解三角形与三角形全等的判定.doc

第 5 页 共 5 页解三角形与三角形全等的判定继续探讨命题“边边角”江阴市夏港中学 （214442） 恽伟庆关键词：解三角形 三角形全等判定 “边边边”命题内容提要：本文讨论三角形全等的判定方法与解三角形的解数之间的关系，利用解三角形的有关知识说明 “边边角” 命题成立的条件。 A B C图1 我们知道，一般三角形全等的判定方法有“边角边”公理、“角边角”公理、“角角边”定理和“边边边”定理，而命题“角角角”和命题“边边角”不一定成立；而直角三角形全等除了一般三角形全等的判定方法外，还有一个特殊的判定方法“斜边、直角边”定理，这相当于一般三角形的命题“边边角”.中小学数学初中（教师）版2005年第4期刊登了对命题“边边角”的再探讨，2005年第7-8期刊登了也谈对命题“边边角”的再探讨.本人拜读以上两篇文章以后，得益匪浅，顺其思路，继续思考，觉得三角形全等的判定方法与解三角形有些关系，利用解三角形的有关知识说明命题“边边角”成立的条件，尤为方便、清楚.说明如下.问题一ABC中，已知AB、AC的长度，A的大小，解这个三角形.分析：已知三角形的两边和夹角，可以先利用余弦定理求出BC的长度，再利用余弦定理及三角形内角和定理求出B、C的大小.这个问题永有唯一解.也即，如果ABC和ABC中，已知AB= AB，AC= A C， A=A，利用解三角形的知识求得BC=BC， B=B， C=C，所以ABCABC.这样，我们利用解三角形的知识进一步理解了下面的“边角边”公理：如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等.问题二ABC中，已知AB的长度，A、B的大小，解这个三角形.问题三ABC中，已知AB的长度，A、C的大小，解这个三角形.问题四ABC中，已知AB、AC、BC的长度，解这个三角形.问题五RtABC中，C=900，已知AB、AC的长度，解这个直角三角形. A B C图2对于以上四个问题，我们都可以利用正弦定理、余弦定理、三角函数、勾股定理等知识求出它们的解，而且以上四个问题也永有唯一解.（当然，第四个问题中AB、AC、BC必须能组成三角形，满足任何两边之和大于第三边；第五个问题中必须满足ABAC，满足直角三角形的斜边大于直角边.）类似于第一个问题及由其得到的结论，我们可以进一步理解一般三角形全等的判定方法“角边角”公理、“角角边”定理、“边边边”定理和直角三角形全等的特殊判定方法“斜边、直角边”定理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等.如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. A B C 图3对于一般三角形的“边边角”命题，我们知道，比较复杂，不一定成立，先讨论下面的解三角形的问题：问题六ABC中，已知AB、AC的长度，B的大小，解这个三角形.我们分情况来讨论解的个数. A B C 图4 （1）当B为直角，且已知条件能组成三角形，即ABAC时，ABC为直角三角形，如图3所示，问题六有唯一解.由此得到：当“角”为直角时，“边边角”命题成立，其实质为直角三角形全等的特殊判定方法“斜边、直角边”定理.（2）当B为钝角，且已知条件能构成三角形，即ABAC时，如图4所示，由解三角形的知识或几何作图方法可以知道问题六有唯一解.因为B为钝角，所以C为锐角，因此利用正弦定理求C时，C只有一解；再利用三角形内角和定理求出A，A也只有一个解；最后利用余弦定理求出BC，BC只有一个解，所以问题六有唯一一个解.由此得到当“角”为钝角时，“边边角”命题成立.（3）当B为锐角时，问题还比较复杂，我们再分以下四种情况讨论. A B C图5 A B C图6当AC=ABSinB时，可得C=900，ABC为直角三角形，如图5所示，这样，问题六有唯一解.由此得到：如果ABC和ABC中，已知AB=AB，AC=AC， B=B，当AC=ABSinB，那么ABCABC.这一结论意义不大.当ACABSinB时，由正弦定理求C， 图5，.C不存在. 图6ABC也不存在.由几何作图也可知道，符合已知条件的三角形不存在，如图6所示，这样问题六无解.当ABSinBACAB时，由正弦定理求C， A B C C图7，.00C1800.C有两解，其中一个为锐角，一个为钝角，且和为1800.这样再利用内角和定理可以求出A（有二解），最后利用余弦定理求出BC（有二解）. A B C 图8图8由几何作图可知，这两组解都符合已知条件，如图7所示.因此，这时问题六有二解，不是唯一解，解出的二个三角形不全等，其中一个三角形中的C为锐角，另一个三角形中的C为钝角，这两个角的和为1800.由此得到：如果ABC和ABC中，已知AB=AB，AC=AC，当ABSinBACAB时，ABC与ABC不一定全等.所以有下面的结论：如果两个三角形中，有两条不等的边和其中较小的一边所对的角分别对应相等，那么这两个三角形不一定全等.当ABAC时，C有两解.虽然利用正弦定理计算可以求出二个C，其中一个为锐角，另一个为钝角，它们和为1800，但由于ABAC，故得CB，因为B为锐角，所以C一定是锐角，因此，求出的钝角应删去，C只有一解.继续解这个三角形，只能得到唯一一个解，由几何作图也能证实这一点，如图8所示，所以问题六有唯一解.这样，我们得到：如果ABC和ABC中，已知AB=AB，AC=AC， B=B，当ABAC时，ABCABC.一般三角形中的命题“边边角”不一定成立，但是根据以上讨论，我们可以得到一个可行的有条件的“边边角”判定定理： A B C C A B C图9如果两个三角形中，有两条不等的边和其中较大的一边所对的角分别对应相等，那么这两个三角形全等.对于这一定理，下面再给出一个几何证法.如图9所示，已知：在ABC和ABC中，AB=AB，AC=AC，ABBC.在BC边上就可取到一点C1，使得BC1=BC. AB=AB， B=B， BC1=BC，ABC1ABC.AC1=AC.AC=AC，AC1=AC.AC1C=C.AC1CB，CB.ABAC.这与已知条件“ABAC”相矛盾，所以“BCBC”是错误的.BC=BC.ABCABC.类似地，我们也可以得到相应的关于三角形相似的判定定理：如果两个三角形中，有两条不等的边对应成比例并且其中较大的边所对的角也对应相等，那么这两个三角形相似.以上是本人的