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悬臂梁自振频率分析专业：防灾减灾及防护工程 学号：S201003087 姓名：岳松林图中：， ， 整个悬臂梁的厚度均为。 图1一、解析解第一步，梁的基本情况梁的运动偏微分方程 （1）这里不考虑梁的轴向剪力和粘滞阻尼力，求它的自由振动频率，因而其运动偏微分方程为： （2）由梁的几何物理参数参数（梁高h，材料密度已知）我们可以得到： （3） （4）梁的边界条件：固定端： （5）自由端有刚性质量： （6）其中 （7）第二步，梁的求解 问题转化为偏微分方程的求解（8）令（9） （10）将公式（9）（10）代入（8） （11）该方程目前不能解。应采用能量法，即Rayleigh法一、理论准备基本概念是最大动能等于最大势能。求解多自由度体系比较方便。但是要先假设振型形状函数。比如均质等截面简支梁的真实振型是正弦曲线的形状函数。则计算结果近似度较高。等强度梁，不同位置截面应力相同。所以等强度梁的振型应为抛物线。书中有另外一种表述： vd为重力荷载引起的挠曲线形状。此公式常用于任何类型体系频率的近似分析。 但应考虑梁端的矩形平台及加速度传感器质量的影响。二、具体计算采用 找出重力静载下挠度曲线。梁分为两段。左端为等强度梁，特点是各个截面应力相等；右端为等截面梁，特点是截面不变，抗弯刚度不变。梁重力作用下挠度曲线公式：由可以求出不同区间的。然后代入整个积分求解过程用maple软件计算，具体过程见附件1。解得其基频为：（圆频率）。二、数值模拟梁的尺寸和约束不变，传感器简化为与梁等密度的质量块。用Turegrid建立有限元模型，如图2所示。单元均采用六面体单元。模型共包含50548个节点，38892个单元。 图2采用LS-DYNA软件隐式求解方法进行计算求解，最后得到其基频为：。三、实验测量实验过程中在梁左端压一重物，实现相对固端约束，实验时在梁右边自由端施加一个初始位移，采用DHDAS_5927动态信号采集分析系统采集数据。得到的结构任意一点的振动曲线如图3所示。图3用Origin 7对数据进行FFT变换，得到其幅值-频率曲线，如图4所示。图4在Origin 7中可直接读得其频率（基频）为：四、结论 通过对给定的等强度悬臂梁的理论、数值模拟和实验测量分析，得出此悬臂梁在三中方法下的基频分别为：，（下标表示对应的第种方法）。可见，理论解最大，实验测得的结果最小，理论解和模拟结果的相对误差为:,模拟结果和实验结果的相对误差为：。应该说，三种方法的结果都是对真实解的逼近。理论解中采用Ritz法，形状函数只取到四阶多项式，可能是结果偏大的一个原因；数值模拟方法中为建立有限元模型的便利，将圆柱传感器处理为与梁等密度的质量块，形状和尺寸都有变化，也会产生误差；而实验测量中，不可能做
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