高二数学专题讲座：排列、组合和概率.doc

高二数学专题讲座：排列、组合和概率基本原理和排列复习内容两个基本原理、排列、排列数公式复习要求1掌握分类计数原理（又称加法原理）和分步计数原理（又称乘法原理），并能运用这两两个基本原理分析和解决一些简单的应用问题.2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.主要内容及典型题例本章的主要内容结构本章内容主要包括排列、组合、二项式定理及概率等内容，其知识结构可归纳为下表：典型题例例1（1）有红、黄、白色旗子各n面（n3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号：可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？（1）解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：升一面旗：共有3种信号；升二面旗：要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有33种信号；升三面旗：有N=333种信号，所以共有39种信号.（2）解法1 计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此互斥的，用加法原理，因此，不同币值有N=+=15（种）评析 1.加法原理和乘法原理这两个基本原理，不仅是推导排列数、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题，两个原理的区别在于前者与分类有关，后者与分步有关.运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），故称之分类计数原理，运用时应注意使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，故称之分步计数原理，运用时应注意正确设计分步的程序，使每步之间既相互联系，又彼此独立.2排列、组合的区别在于顺序性，前者“有序”而后者“无序”；加法原理与乘法原理的区别在于联斥性，前者“斥”互斥独立事件，后者“联”相依事件.因而有“顺序”决“问题”，“联斥”定“原理”的说法.例2一太阳伞的伞蓬由八个区域组成，它由七种不同颜色的面料拼接而成，若恰有一组相对的区域用同一颜色的面料（如图中有小点的区域），问可搭配成颜色排列不同的伞面种数？解 一组相对的同色区域可选用7种颜色，其余6个区域有种不同颜色排列，但如图所示的16和两种排列，其实色彩顺序是一致的，故符合题意的答案是7=2520种.例3 4位学生与2位教师并坐合影留念.（1）教师必须坐在中间；（2）教师不能坐在两端，但要坐在一起；（3）教师不能坐在两端，且不能相邻，各有多少种不同的坐法？（1）解法1 固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来.i) 教师先坐中间，有种方法：ii) 学生再坐其余位置，有种方法. 共有= 48种坐法.解法2 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉.i) 学生坐中间以外的位置：；ii) 教师坐中间位置：.解法3 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.i) 学生并坐照相有种坐法；ii ) 教师插入中间：.解法4 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差.即“A=全体非A ”.i) 6人并坐合影有种坐法；ii)两位教师都不坐中间： (先固定法)；iii) 两位教师中仅一人坐中间；（甲坐中间）（再固定乙不坐中间）2（甲、乙互换）；iv) 作差：（+2）.解法5 等机率法：如果每一元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解.将教师看作1人（捆绑法），问题变成5 并坐照相，共有A55种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的，即教师1人坐中间的坐法有即种.（2）将教师看作1人，问题变成5人坐照相.解法1 从位置着眼，排斥元素教师.先从4位学生中选2人坐两端位置：；其他人再坐余下的3个位置：；教师内部又有种坐法.共有 =144种坐法解法2 从元素着眼，固定位置先将教师定位：；再排学生：.共有种坐法.（3）解 插空法：（先排学生）（教师插空）.评析1. “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分.2对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题 的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的.3关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的.例4 用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：（1）首数是奇数的五位偶数？（2）五位奇数？（3）五位偶数？解 用表示四个位数.（1）按题意，位上只能排1，3，5三个数字，位上能排0，2，4三个数字.这两个条件是相离的（如图1），故用分步骤法，且可不考虑满足这两个了限制条件的顺序. 如：先排位：；次排位：最后排位：.共有=216（个）.（2）位上要求排15个数字；位上要求排1，3，5两个数字，这两个条件是内含的（如图2）.用分步骤法，顺序是先考虑被含条件：先排位：；次排位：；最后排位：（包括零在内）.共有=288（个）. 图1 图2（3）位上要求排15个数字，位上要求排0，2，4，三个数字，这两个条件是相交的（如图3）.这时分步骤法行不通，要用分类（情况）法解之，如从位着眼，分为以下两类：i) 相交部分为一类，即位上以2，4结尾，有个；ii)除相交部分为另一类，这里位只剩下以0结尾一种情况，有个. 符合题意的解为+ =312（个）.评析 带有两个以上限制条件的排列应用题，必须具体分析限制条件的内在联系，坚持先分步后分类的办法求解.练习一、选择题1如图，给地图上、四个区域分别涂上五种不同颜色中的某一种，允许同一颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，那么不同的涂色方法种数为（ ）A180 B 120 C96 D60 2(xm)(xm1)(x9) （x、mN*且xm）用排列数表示是（ ）A B C D35人排成一排照像，若其中甲、乙两人必须排在一起，而丙、丁两人不愿排在一起，则不同的排法共有（ ）A12种 B20种 C24种 D48种4 某停车场有一排相连的12个停车位，今有不同型号的8辆车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）A种 B2种 C8种 D9种5由数字1，2，3，4，5，6等六个数字组成没有重复数字的四位数，按人小到大的顺序排列起来，第119个数是（ ）A1653 B2653 C4653 D265465名男生和2名女生排成一排照相，若男生甲必须站在左端或右端，两名女生必须站在一起，则所有可能的排法种数为（ ）A480 B360 C240 D120二、选择填空用A表示加法原理；B表示乘法原理；C表示既要用加法原理，又要用乘法原理；D表示既不能用加法原理，又不能用乘法原理. 试在7-11题题后的括号内填上适当的字母：7事件P导致事件Q发生，若P发生的方式有m种，Q发生的方式有n种，则计算事件P、Q相继发生的种数（ ）8高二年级的数学小组有15人，无线电小组有12个，航模小组有10人.（1）由这三个小组任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（ ）（2）由这三个小组各选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（ ）9M、N为有限集合，且MN，则计算MN中元素个数（ ）；计算MN中的元素个数（ ）10用0至9十个整数，能组成多少个小于1000，没有重复数字且能被3整除的数（ ）11用1克、2克、3克、4克砝码各一个，可以秤多少种不同的重量（ ）12将3封信投入4个不同的邮筒，有_种不同的投法；4名学生从3个不同的楼梯下楼，有_种不同的下法.13某办公大数有东、西、南三个大门，从一楼到四数，每两层间各有两个楼道，某人从外到四楼办事，再从四楼下来出办公楼，共有_种不同的走法;若下楼返回时不经过进去时所走的门和楼梯，则共有_种不同的走法.144名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，有_种不同的排法.154位学生和2位教师并坐一排合影留念，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，有_种坐法；若教师不能坐两端，且不能相邻，有_种坐法.16将5列火车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一道上，b列车不停在第二道上，则共有_种不同的停车方法.17在一块并列10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法有_种（用数字作答）.四、解答题18同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中得一张别人送出的贺年片，则共有多少种不同的分配方法？19给出0，1，2，3四个数字，试问：（1）可组成多少个自然数？（2）可组成多少人数字不重复的自然数？（3）可组成多少个数字不重复的四位数？（4）可级成多少个数字不重复的四位偶数？20计算（1）（m，nN*，且mn）；（2）解方程：=140;（3）证明：+n=.21从0，1，2，3，4，4，5六个数字中任取其中四个组成四位数.（1）能组成多少个四位数？（2）能组成多个四位偶数？（3）能组成多少个是25的倍数的四位数？（4）有多少个比1234大的四位数？22有一排相连的6个座位，现有3人就座，问恰有两个空位相邻的不同坐法有多少种？23有8名儿童分成两排，每排4人，面对面地坐下，其中有两名儿童既不能面对面，又不能相邻，问共有几种不同的坐法？答案与提示【答案】一、 1A 2B 3C 4D 5B 6A二、7B 8（1）A；（2）B 9D 10C 11A三、1243；34 13576，48 142880 15144；144 1678 1712四、189 19（1）196；（2）49； （3）18； （4）4 20（1）1；（2）x=321（1）300； （2）156； （3）21； （4）2832236 2325920【提示】5以1为首的四位数有=60个，同样地，以2，3，4，5，6为首的四位数也各有60个；故按从小到大顺序排列起来的第120个数是2654，故第119个数是2653.14将4名女生看成一个元素与4名男生先排列，再考虑4名女生之间的顺序可以调换，故有，或（男生先排）15（先排学生）（将2位教师当作一个元素插入A22教师间上换位置）；（先排学生）（教师插入）18甲、乙、丙、丁四人贺年分别记作甲、乙、丙、丁.甲先取，只能从乙、丙、丁三张中任取一张，共有3种取法；若甲抽到的是乙，则再由乙再从剩下的三张中取一张，共有3种取法 ；此时剩下两张丙、丁只有一种取法.故共有33=9种取法.19（1）一位，两位，三位，四位数分别有4，34，344，3444个，（2）一位，二位，三位，四位数分别有，个；（3）；（4）个位数为“0”的四位数有个，个位数为“2”的有20左边=+n=（1+） =右边21（1）；（2）i) 个数为“0”：；ii) 个数为“2”或“4”：；（3） i) 以“50”结尾的有个，ii) 以“25”结尾的有个；（4）i) 以2，3，4，5为首位数的有=240上，ii) 以13起头的数有个，同理以14，15起头的数也分别有=240个，iii)前三位数为124，或125的各有个，iv)比1234大的还有1235，共有+3+2+1=283个.22三个人的全排列有A33种，三人排好后离有5个空档，将两个空住看作一个元素，另一个单独的空位看作一个元素，共2个元素插入上述四个空档，有种插法.23如图，一名儿童坐，号位时，符合题意的坐法有 种，一名儿童坐，号位时，符合题意的坐法有种. 排列、组合复习内容 组合，组合数公式，排列、组合的应用问题。复习要求 1理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质。 2能运用排列、组合的有关知识解决一些简单的应用问题。典型题例例1（1）用组合数定义证明：+=；（2）求证：+=。证 （1）从m+1个元素里每次取出n个元素的所有不同的组合的种数是。它可以看作按某一个元素a为准，把全部组合分成两类：一类是不含a的组合，共种；一类是含a的组合，共有种。所以=+.（2）由（1），=+，= 在试中，依次令k=1，2 ，m.得= ，+又 =累加得 + +=例2某赈灾区医疗队由4名外科医生和8名内科医生组成，现需从中选派5名医生去执行一项任务。（1）若某内科医生必须参加，而某外科医生因故不能参加，有多少种选派方法？（2）若选派的5名医生中至少有1名内科和外科医生参加，有多少中选派方法？解 （1）依题意，只须从剩余的10名医生中选出4名医生与内定的一名内科医生组成医疗队。故共有=210种选派方法。 （2）方法一 5名医生全由内科医生组成，有种方法，故符合题意的方法为=936种； 方法二 我们将内科、外科医生分别当作一组有序实数对的前后两实数，则按题意组队方式可有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）四种，故共有+=736种。评析 某（些）元素“在”与“不在”某个组合中，是带有限制条件的组合问题的基本类型，解这类问题的关键是首先确定哪些元素是选项取的对象，其次是确定所选项元素的个数。例3用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得到多少个四棱锥？解法1 直接法。从四棱锥底面四点着眼，将构成四棱锥的5个顶点的取法分以下四类： 四点取在棱柱底面上：2=50； 四点取在棱柱侧面上：5=30； 四点取在棱柱的对角面上：5=30； 四点取在以一个底面上中的一条对角线和另一底面中与其平行的一边所确定的面上：25=60所以共可组成50+30+30+60=170个四棱锥。解法2 间接法。 在中去掉五点共面和无四点共面的两种情况。前者去掉两底面中的5个顶点：2；后者去掉上底面两个顶点连线与下底面两个顶点连线成异面直线的四个顶点，其个数有44。共有244=170（个）评析 解上述一类组合应用题，关键在于分类，正确的分类应该做到不重不漏。例4 六本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法？（1）分为三堆，每堆2本；（2）分为三堆，一堆1本，堆2本，一堆3本；（3）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人得1本，一人拿2本，一人得3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少得1本。解（1）依题意，每次从书中取2本，共有种取法，但ab,cd,ef;ab,ef,cd;cd,ef,ab;cd,ab,ef;ef,ab,cd;ef,cd,ab.作为三堆书来说，它们是同一种分法。故将6本书分成三堆，每堆2本，应有=15种不同的分法。（2）共有=60种不同的分法。（3）解法1 由（1）先将6本书分成三堆，每堆2本，共有种分法（先分组）；再分给甲、乙、丙三人，有种分法（再分配）。故共有90种不同的分法。解法2 甲先取，有=90种取法。（4）由于谁得1本，2本，3本，并不确定，即得1本书的可以是甲，也可以是乙，也可以是丙。故相当于在（2）的基础上，将三堆书分配给甲、乙、丙三人，故有=360种分法。（5）依题意，可以有如下三种分法：i）2，2，2； ii）1，2，3； iii）1，1，4。iii)的分法有=90种。共有90+360+90=540种方法。 评析 本例属分配问题。解这类问题的基本思路是先分组，再分配，即先组合、后排列。同时注意在分组时，若出现平均分组（即两组元素个数相同）的情况，则要除以组数（即平均分组的数目）的阶乘。若平均分组时各组的元素均为1时，可将这几个组放在最后取，因为它的分法仅一种，如题（5）第iii)种情况：1，1，4。我们可以先从6本书中取4本，有种取法，剩下的两本书，分成1，1两堆，只有一种分法，故共有种分法。类似地，如将8本书分成1，1，1，1，2，2，六组，则有=840种分法。因为剩下的4本书分成4组，每组1本的分法只有1种。例5 （1）分别从4所学校选拨6名报告员，每校至少1人。有多少种不同的选法？ （2）将6名报告员分配到4所学校去做报告，每校至少1人。有多少种不同的分配方法？解（1）稳定送方案有：2，2，1，1；3，1，1，1。对，我们只要从4所学校中选出2所，每校选2人，剩下的2所学校当然是每校选送1人（即一种选拨方式）。有=6种选法。对，只要从4所学校中确定哪1所学校送3人，剩下的也只有一种选法每校选1人。有=6种选法。故共有+=10种选送法。 （2）将6名报告员分配至4所学校去做报告，系分配问题。可先分组、再分配。分组的方案有：各组人数为2，2，1，1。有种分组法；再分到校，有种分配法。共有=1080种分法；各组人数为3，1，1，1。这时共有=480种分法。总共有1560种分法。评析 两小题看以类似，但第（1）小题的选取元素为学校；第（2）小题的选取元素为报告员，解题时要注意区分分组时，组合的对象即元素是什么。练习一、选择题1某班有50名学生，其中有一名正班长，一名副班长，现选派5人参加一个游览活动，其中至少有一名班长（正、副均可）参加，共有几种不同的选法，其中错误的一个是（ ）An=+ B. n=-C. n= D.n=-2.从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数有（ ）A B. 4 C. 2 D. A3.某懂大楼从一楼到二楼的楼梯台阶共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从一楼到二楼用8步走完，则上楼梯的方法有（ ）A45 B.36种 C.28种 D.25种4以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A70个 B.64个 C.58个 D.52个5四面体的顶点和各技中点共10个点，在其中取4个不共点的点，不同的取法共有（ ）A150种 B.147种 C.144种 D.141种63名医生和6名护士被分配到了3所学校体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有（ ）A90种 B.180种 C.270种 D.540种7现有男女生共8人，现从男生中挑选2人，女生中挑选1人，分别参加数学、物理、化学学科竞赛，共有90种不同的选送方法，那么男、女生人数分别是（ ）A男生2人，女生6人 B.男生3人，女生5人C男生5人，女生3人 D.男生6人，女生2人二、填空题8四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种。（用数字作答）9今有登山运动员10人，平均分成两组，其中熟悉道路的4人，每组需分2人，那么不同的分组方法有_种。10从1，2 ，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有_种取法。11一路段AB有10盏路灯，在用电高峰期间，为了节约用电决定关掉其中的任意4盏，但是求这4盏灯中任意两盏却不相邻，且路段AB两端的灯不灭，则不同的灭方法有_种。125男4女共9人，他（她）们的身高各不相同，现排成一排，要求男、女各从高到矮排列（左高右低或左低右高均可），则共有_种不同的排法。13从编号的1，2，3，4的四种不同的种子中选了出三种，在三块不同的土地上试种，每块地上试种一种，其中1号试种，则不同的试种方法有_种。143名飞行员和6名特勤人员分别上了架不同型号的直升飞机执行任务，每机1名飞行员和2名特勤人员，上机的方法共有_ 种。三、解答题15求证：（1）=（2）=+（rm,rn）16100件某产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查，依题意分别求出取法种数：（1）都不是次品；（2）至少有一件次品；（3）不都是次品。17甲、乙、内三人值日，从周一到周六，每人值两天，若甲不值周一，乙不值周六，问可排出多少种不同的值日表？189人组成篮球队，其中7人善打锋，3人善打卫，现选出5人（三锋两卫，且锋分左、中、左；卫分左、右）组队出场，有多少种不同的组队方法？19从6名运动员中选出4人参加4100米接力赛，如果甲不跑第1棒，乙不跑最后一棒，那么共有多少种不同的参赛方法？20从正六棱柱的12个顶点中任取4个共面的点，共有多少种不同的取法？答案与提示【答案】一、1.C 2.C 3.D 4.C 5.D 6.D 7.B二、8144 9.60 10.100 11.5 12.252 13.18 14.540三、16（1）=2555190种； （2）=1366015种（3）=3921015种 17.42 18。900 19.2522069【提示】 3每步一级，只能上到第8级台阶，余2级台阶可分别插入前面0-8级的8个中，有种插法。5从10个点中任取4点，有种取法。其中4点共面的有：四面体四个面上的点，有4个；四面体每条棱上的三点，与对棱的中点，有6个面；由各棱中点组成的八面体EFGHIK中，4点共面的有3个面。符合题意的解为463=141。选D。6。7设男生x人，女生y人（x，yN*）,则依题意有=90，即=15。将选择与逐一代入验证，知B为正确的。8四个小球，依题意分为含2，1，1个球的三组，有种分法，放入三个盒中，有种放法，共有种放法。9将熟悉道路的4人，平均分成两组，有种分法；将剩余6人平均分成两组与之