浅谈三角形中位线定理的几种证法

浅谈三角形中位线定理的几种证法浅谈三角形中位线定理的几种证法 康园中学校 张瑜 摘要摘要 华师大数学九年级上册第 23 章中 学生学习了三角形中位线定理 对于三角形中位线定理的 证明方法我与学生进行了深入地研究 总结了十种类型的方法 下面将三角形中位线定理的这些证法与大 家共同分享 共有十种不同的类型 动手操作法 相似法 倍长法 平行法 翻折法 作高法 构造法 旋转法 同一法 反证法 关键词关键词 三角形中位线定理 二十八种不同的证法 三角形中位线定理 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 三角形中位线定理 三角形的中位线平行且等于第三边的一半 如图 已知 ABC 中 D E 分别是 AB AC 两边中点 求证 DE BC DE BC 2 1 一 一 类类型一 型一 动动手操作法手操作法 方法方法 1 1 度量法 度量法 华师大初中数学教材的编写是呈螺旋式上升的 七年级和八年级上册重点培养学生的合情推理能 力 即学生的动手操作和简单的说理验证 八年级下册和九年级重点培养学生的演绎推理能力 即 严格地利用定理进行证明 因此运用合情推理 可以采用度量的方法来证明三角形中位线定理 首 先用直尺分别量出 DE BC 的长 看是否满足 DE BC 再用量角器分别量出 ADE 和 B 的度数 看 2 1 是否相等 从而判断是否平行 二 二 类类型一 相似法型一 相似法 方法方法 2 2 相似法一 相似法一 根据 AD AB AE AC DAE BAC 从而得到 ADE ABC 于是 2 1 2 1 ADE ABC DE BC AD AB 1 2 轻松得到 DE BC DE BC 2 1 方法方法 3 3 相似法二 相似法二 过点 D 作 DF AC 于 F 过点 B 作 BG AC 于 G 则 DF BG 于是 ADF ABG 得到 DF BG AF FG 因为 AE EC 所以 FE GC 根据 DF BG FE GC DFE BGC 900 得到 DFE 2 1 2 1 BGC 从而命题得证 3 类类型三 倍型三 倍长长法法 方法方法 4 4 中位线倍长法一 中位线倍长法一 这是常用的方法 也是北师大教材中使用的方法 延长 DE 至 F 使 EF DE 连接 FC 则 ADE A BC DE A BC DE F G F A DE BC F A D E BC F A D E BC G F A D E BC 方法 2方法 3方法 4方法 5方法 6 FEC 则 AD FC 且 AD FC 所以 BD FC 且 BD FC 则四边形 DBCF 是平行四边形 因 DE DF 则 2 1 DE BC DE BC 2 1 方法方法 5 5 中位线倍长法二 中位线倍长法二 延长 DE 至 F 使 EF DE 连接 CF DC AF 则四边形 ADCF 为平行四边形 易知四边形 BCFD 为平 行四边形 从而命题得证 方法方法 6 6 中线倍长法 中线倍长法 连接 BE 延长 BE 至 G 使 EG BE 连接 CG 延长 DE 交 CG 于 F 则 ABE CGE 得到 AD FC 易证四边形 DBCF 是平行四边形 从而命题得证 4 类类型四 平行法型四 平行法 方法方法 7 7 外部平行一边法 外部平行一边法 过 C 作 CF AB 交 DE 的延长线于 F 易证 ADE CFE 得到 DE EF AD CF 从而四边形 BCFD 是平行四边形 从而命题得证 方法方法 8 8 外部平行底边法 外部平行底边法 过 A 作 AF BC 取 BC 中点为 G 连接 GD 延长 GD 交 AF 于 F 则 ADF BDG FD DG AF BG 则 AF GC 则四边形 AFGC 是平行四边形 于是 DG AC DG AC 则四边形 DGCE 是平行四边形 DE BC DE GC 从而命题得证 方法方法 9 9 外部平行中位线法 外部平行中位线法 过 A 作 AF DE AF DE 连接 FE 延长 FE 交 BC 于点 G 则四边形 AFED 是平行四边形 FG AB 从而得到 BG CG AEF CEG 则 BG AF DE GC FE EG AD DB 则四边形 BGED 是平 行四边形 从而命题得证 方法方法 1010 内部平行一边法 内部平行一边法 过 E 作 EF AB 交 BC 于 F 则 CEF CAB 得到 BF FC EF AB AD A FEC 利用 2 1 SAS 可以证明 ADE EFC 得到 DE FC AED C 从而命题得证 5 类类型五 作高法型五 作高法 方法方法 1111 作底边高法 作底边高法 此法是所有方法中最为巧妙也是最为经典的方法 其思路主要是对于初中阶段所学知识的综合运 用 首先回顾与中点有关的知识点 1 全等 2 垂直平分线 3 等腰三角形三线合一 4 直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 这时联想到第 4 个知识点中点但没有直角三角形 就必须 F A D E BC FA DE G BC F A D E GBCF A D E BC 方法 7方法 8方法 9方法 10 构造出来 于是就要作高 过 A 作 AF BC 于 F 连接 DF EF 得到 FD BD DA FE AE EC 利用 SSS 证明 ADE FDE 得到 ADE FDE 再运用三线合一得到 AF DE 再分别作 DM BC 于 F EN BC 于 N 于是四边形 DMFG ENFG DMNE 均为矩形 从而命题得证 方法方法 12 作中位线高法 作中位线高法 分别过点 A B C 向中位线作垂线 垂足分别为 F M N 易知 ADF BDM AEF CEN 则 MD DF NE EF MN 2DE MB NC MB NC 得到四边形 MBCN 为矩形 从而命题得证 七 七 类类型七 构造法型七 构造法 方法方法 13 构造矩形法 构造矩形法 过点 D 作 DF BC 于 F 过点 E 作 EG BC 于 G 过 A 作 MN BC 分别与 FD GE 的延长线交于 M N 则四边形 MFGN 为矩形 MDA FDB NEA GEC 于是 MN FG MD DF NE EG 得到四边 形 DFGE 为矩形 从而命题得证 方法方法 14 构造平行四边形法一 构造平行四边形法一 过点 D E 作 DF EG 分别交 BC 于 F G 过点 A 作 MN EG 分别与 FD GE 的延长线交于 M N 则四边形 MFGN 为平行四边形 与构造矩形法相同原理 从而命题得证 方法方法 15 构造平行四边形法二 构造平行四边形法二 过点 A 作 AF BC 且 AF BC 连接 CF 延长 DE 交 CF 于 G 则四边形 ABCF 为平行四边形 AB FC 得到 ADE CGE 于是 CG AD DB 则四边形 BCGD 为平行四边形 从而命题得证 八 八 类类型八 旋型八 旋转转法法 方法方法 1616 旋转法一 旋转法一 因 AE EC 故可将 ADE 绕点 E 顺时针旋转 1800至 CFE 则 ADE FEC AD FC AD FC 则 BD FC且 BD FC 则四边形 DBCF 是平行四边形 由 DE DF 所以 DE BC DE BC 2 1 2 1 方法方法 1717 旋转法二 旋转法二 因 AE EC 故可将 ABC 绕点 E 顺时针旋转 1800至 CFA 可得到四边形 DBCG 是平行四边形 从 而命题得证 G NF A B C D E M F N A BC DEM F N A BC DE M GF N A BC DE M G F A D E BC G 方法 11方法 12方法 13方法 14 F A D E BC 方法 15 G F A D E BC F A D E BC G 方法 16方法 18方法 19 方法方法 1818 旋转法三 旋转法三 连接 BE 因 AE EC 故可将 ABE 绕点 E 顺时针旋转 1800至 CGE 则 ADE CFE BDE GFE 于是 BD FC BD FC 可得到四边形 DBCF 是平行四边形 从而命题得证 九 九 类类型九 同一法型九 同一法 方法方法 1919 同一法 同一法 过点 D 作 DF BC 交 AC 于 F ADF ABC 得到 AF AC 由已知条件中 AE EC 能够推出 2 1 F 与 E 为同一个点 从而命题得证 十 十 类类型十 反型十 反证证法法 方法方法 2020 反证法一 反证法一 假设 DE 与 BC 不平行 设 DE 与 BC 交于点 F 过点 C 作 CG BD 交 DF 于 G 则 FGC FDB 得 到 GC DB FG FD 1 即 GC DB 根据 CG BD 可知 CEG AED 则 GC AD DB 这与 GC DB 相矛盾 从而命题中的 DE BC 得证 再根据 DE BC 很容易证明 DE BC 2 1 初中数学中的几何变换包括 平移 旋转 轴对称 我把这些方法分成了十种不同的类型 其中运用这三种变换都能达到证明的目的 因为有中点 所以倍长法与作高法和构造法都能构造 全等三角形 并且还能自动生成对顶角 平行法相当于就是把线段进行平移 也能构造全等三角 形 并生成对顶角 因此平行法 倍长法与作高法和构造法都可以转化为旋转 从而顺利地寻找 到证明思路与方法 这些辅助线的作法能互相转化的关键之处就