第三章单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动31 阻尼的作用与分类前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。1.干摩擦阻尼：两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N成正比，即符合摩擦定律F=fN，式中f是摩擦系数。2.粘性阻尼：物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即,式中c为粘性阻尼系数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为Ns/cm。物体以较大速度在流体中运动时（如3m/s以上），阻尼将与速度的平方成正比，即，式中b为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。3.结构阻尼、材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。32具有粘性阻尼的自由振动单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x。则物体运动微分方程为式中 ： 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。将上式写成标准形式，为 (a) 令p2=, , 则上式可简化为 (3-1)这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取，其中s是待定常数。代入（3-1）式得 ，要使所有时间内上式都能满足，必须，此即微分方程的特征方程，其解为 （b）于是微分方程（3-1）的通解为 （3-2）式中待定常数c1与c2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式是实数、零、还是虚数。对应的根s1与s2可以是不相等的负实根、相等的负实根或复根。若s1与s2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为cc，即cc2mp。引进一个无量纲的量，称为相对阻尼系数或阻尼比。 （3-3）当np或1,根式是实数，称为过阻尼状态，当np或1，即c2,c1n,或1。利用欧拉公式可将（3-2）式改写为或 （3-4-1）令，则 （3-4-2）式中A与为待定常数，决定于初始条件。设t0时，xx0，则可求得 （3-5）将A与代入（3-4-1）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（3-4-1）可知，系统振动已不再是等幅的简谐振动，而是振幅被限制在曲线之内随时间不断衰减的衰减振动。如图3-3所示。这种衰减振动的固有圆频率、固有频率和周期分别为式中P、f、T是无阻尼自由振动的固有圆频率、固有频率和周期。由上可见，阻尼对自由振动的影响有两个方面：一方面是阻尼使自由振动的周期增大、频率减小，但在一般工程问题中n都比P小得多，属于小阻尼的情况。例=n/p=0.05时，fd=0.9990f，Td=1.00125T；而在=0.20时，fd=0.98f，Td=1.02T，所以在阻尼比较小时，阻尼对系统的固有频率和周期的影响可以略去不计，即可以近似地认为有阻尼自由振动的频率和周期与无阻尼自由振动的频率和周期相等。另一方面，阻尼对于系统振动振幅的影响非常显著，阻尼使振幅随着时间不断衰减，其顺次各个振幅是：t=t1时，A1=Ae-nt1；t=t1+Td时，A2=A；t=t1+2Td时，A3=A，.。而相邻两振幅之比是个常数。即 （3-6）式中称为减幅系数或振幅衰减率，n称为衰减系数，n越大表示阻尼越大，振幅衰减也越快。当0.05时，1.37，A2=A1/1.37=0.73A1，每一个周期内振幅减少27，振幅按几何级数衰减，经过10次振动后，振幅将减小到初值的4.3。可见，衰减是非常显著的。在工程上，通常取（3-6）式的自然对数以避免取指数的不便，即 （3-7）式中称为对数减幅或对数衰减率。将代入，得 （3-8-1）当 1时，放大因子趋近于零，原因是，扰力方向改变很快，振动物体由于惯性来不及跟随，结果是停着不动。3）当扰频与振系的固有频率很近，即/p1，在较小的情况下，振幅B可以很大（即比B0大很多倍），此即共振现象。在共振区附近振幅的大小主要取决于阻尼大小，阻尼越小，振幅越大，在无阻尼的情况下，即=0时，如23节中所提到的那样，振幅将变为无限大，共振振幅（=p时）可由下式求出： 即 B=B0/2=F0/CP （3-18）严格地讲，放大因子或振幅B的最大值，并不是出现在=p时。利用求极值的方法，可求出当时，使强迫振动的振幅有最大值的扰频，即共振频率： （3-19）而共振时的放大率与振幅分别为 ， （3-20）在1时，（3-20）与（3-18）式相差很小，所以通常说在=p时发生共振。为了避免共振，一般在设计机器或结构物时，应使固有频率高于或低于扰频约20%30%。3的影响：由图3-6可以看出，阻尼仅在共振附近一定范围内对降低振幅有显著作用，当阻尼为零时，共振振幅Br趋于无限大，增加阻尼，振幅可以明显下降，在离开共振稍远的范围，阻尼对降低振幅的作用很小，尤其在P时，阻尼几乎没有作用。因此在接近于P的区域必须考虑阻尼的影响。当0.7时，幅频响应曲线变成一平坦的曲线了。这一事实充分说明，阻尼对共振振幅有明显的抑制作用。由式（3-16）可知，强迫振动的相位差与频率比及阻尼比有关。若以为纵坐标，以频率比为横坐标，以阻尼比为参变量，椐（3-16）式可绘成如图3-7所示的曲线，此曲线称为相位频率响应曲线（简称相频响应曲线）。从图中可以看出，始终是正值，故强迫振动的位移总是滞后于激扰力，而且与阻尼比的大小无关。还可看出，若0，则当1时，在90-180之间。若=0，及系统无阻尼存在时相位差与频率 图3-7比的关系就如2-3节中 图2-15所示那样，相位差在=1处有一个突变，即1时，=180。这就是说在p时，强迫振动的位移与激扰力同相；在p时，强迫振动的位移与激扰力反相。即强迫振动的位移在共振点前后出现突然的相位变化。若系统有阻尼存在，则这种相位突然变化的规律渐趋于平稳。当=1时（即共振时）相位差=90与阻尼大小无关，这是共振的一个重要特征。 例3-4 如图3-4所示粘性阻尼振系，质量m、弹簧刚度k及阻尼系数c均为已知，有扰力F=F0sint作用，=P，设在t=0时，x=0、，求运动方程。 解：振动微分方程的通解为（3-14）式。因为=P，系统发生共振，相位差=90，由（3-18）式，B=F0/CP=F0c。故特解为通解为：对时间求导，有）将初始条件代入，有可求得所以，运动方程为例3-5 如图3-4所示振系，物块重980N，弹簧刚度K=900N/cm，阻尼系数C=24Ns/cm，铅垂向扰力F=90sint N，求：（1）在=P时的振幅；（2）使振幅有极大值时的扰频r及Br/B。解：振系的固有频率 1/s ，在=P时， B=cm。使振幅有极大值时扰频为 ，其中 故 振幅的最大值为,例3-6 如图3-8所示的振系在激扰力F0sint作用下，求系统的角振幅。假定杆OA为刚性均质杆，质量为m。解：取角位移为坐标，静平衡位置为原点，顺时针方向为正。根据刚体绕定轴转动的运动微分方程 ，得系统的振动微分方程为 即 将上面方程和方程（3-12）比较，得杆OA在激扰力矩F0Lsint作用下产生简谐振动=Bsin(t-)振幅34偏心质量所引起的强迫振动在旋转机械中，由于偏心质量所引起的强迫振动是极为普遍的现象，以下讨论这类振动现象。具有偏心质量的旋转机械力学模型如图3-9所示，设旋转机械的质量为m，转子的质量为m1,偏心距为e，转动角速度为，弹簧刚度为k，阻尼器阻尼系数为c。现只研究机器在垂直方向的振动。设机器位移为x（从静平衡位置算起，向下为正），偏心质量m1的位移为x+esint，由动量定理，系统的振动方程可写成 即 （3-21）这就是机器在转子离心力作用下的运动微分方程。方程的稳态解为 其中振幅 （3-22）相角 （3-23）引用记号 ，将（3-22）、（3-23）式写成无量纲形式 （3-24） （3-25）（3-24）式中即放大因子。以mB/m1e为纵坐标、为横坐标、为参变量，由式（3-24）做出图3-10。因方程（3-25）与方程（3-16）完全相同，故的曲线与图3-7一样。由式（3-24）、（3-25）及图3-10、图3-7，得到偏心质量所引起的强迫振动特征如下。 1） 当1（1（P） 图3-10时，2趋近于1，质量 （m-m1）的振幅趋近于m1e/m，相角趋近于1800；3）当=1（=P）时，放大因子，质量（m-m1）的振幅B=，相角=900，系统振幅受到阻尼的限制；4）当阻尼很小时，振幅很大，这就是共振现象。35 单盘转子的临界转速工程中的回转机械，如涡轮机、电机等，在运转时经常由于转轴的弹性和转子偏心而发生振动。当转速增至某个特定值时，振幅会突然加大，振动异常激烈，当转速超过这个特定值时，振幅又会很快减小。这种使转子发生激烈振动的特定转速称为临界转速。现以单盘转子为例，说明这种现象。如图3-11所示，在转轴中部有一质量分布不均的圆盘，圆盘的质量为m，重心在G点，几何中心在S点，偏心距e=SG，轴承中心连线穿过圆盘平面的O点。假定转轴的质量忽略不计。当转子静止时，S点与O点重合，转子开始转动后，轴呈弓形变形，轴中点的挠度为OS，这时转子有两种运动，一是转子在轴线弯曲后的绕轴转动，一是弯曲了的轴和轴承中心连线所组成的平面的转动。后一种运动称为“弓状回旋”。弓状回转运动与轴的转向相同或相异，回转的速度可等于或不等于轴的转速。产生这种现象的原因比较复杂。这里只讨论最简单的所谓同步弓状回旋，即上述两种运动的转速相等，均为的情况。取x0y坐标如图所示。以（x、y）表示圆盘几何中心S的位置，则圆盘重心G的坐标为xc（x+ecost）与yc(y+esint)。设轴及其轴承的刚度在x和y方向上均为K，系统的阻尼为粘性阻尼，其阻尼系数为C。由质心运动定理，可写出x和y方向的运动微分方程为 （3-26）将方程（3-26）与方程（3-21）相比较，可得稳态解 （3-27）其中 B= （3-28） （3-29）式中是线段SG比线段OS所超前的相位角。它的大小不仅与系统的阻尼值有关，而且还与转子的转速有关。由（3-27）式，可求得轴的中点的挠度为 （3-30）圆盘在x、y方向作等幅的简谐振动，二者的相位差为/2。因此这两个方向的振动合成后，几何中心 S的轨迹是一个圆，圆心为坐标原点O，半径R=OS=B。 图3-12表示了在三种不同转速情况下圆盘重心G和几何中心S之间的相对位置。从图3-12可以看出，P时，重心G和回转中心O处在几何中心的同侧；在=P时，转轴剧烈“弓状回旋”，回转半径即转轴的横向位移达到最大值为OS=e/2。在不考虑其它因素时，=P即数值上与转轴的横向弯曲振动固有频率相等时的转速即为临界转速，记为c。当1时，振动挠度OS为负值，当时，OSe，这意味着动挠度与偏心距反相。这时轴围绕其重心旋转，重心G与O点重合，称为自动定心。这时转子运动平稳，没有振动。必须指出，临界转速虽然在数值上和转轴横振的固有频率相同，但是“弓状回旋”与横向振动完全是两种不同的物理现象。不转动的轴作横向振动时，轴内产生交变应力。而“弓状回旋”对于转轴来说并不产生交变应力，但转子的离心惯性力却对轴承作用着一个交变力并导致支承系统发生强迫振动，此即临界转速时产生剧烈振动的原因，正因为这样，工程上常将临界转速时支承发生剧烈振动的现象和共振不加区分。36 支承运动引起的强迫振动以上讨论的强迫振动，激扰都是作用在质量上的，但有时激扰却作用在基础上或质量的支承上，再通过弹簧和阻尼器才使质量产生相应的运动。例如地基的振动引起机器的振动，机器的振动引起仪器的振动，汽车驶过不平的路面而产生的振动等。现就图3-13所示的单自由度系统受基础激扰的力学模型，研究支承运动引起的强迫振动。设支承运动，其中a为运动的幅值，为频率。取质量块m研究，其位移以坐标x表示。取系统平衡时m的位置为坐标原点。则当质量块离开平衡位置的距离为x时，弹簧的变形应为xxs，而质量块与支承的相对速度则为，从而在质量块上作用有弹簧恢复力k（x-xS）和阻尼力。按牛顿定律，建立振动微分方程式 （a）或 （3-31）把xS、值代入式（3-31）中，得 （3-32）此式表明，作用在系统质量m上的激扰力由两部分组成：一部分是弹簧传给质量m的力，另一部分是阻尼器传给质量m的力。两者可合成为：其中 ， （b）于是微分方程（3-32）可写成 (3-33)可见，方程（3-33）和方程（3-11）在形式上是一样的。所以方程（3-33）的稳态解可表示为其中振幅B及相角，可应用33节的方法类似地求出为 （3-34） （3-35）若以为横坐标，为纵坐标，为参变量，则可根据（3-34）式作出如图3-14所示的幅频响应曲线。从图可以看出，在时，恒有即无论多大阻尼，系统的振幅B均等于支撑运动的振幅a；当时，振幅B小于支撑运动的振幅a，而且阻尼大的系统比阻尼小的系统的振幅反而要稍大些；当时，强迫振动的振幅趋近于零，这就是说支座的运动并不传递到物体m上，这一特性在研究隔振和测振时是很有用的。 图314以为横坐标，为纵坐标，为参变量，根据（3-35）式做出相频响应曲线，由于用处不太大，这里就不再讨论。 例3-7 小车重4900牛顿，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重物，弹簧刚度K=50牛顿/厘米，轮子的重量与变形略去不计。路面成正弦波形，可以表示为，其中a4厘米，L10米。如图3-15所示。试求小车在以水平速度36公里小时行驶时，车身上下振动的振幅。设阻尼可略去不计。解：小车的固有频率为 1/s设在t=0时，有x=0，则x=t，因而 其中 1/s故小车强迫振动的振幅 cm例3-8惯性测振仪工作示意如图3-16所示。振动物体的运动规律为，求质量m相对于振动物体的振幅y0。已知a=2毫米，251.2弧度秒，0.7，系统的固有频率P62.8弧度秒。解：惯性测振仪工作时，质量m的运动就是图3-13所示的支承运动引起的强迫振动，振动微分方程如式（a）所示，即 质量m相对于振动物体的位移、速度和加速度分别为， ， 将y、代入上式，并注意到，得质量m的相对运动的微分方程式为将上式与（3-21）式比较，可知上面方程的特解可表示为振幅y0的表达式与式（3-22）及（3-34）形式相似，可得 代入数据：a=2毫米，0.7，p4，得从此例及图3-10可以看出，只要在2.5以上，且系统的阻尼足够大（0.650.7）时，y0a。测振仪指针指示的数值就是振动物体的位移，而质量m的位移x0（也就是测振仪工作时，质量几乎不动）。这就是位移计的工作原理。位移计要求本身的固有频率低，从而使p可以足够大，所以位移计是一种低固有频率的仪器。振幅y0可改写成如下形式：式中Aa振动物体加速度幅值。当很小（即p0）时，y0。测振仪指针指示的数值与振动物体的加速度幅值成正比，这就是加速度计的工作原理。加速度计要求本身的固有频率必须比振动物体的频率足够高，从而使p足够小。所以加速度计是一种高固有频率的仪器。必须指出，加速度计的频率适用范围同样受阻尼影响。如以为纵坐标，以为横坐标作曲线，可得与图3-6完全相同的图，只要将以代替。从图中可以看到，在0.650.70时，00.4的范围内接近于1。37 隔振原理机器设备所产生的振动，一方面会影响机器本身的工作精度和使用寿命，甚至引起机器本身结构或零部件的损坏；另一方面也会传给周围的机器设备，使它们也产生振动，伴随振动产生的噪音对人体的健康也是有害的。因此必须很好地研究怎样才能有效地进行振动的隔离。根据振源的不同，一般分为两种性质不同的隔振，即主动隔振和被动隔振。对于本身是振源的机器或结构，为了减小它对周围机器、仪表及建筑物的影响，须将它与地基隔离开来，这种隔振措施称为主动隔振。对于允许振动很小的精密仪器和机器设备，为了避免周围振源对它的影响，须将它与振源隔离开来，这种隔振措施称为被动隔振。主动隔振和被动隔振的原理是相似的，都是把需要隔离的机器安装在合适的弹性装置（隔振器）上，使大部分振动为隔振装置所吸收。图3-17为单自由度隔振系统动力学模型，其中（a）为主动隔振，（b）为被动隔振。图中m为被隔离机器设备的质量，k和c为隔振器的弹簧刚度和阻尼系数。一. 主动隔振振源是机器本身的激扰力F0sint。未隔振时机器与支撑之间是刚性接触（K），故机器传给地基的最大动载荷是F0，在有弹性元件和阻尼元件隔振时，机器传给支撑上的最大动载荷为FT，FT应为通过弹簧及阻尼器传到支撑上的最大动载荷的合力。因为振动位移xBsin(t)，速度，位移与速度之间相位差为900，而弹簧力FKKX，阻尼力FC=C,故最大弹簧力FKmax=KB，最大阻尼力FCmax=CB。因此，它们的合力应为 （3-36）因为 （a）所以 （337）主动隔振的隔振效果用隔振系数（或传递系数）a来表示。a为机器隔振后传给支撑的动载荷FT与未隔振时机器传给支撑的动载荷F0的比值。 （3-38）二. 被动隔离振源是支撑的运动xsasint。此时，机器也将产生强迫振动。其振动微分方程与前述的（3-31）式完全相同。稳态振幅即为（3-34）式，将（3-34）式改写成： （b）与式（3-38）的形式完全一样。被动隔振的效果用机器隔振后的振幅（或振动速度、加速度）与振源振幅（或振动速度、加速度）的比值b来表示，也称隔振系数。由（b）式得 （3-39）可见，当振源是简谐振动时，由（3-38）、（3-39）知，无论是主动隔振还是被动隔振，虽然两者含义不同，但隔振原理与隔振系数是相同的。系数随频率比的变化规律都可用图3-14来表示，只是将纵坐标换成，并有下列一些共同特性：1. 在的区域内，1，无隔振效果，反而将原来的振动放大；2. 不论阻尼大小，在的区域内，1，才有隔振效果；3. 在以后，随着的增加，值逐渐趋近于零。但在5以后，曲线几乎水平，即使采用更好的隔震装置，隔振效率提高有限。实用上选取值在2.55之间足够；4. 当时，随的增大而提高，即在此情况下，阻尼的增大是不利隔振的，反而使隔振效果降低。例3-9机器重10000牛顿，支以弹簧，弹簧刚度K40000牛顿厘米，阻尼比0.20。在转速为2380转分时，不平衡力的幅值F02000牛顿，求此时机器上下振动的振幅、隔振系数以及传至地面的力。解：机器的固有频率为 1/s，即596prm。频率比p23805964.0 由式（a）知：振幅 cm由式（3-39）知：隔振系数 传至地面的力 FT20000.125250N。38 强迫振动过程的能量关系若不计阻尼，自由振动的任意瞬时，系统的动能与势能的和总是等于振动开始时从外界输入的能量。根据机械能守恒定律，动能与势能可以互换，总和不变，从而维持系统的等幅自由振动。在有阻尼的自由振动时，由于阻尼存在，不断消耗能量而导致振幅衰减以致完全停息。在有阻尼的强迫振动中，一方面扰力对振动物体作功，不断向振系输入能量；另一方面系统的阻尼又不断消耗能量。若前者大于后者，振幅将增加。反之，振幅将减小。因此，要维持稳态的强迫振动，激扰力必须持续地作用，即不断对系统作功，向系统输入能量，当每周的能量消耗相等时，振幅将保持常值，系统将进行稳态振动。现在以弹簧质量系统为例，来说明激扰力与阻尼在强迫振动中所作的功的计算方法。假定激扰力与振动都是正弦型的，而阻尼是粘性的。1. 简谐激扰力在一个周期内所作的功（即输入的能量）作用在系统质量块上的简谐扰力为FF0sint，系统作简谐强迫振动xBsin(t)，则扰力在dt时间内所作的元功为，一周期内所作的功为 （3-40）可见，简谐激扰力每周作功的大小不仅决定于力与振幅大小，还决定于两者之间的相位差。在2，即共振时，WF取最大值，等于F0B。2. 阻尼力在一个周期内所作的功（即消耗的能量）振动中粘性阻尼力作负功。它在一周内所作的功，即消耗的能量为 （3-41）可见，阻尼力每周所消耗的能量，除了与阻尼系数及振幅有关外，还与振动频率有关。振动的频率愈高，一周内消耗的能量愈多。一般高频率较之低频振动容易被阻尼衰减就是这个道理。当系统产生稳态强迫振动时，WFWC，由此可得稳态振幅 （3-42）如应用（3-16）式，则由上式不难得到（3-15）式。而当共振时，P，2，则可得BF0CP，这就是（3-18）式。39 等效粘性阻尼在31节中曾提到，在遇到非粘性阻尼时，可用等效粘性阻尼来代替。所谓等效粘性阻尼是指和非粘性阻尼在振动的一个周期中消耗能量相等的阻尼。现根据强迫振动中的能量关系，来将各种非粘性阻尼转化为等效的粘性阻尼。设We为非粘性阻尼在一个周期内所作的功，Wc为等效粘性阻尼在一个周期内作的功，又设把一个非粘性阻尼转化为粘性阻尼后的振动系统，在这个转化了的粘性阻尼作用下所作的振动是谐振动，则由（3-42）式，可得WCCeB2。式中Ce为等效粘性阻尼系数。由等效粘性阻尼概念有WeWCCeB2，由此求得 CeWe/B2 (3-43)We可根据不同阻尼情况计算出来，然后由（3-43）式算出Ce的值。下面来计算几种典型的非粘性阻尼的等效粘性阻尼系数。1. 干摩擦阻尼（库仑阻尼）其阻尼力F一般是个常力，在系统振动过程中F力的大小不变，但方向始终与运动方向相反。在振动的每一个14周期内，阻尼力作功为FB，因此在一个周期内阻尼力所做的功为We=4FB。代入（3-43）式，可得Ce=4B （3-44）2. 流体阻尼当物体在流体（如水、空气）中以较大的速度（大于3米秒）运动时，阻尼力与速度的平方成正比，其方向与速度方向相反，其值可近似表示为，b为常数。假定振动物体位移xBsin(t)则流体阻尼力在一个振动周期内所作之功为代入（3-43）式，得 （3-45）3. 结构阻尼大多数结构材料如金属钢和铝，由于它们自身内摩擦造成的阻尼，称为结构阻尼。实验指出，结构阻尼在每一个周期中消耗的能量We与振动频率无关，而与振幅的平方成正比。所以有We=aB2，式中a为一常数。将We值代入（3-43）式，得 （3-46）4. 多阻尼系统：在系统中存在几种性质不同的阻尼时，可以把它们折算成等效粘性阻尼。设系统中同时起作用的几种性质不同的阻尼在一个周期中所消耗的能量（或所作的功）分别为W1、W2、W3、，则系统阻尼在一周期中所消耗的总能量为Wi，代入（3-43）式，即可求得多阻尼系统的等效粘性系数 （3-47）计算出系统的等效阻尼系数后，就可以将非粘性阻尼系统强迫振动的微分方程写成与粘性阻尼系统强迫振动微分方程相同的形式 （3-48）其特解仍为 其振幅与相位分别为 （3-49） （3-50）310 非简谐周期性激扰力引起的强迫振动前面讨论的是假定作用于振系的激扰（力或支撑运动）都是正弦型的，但在实际的工程问题中常常遇到的是系统受到非简谐的周期激扰力或支撑运动而引起的强迫振动。如图3-18（a）所示系统，当凸轮以角速度绕O轴转动时，推动顶杆I按图中（b）所示的周期性锯齿波规律运动。设系统的等效弹簧刚度KK1K2，则激扰力P（t）K2y就是非简谐周期激扰力函数。对非简谐周期激扰力所引起的强迫振动，可用“谐波分析”法求解。按照非简谐周期函数展开法，非简谐周期激扰力F（t）可展为如下级数形式： （3-51）式中频率2T称为基频，频率为的项称为函数F（t）的基波，频率为2、3、的项称为二次谐波、三次谐波 等等。式中a0、aj、bj为待定常数，其值可由下式确定 (3-52)这样，非简谐周期激扰力作用下的有阻尼强迫振动微分方程可写为 （3-53）上列微分方程的通解由两部分组成，一部分是对应于齐次方程的解，它表示衰减振动；另一部分则为方程（3-53）的特解，它表示一个强迫振动，若只考虑稳态振动，则可将第一部分略去。根据迭加原理，线性系统在激扰力F（t）作用下的效果等于其各次谐波单独作用效果的迭加。因此对方程（3-53）可以根据其右边的每一项分别单独求特解，然后将所有特解迭加，就可得到系统在非简谐周期激扰力作用下的稳态响应。如前所述，单自由度系统在简谐激扰力作用下强迫振动的稳态响应为根据上式，再应用迭加原理就可直接写出在非简谐周期激扰力作用下的稳态响应： （3-54）式中 。当系统阻尼很小时，可忽略不计，此时j=0，则（3-54）式可简化为 （3-55）对于由支承的非简谐周期性运动引起的强迫振动同样可以用上述方法求得。设一有阻尼的弹簧质量系统，如图3-19所示，支承的运动规律为 如前所述，单自由系统在支承运动 作用下的稳态响为 根据上式，再应用迭加原理，也可直接写出系统在非简谐周期性支承运动作用下的稳态响应为 （3-56） 其中 如忽略阻尼，0，j=0，则上式简化为 （3-57）在非简谐周期激扰力作用下，系统也会产生共振，如果谐振频率j中有一个接近或等于P，则相应的j=1，因此方程（3-54）中相应的幅值就会变大。当阻尼较小时，这一点尤为重要。例3-10 如图3-18所示的系统，凸轮每转一圈激扰力可表示为 （），式中A为凸轮的行程，为凸轮的角速度，设A2厘米，21秒，k1k2100牛顿厘米，c5牛顿秒厘米，m=0.5牛顿秒2厘米。求系统的稳态响应。解：将锯齿形变化的激扰力F（t）展成三角级数，各系数由下式计算：式中u=jt 。所以 振动微分方程为或 式中： 都是常量，只起着改变质量静平衡位置的作用，系统对它的响应为 系统对简谐激扰函数项的响应为 式中 系统对F（t）总的响应是x1（t）和x2（t）的迭加：由给定数据 A=2厘米，P2（K1K2）m=2000.5400，p2200.1，cP2mP520.5200.25，代入上式得 311 任意激扰引起的强迫振动在许多工程问题中振系所受的激扰可能是非周期性的任意的时间函数，也可能是在极短时间间隔内的冲击作用（如冲击力，地震波等）。这种随时间任意变化的激扰力无法用谐波分析法来展开。对于这类激扰力作用下的振动，常用的研究方法是将任意激扰看成是一系列脉冲的作用，先分别求出系统对每个脉冲的响应，然后将它们迭加起来就得到系统对任意激扰的响应。这种方法称为卷积积分法。设有一如图3-20（b）所示的任意激扰力F（）（0t），作用在图3-20（a）所示的振系上。在F（）作用下系统的振系微分方程为 （3-58）为了求解方程（3-58），先将F（）看成是由无限多个脉冲所组成，而每个脉冲的宽度均为无限小。设系统原来处于静止，即x0=0,假定在t0时的极短时间间隔d内，系统受到一冲量F（）d的作用，根据动量定理，在d时间间隔内该冲量F（）d使质量m有速度增量 ，将这个速度增量看成系统在时刻处的初始速度。但因d时间很短，系统还来不及产生位移，于是系统在F d作用之后的振动可以按初始位移为零，初始速度为F()dm的有阻尼的自由振动来处理。由式（3-4），可求得在任意时间t时系统的响应为： （3-59）式中： 若脉冲不是作用在t=0时，而是作用在t=时，则相当于把图3-20的坐标原点向右移动。此时（3-59）式改写成 （3-60）这是系统对一个微冲量F d的响应。将在t0和t 之间冲量F（）d的连续作用的所有响应迭加起来，便是系统对任意激扰力F（）的响应。即 （3-61）上式积分称为卷积积分或杜哈美积分。积分时，应注意t是考察位移响应的时刻，是个常量；则是每一个微冲量作用的持续时间，是个变量。（3-61）式就是方程（3-58）的全解，它包括了强迫振动的稳态响应和瞬态响应两部分。假如在t0时，还有初始位移x0和初始速度，为了计及这些影响，只需将公式（3-61）再迭加由初始条件产生的自由振动的解即可。即 （3-62）当不计阻尼（即n0）时，pdp，于是式（3-61）及（3-62）分别简化为 （3-63） （3-64）除非特别指出，通常都假定x0及等于零。例3-11一弹簧质量系统受到一个常力F0突然作用，这个力与时间的关系如图3-21（a）所示。试求系统的响应。解：这种动态载荷称为阶跃函数。先设系统无阻尼，则根据（3-63）式即可求出系统的响应为 （a）式中kmP2，B0F0k为系统的静位移，1cospt为位移响应放大因子。显然，max=2，即系统受常力F0突然作用时，其位移响应的峰值等于F0为静载荷时系统静位移值的两倍，如图3-21（b）所示。若系统有阻尼，则根据（3-61）式可得系统的响应为令 ，则，上式可化为 （b）式中 n=p，称为位移响应放大因子。为了便于比较，下面改用微分方程经典解法将本例解答如下。系统振动微分方程为 （c）方程的特解显然为F0k，全解为 （d）对时间求导得以 x0=0与代入，可得 代入式（d）即得方程（b）。从本例可以看出，求有阻尼振系对任意激扰F（t）的响应时，卷积积分的求积过程一般是比较繁的；当对应于非齐次项F（t）的特解容易求出时，用微分方程经典解法要方便得多。例3-12一无阻尼弹簧质量系统受到如图3-22（a）所示的矩形脉冲F()F0（0t1）作用。试求系统的响