义2. 1. 14. 8 设P为偏序集，pP，称p为素元，若p = 1或Pp是一个滤子偏序集P的素元全体之集记作PRIME P定义2. 1. 15. 8 设P为偏序集， p P， 称p为一个既约元，如果p是极大元或pp是一个滤子偏序集P的既约元全体之集记作IRR P引理2. 1. 16. 8 在分配交半格L中, p L, p1, 则p是素元当且仅当p是既约元定义2. 1. 17. 8设P，L为偏序集，f：P L为映射如果任意x，yL，x y时有f(x) f(y)，则称f为保序映射 如果f：P L，f-1：L P存在（f即单又满），且f，f-1都保序，则称L与P序同构2. 2 内蕴拓扑定义2. 2. 1. 8 设P是一个偏序集, U P如果U满足条件：(1) U = U = xP：存在uU, u x, 即U是一个上集；(2) 对P的任一定向集D, 当supD存在且supDU时, 有dD使dU, 即UD 则称U为P上的Scott开集P上的Scott开集全体是P上的一个拓扑, 记为s(P), 称为Scott拓扑Scott开集的余集称为Scott闭集, P的全体Scott闭集用s*(P)表示易知, F P为Scott闭集当且仅当F是P的下集且对定向并关闭定义2. 2. 2.8 设P为偏序集，形如Px (xP)的子集作为开子基元生成的拓扑称为P的下拓扑，记为(P)Scott拓扑和下拓扑的最小上界拓扑称为P上的Lawson拓扑，记为l(P)定义2. 2. 3. 8 设X为拓扑空间, A X, 若A, 且对任两个闭集B, C (X), A BC有A B或A C, 则称A为既约集 特别地, 若A为非空闭集, 且满足上述条件, 则称A为既约闭集偏序集P的既约Scott闭集是指拓扑空间（P，s(P)）中的既约闭集引理2. 2. 4. 8 若P为dcpo, 则显然有对任意xP, x是P中既约Scott闭集引理2. 2. 5. 17 设X是一个基础集, A, B X, 则AB = 当且仅当A X-B2. 3 连续偏序集定义2. 3. 1. 8 设P为偏序集，a, bP, 称a way below b,记为a b, 若对P中任一定向集D, 如果supD存在且supD b, 则Da . 对P中任一元x, 记x = uP: u x, x = vP: x v 定义2. 3. 2.8 设P为偏序集, 对任意xP，若xx，则称x为P的紧元，P的全体紧元记为K(P)命题2. 3. 3. 8 设P为偏序集, 对任意x, y, z, uP有：(1) 若x y, 则x y；(2) 若u x y z, 则u z；(3) 若x z且y z, 则只需xy存在就有xy z；(4) 若P有最小元0, 则对任意xP有0 x易见, 具有传递性定义2. 3. 4. 8 设P为偏序集, 如果对任意xP有 x (x K (P) ) 是定向集且x = sup x (x = sup (x K (P) ) )，则称P是连续 (代数)偏序集，连续的dcpo称为Domain，代数的dcpo称为代数Domain，连续(代数)的完备格称为连续(代数)格命题2. 3. 5.8 设P为偏序集, 对任意xP, 若存在Dx, 使supD = x, 则P为连续偏序集 引理2. 3. 6. 8 设P是连续偏序集, x, zL且x zDP定向且supD z, 则存在dD使x d 引理2. 3. 7. 8 在连续偏序集P中, 双小于关系满足下述插入性质： x z ($y)x y z 引理2. 3. 8. 8 设L为连续偏序集, 则对任意xL, x 为Scott开集第三章 半连续格的半基和局部半基 本章在完备格中引入半基和局部半基的概念, 利用它们成功刻画了完备格的半连续性, 还研究了半基和局部半基的一些基本性质并给出了若干等价刻画此外还定义了半连续格的权和特征, 探讨了半连续格的权和特征与其上赋予内蕴拓扑时的拓扑空间的权和特征的关系.3. 1 半连续格与半Scott拓扑 定义3. 1. 1. 25 设L 是格, I L 是理想若对任意x, y, z L, 当xy I, xzI 时有x(yz)I, 则称I 是格L的半素理想用Rd(L)表示L 的全体半素理想之集定义3. 1. 2. 25 设L是完备格, x，yL. 若对任意IRd(L), 当y supI 时, 有xI, 则称x y当x x时, 称x为半紧元记 L的全体半紧元为Kb(L)记b x=yL：y x，b x = yL：x y定义3. 1. 3. 25 设L 是完备格若对任意xL, 有x supbx, 则称L 为半连续格若对任意xL, 有x = supbx, 则称L为强连续格注3. 1. 4. 25 设L 是完备格, 为L 上的way-below 关系则 (1) (2) 对任意 a, b, c, dL. 若a b c d, 则 a d (3) L 是强连续格当且仅当L 是连续格且在L 中 = 当且仅当L 是半连续格且在L 中 = .引理3. 1. 5. 25 设L是半连续格对任意x, yL, 若x y, 则存在zL使x z y命题3. 1. 6. L是半连续格，对任意x，yL，PRd(L)，当x y时，若y supP，则存在 zP 使 x z.证明：由x y以及引理3.1.5可知存在z使得x z y. 若PRd(L) 且y supP，则由定义3.1.2可知zP. 命题得证. 命题3. 1. 7. 设L为半连续格，如果L中的一个理想I可以写成若干个半素理想的定向并，则I为半素理想.证明：设I( )是半素理想，I是L中的理想且I = I对于任意的x，y，zL，xyI且xzI，则存在1，2，使xyI1I，xzI2I. 由I定向知存在使I1, I2 II，故xyI，xzI. 因为I是半素理想，故x(yz)I I，故I是半素理想. 命题3. 1. 8. L是一个完备格， 若对任意xL，都存在半素理想P bx且supP x，则L是半连续格.证明：对任意xL，sup(bx) supP x，由定义3.1.3知L为半连续格.定义3. 1. 9. 26 设L 是完备格, U L称U 是半Scott 开集, 若U 满足：(1) U = U;(2) 对任意IRd(L), 当supIU 时, 有 I U 半Scott 开集的补称为半Scott 闭集.注3. 1. 10. 26 一个集是半Scott闭的 它是下集且对半素理想并封闭命题3. 1. 11. 设L是半连续格，对任意xL， x是半Scott闭集证明：显然x是一个下集，且x是包含x的最小下集，且对定向并封闭由于半素理想是理想，故也是定向集，故x对半素理想并封闭. 由注3.1.10知 x是一个半Scott闭集.定义3. 1. 12. 26 L 中全体半Scott 开集构成一拓扑, 称为半Scott 拓扑, 记为s(L)称 s(L)(L) 为L的半Lawson 拓扑, 记为s(L).注3. 1. 13. 26 设L 是完备格, 则 (L) (L) s(L) 且 (L) (L) s(L)命题3. 1. 14. 设L是半连续格，如果U=La（aL），则U是 ss(L)的素元证明：因为 a是s(L)中的并既约元，故为(L,ss(L)中的既约闭集，则U = L a为(L, ss(L)中的既约开集，由引理2.1.16知U为ss(L)中的素元.3. 2 半连续格的半基定义3. 2. 1. 设L为完备格，BL，若任意xL有如下两条成立：（1） (bxB)是L的半素理想；（2）x sup(bxB)则称B为L的一个半基注3. 2. 2. 设L是半代数格(文27定义1.7)，则半紧元集Kb(L)是L的一个半基命题3. 2. 3. 设L是完备格若B是L的半基，且BB*，则B*也是L的半基证明：只需证对任意xL， (bxB) = (bxB*) 一方面，因为BB*，故bxB bxB*，则 (bxB) (bxB*) 另一方面，对任意y (bxB*)， 有y x且supL(bxB) = sup(bxB) x. 因为B是L的半基， 故(bxB)为L的半素理想， 则由定义3.1.2可知y(bxB) 故(bxB*) (bxB)综上所述： (bxB)= (bxB*)原命题得证引理3. 2. 4. 设L是完备格, xL, 则bx 是L的一个半素理想证明: 对xL, 易见bx为下集对任意a, bbx 由定义3.1.2知对任意半素理想I, 若x supI, 则aI且bI由L为完备格且I为半素理想知abI, 从而ab x, 于是bx为理想 再证bx为半素理想对任意r, s, tL, 若rsbx 且rtbx , 则对任意半素理想I, 当x supI时, 有rsI且rtI由于I为半素理想, 于是r(st) I由定义3.1.2知r(st) x, 即r(st) bx命题3. 2. 5. 设L是完备格, 则L是半连续格当且仅当L存在半基证明: ： 对任意xL, 有bx = (bxL) 故由L是半连续格知x sup (bxL).由引理3.2.4知 (bxL)是L的半素理想再由定义3.2.1知L为其自身的半基：设B是L的一个半基则对任意xL, 有x sup(bxB)由于bxBbx, 所以x sup(bxB) supbx, 由定义3.1.3得L为半连续格命题3. 2. 6. 设 L是完备格, BL则B是L的半基当且仅当对任意xL有 (bxB) Rd(L) 且对任意x, yL, 若yx, 则存在bB,使得bx, by证明: ：若B是L的半基, 则由定义3.2.1可知对任意aL有a sup(baB)对任意x, yL, 若yx, 则sup(byB)x, 从而存在 bbyB 使得bx ：只需证明对任意xL有x sup(bxB)假设存在aL, 使得asup(baB), 则由条件可知存在 bbaB 使得 bsup(baB), 矛盾命题3. 2. 7. 设L是半连续格, BL, 对于下列条件:(1) B是L的一个半基;(2) 任意x, yL, 当yx时, 存在bB使y b x;(3) 任意x, yL, 当yx时, 存在bB使y b x有(1) (2) (3)若L还满足条件 , 则上述三条件等价证明: (1) (2): 由于L是半连续格, 所以对任意x, yL, 若y x, 则由B是L的一个半基知 (bxB)Rd(L)且 x sup(bxB)由定义3.1.2知 y (bxB), 从而存在 bbxB 使得y b, 即存在 bB 使得 y b x (2) (1): 只需证明任意xL, 有 (bxB)Rd(L) 且x sup (bxB)一方面, 对任意 m, n(bxB), 由(bxB) bx 知 m, nbx由引理3.2.4知存在 cbx 使得 m, n c再由条件(2)知存在 bB 使得 c b x注意这里 b(bxB), 于是 (bxB) 是理想对任意r, s, tL, 若rs (bxB) 且 rt (bxB), 则由 (bxB) bx及bx是半素理想得r(st) bx , 从而 r(st) x由条件(2)知存在 bB使得 r(st) bx, 从而 r(st) b (bxB), 于是(bxB)为半素理想另一方面, 对任意ybx, 由条件(2)知存在byB使得y by x于是supbx supby: ybx sup(bxB) sup(bxB)注意到L是半连续格, 所以x supbx, 从而x sup(bxB) 综合可知B为半连续格L的一个半基 (2) (3)：由于L是半连续格, 所以对任意 x, yL, 如果y x, 则存在zL, 使得y z x由条件(2)知存在 bB 使得z b x, 所以y b x 若L还满足条件 , 则(3) (2)的证明是平凡的于是(1) (2) (3)推论3. 2. 8. 设L是强连续格, B L则B是半基当且仅当B是基证明: 由注3.1.4(3), 文10的定理 2 以及上面的命题立即得证由半Scott 拓扑的定义和性质(见文27的定义2.1和定理2.5)容易证明下结论成立定理3. 2. 9. 设L是半连续格, B是L的一个半基, 则U L是半Scott开集当且仅当U = U 且U bb: b (UB)3. 3 半连续格的局部半基定义3. 3. 1. 设L是完备格, x L, B bx. 有如下两条成立: (1) B Rd(L),(2)x supB,则称B为x的一个局部半基由定义3.3.1和定义3.1.3立即可得如下结论定理3. 3. 2. 设L是完备格, 则L是半连续格当且仅当对任意x L, x都有局部半基命题3. 3. 3. 设L是完备格, a L, 则(1) 若 a 有局部半基, 则 b a 是 a 的最大局部半基;(2) 若 a a且 B 是 a 的局部半基, 则a B, 从而B = ba;(3) 若 a a, 则 ba 是 a 的局部半基;(4) 若 b a 且 Ba, Bb 分别是 a, b 的局部半基, 则Bb Ba证明: (1) 设B是a的一个局部半基, 则B ba且a supB supba再由引理3.2.4知ba是半素理想, 从而ba是a的一个局部半基, 且是最大的局部半基(2) 由B是a的局部半基知BRd(L)且a supB于是由aa得aB, 从而ba B ba, 于是B = a(3)由引理3.2.4知ba = (ba)Rd(L)又由a a知a ba, 从而a = supa supba因此 ba 是a的一个局部半基 (4) 由Ba 是 a 的局部半基知 BaRd(L) 且a supBa, 再由Bb是b的局部半基对任意 xBb, 有xb因为b a, 所以x a, 从而xBa因此Bb Ba命题3. 3. 4 设L是半连续格, aL 且B ba, 则 B 是 a 的局部半基当且仅当对任意 cba, 存在 bB 使得 c b证明: : 由B是a的局部半基知BRd(L)且a supB于是对任意 cba, 有cB, 即存在 bB 使得 c b : 若对任意cba, 存在 bB 使得c b, 则supba supB又L是半连续格, 故a supba supB 再证BRd(L)由B ba且baRd(L)知对任意b1, b2B 存在 cba 使得 b1 c且b2 c由条件知存在 bB 使得c b, 于是B是理想再设r, s, tL, 由baRd(L)且B ba知若 rsB且 rtB, 则r(st) ba再由条件知r(st)B因此B是L的半素理想推论3. 3. 5. 设L是强连续格, x L, B bx则B是点x处的局部半基当且仅当B是x的局部基证明: 由注3.1.4(3), 文12的定理 2.3 以及上面的命题立即得证命题3. 3. 6. 设L是半连续格, aL且B ba, 则B是a的局部半基当且仅当BRd(L)且对任意xL, 若ax, 则存在bB使得bx.证明: : 只需证a supB若asupB, 则存在 bB 使得 bsupB ,矛盾! : 若B是a的局部半基, 则由定义3.3.1知 BRd(L)且a supB对任意xL, 若ax, 则supBx, 从而存在 bB使得 bx3. 4 半连续格的权和特征定义3. 4. 1. 设L是半连续格定义Ws(L)=mincardB: B是L的半基, 则称Ws(L)是半连续格L的权例3. 4. 2. (见25) 设L为图1所示的完备格其中L=0, 1a, b, 0, 1是单位区间, a, b是0, 1外的两个不同元定义偏序关系为：(0, a), (a, 1), (0, b), (b, 1)(x, y)|x, y 0, 1且x小于或者等于y则有下列结论成立:(1) L是一个半连续格但不是连续格(2) L中半素理想有且只有0和L, 且对任意xL, 有 bx = (3) Ws(L) W(L, ss(L) 事实上B=0,1是L的半基, 且Ws(L)=2再由s(L) ss(L) 知W(L, ss(L) w0 (其中w0为可数无穷基数), 从而Ws(L) W(L, ss(L)问题1：对任意半连续格L, 是否都有Ws(L) W(L, ss(L)定义3. 4. 3. 设L是半连续格对任意xL, 定义cs(x,L) = mincardBx: Bx是x在L中的局部半基, 则称cs(x,L)是半连续格L中点x的特征定义cs(L)=supcs(x,L): xL, 则称cs(L)是半连续格L的特征例3. 4. 4. 设L是图2所示的完备格, 其中L = 0,1,2,n, , 偏序关系为: n 2 1 0则有下列结论成立:(1) L是强连续格, 从而 = (2) s(L) = ss(L), l (L) = ls(L)(3) cs(L) c(L, ls(L)事实上, 对任意aL, 有a为a的局部半基, 于是 cs(L) = c(L) =1. 但是 (L, ls(L) = (L, l(L) 同构于0,1的子空间1/n: nN*0于是关于l (L)的局部基含有无穷多个元, 从而c(L, ls(L) = w0通过本例可知, 存在连续Domain L, 使得c(L) c(L, l(L)这就回答了文12中所提出的问题2.1问题2：对任意半连续格L, 是否都有cs(L) c(L, ls(L)第四章 相容连续偏序集与弱Domain 本章深入地研究相容连续偏序集的定向完备化, 证明了对连续domain P上极大点集max(P)的某子集A, 当PA不为空集时有PA是相容连续偏序集；证明了当连续domain P上极大点集max(P)的某子集A的Scott内部是空集时, PA的定向完备化同构于P本章还探讨exact偏序集的相关性质,证明每个连续偏序集都是exact偏序集，每个domain均为弱domain；证明exact domain对于Scott开集是可遗传的；证明弱domain为domain的一个充要条件是其中任一元的弱双上集为上集.4. 1相容连续偏序集先了解相容连续偏序集的相关定义定义4. 1. 1. 21 设P为偏序集, D P, 如果(1) D是定向的;(2) 存在pP使得Dp = xP: x p, 则称D为P中的相容定向集定义4. 1. 2. 21 设P是偏序集, P称为相容定向完备偏序集, 如果对于P中每一个相容定向集D, D在P中的最小上界(即上确界)supD存在定义4. 1. 3. 21 设P是一个相容定向完备偏序集. 如果P是一个连续偏序集, 则称P是一个相容连续偏序集引理4. 1. 4. 21 若P是相容定向完备偏序集, 且对任意xP, x都是连续偏序集(相应地: 代数偏序集), 则P是相容连续偏序集(相应地: 相容代数偏序集)定理4. 1. 5. 设P为连续domain, max(P)为P的极大点集若A max(P)使PA不为空集, 则PA是相容连续偏序集证明: 设相容定向集BPA, 则存在pPA使得Bp由P为dcpo得在P中supB存在且supB p而Amax(P), 所以supBA, 从而supBPA, 故supB为B在PA中的上确界, 因此PA是相容定向完备偏序集 设xPA, 下证PAx是连续偏序集 设yPAx, 令U = PAx, 则y PAy Uy U. 由P为domain得y为定向集且y=supy, 从而y为Uy中的定向集且y = supy = supUy由命题2.3.5即得PAx是连续偏序集 综上所述, 由引理4.1.4, 即得PA是相容连续偏序集 引理4. 1. 6. 21 设P是相容定向完备偏序集, s*(P)是P的Scott闭集格又设是P中既约Scott闭集的定向集, 则在s*(P)中的上确界sup= 仍是P中既约Scott闭集, 其中“”是取闭包之意定义4. 1. 7. 21 设P是相容定向完备偏序集令C(P)( s*(P)为P的既约Scott闭集之集, 则C(P)依集合包含序形成一个定向完备偏序集, 称为P的定向完备化定义4. 1. 8. 21 设P是相容连续偏序集, AC(P)为P的既约Scott闭集定义mA = yA：$xA, y x, 集合mA称为A的迹引理4. 1. 9. 21 设P是相容连续偏序集, A为P的既约Scott闭集, 则mA为P的定向下集, 且A = supy：ymA = , 由此得对任意A, BC(P), A B mA mB定理4. 1. 10. 设P为连续domain, max(P)为P的极大点集若A max(P)的Scott内部是空集, 则PA的定向完备化同构于P证明: 我们分如下步骤来完成证明：步骤1 由条件我们先证明s(P)|PA s(PA)设Us(P), 则U是P中的上集, 从而U(PA)是PA中的上集若D是PA的相容定向子集且supPAD U(PA), 则D是P的定向子集且存在xPA使D x, 则supD x断言supDA否则, 若supD = yA, 则y是极大元由y x可得x = yA矛盾!故supD = supPADU由Us(P)得存在dUD, 从而dD(U(PA)因此U(PA) s(PA)故s(P)|PA s(PA)步骤2 证明对任意xA, x x不成立事实上, 若x x成立, 那么由引理2.3.8得x s(P) 因此注意到A是上集, 可得xx intsA , 矛盾! 故x x不成立步骤3 对任意xP, x PA事实上, 当xA时, 显然有xA = 当xA时, 由(1)知xx对任意yx有y xy, 由命题2.3.3(1)知y x, 从而y x A max(P), 因此yA由yx的任意性得xA = 由引理2.2.5得x PA步骤4 证明clPAx为PA中既约Scott闭集事实上，因P是连续domain, 故对任意xP, x为定向集由定理4.1.5知PA是相容连续偏序集由引理2.2.4得对任意yx,