中考试题“数学化”赏析.doc

中考试题“数学化”赏析罗全民（贵州省遵义市教育局教研室，563000）胡 军（贵州省道真县玉溪镇中心学校 563500） 数学化就是数学地组织现实世界的过程。数学化包括两个方面：一方面是对客观现实数学化，另一方面是对数学本身的数学化。在本年度中考试题中，不少命题专家从应试者的心理承受能力出发，设计出了不少既考查学生对数学核心概念、思想方法的理解及运用水平，又使学生在考试过程中经历数学化的过程，从而提高自身的文化素养和创新意识的试题。1.传承数学文化、让学生体验数学化的科学价值新课标指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。 “是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力”。中考作为一种社会文化现象，必然要从属和服务于社会意识形态和特定的文化结构，必须要承载社会赋予其特定的功能数学化。例1：（2011年温州中考题）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图11）。图12由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成。记图12中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若=10，则的值是 。解析：由题意可知，。又由=10，易得：的值是赏析：勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一。有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它。赵爽的证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。学生通过解此题，进一步体验了形数统一的思想方法，又一次经历了认识勾股定理的数学化过程。受到优秀文化的熏陶，传承了中华民族悠悠五千年文化史。2. 关注问题情境、让学生经历数学化的思维过程在命制中考试题中，如何创设试题情境是一种智慧的挑战。试题情境需要命题教师对教学本身进行周密思考与精心设计，试题情境要学生在应试过程中自己去经历、体会、理解，要有让学生思考的时间和空间，使学生在一个曾经历过的熟悉的背景下，产生一种巨大的无形的导引效应，使自己全身心投入到解决问题的数学化过程活动中，从自己的经验出发，运用属于自己的方式和策略，寻找解决问题的方法，发现和整理属于自己的不同形式的解题策略，经历数学化的过程。例2：（2011年南京市中考题）：问题情境已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设该矩形的长为，周长为，则与的函数关系式为。探索研究我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数的图象性质。 填写下表，在图21中画出函数的图象：1234观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；在求二次函数的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到请你通过配方求函数的最小值。解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案。解析：将表中的值代入中计算可得的值分别为： ，2，。描点并画出函数的图象如图22所示。本题答案不唯一。要根据图象，可得：当时，随增大而减小；当时,随增大而增大；当时函数的最小值为2等。当,即时，函数的最小值为2 当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值为赏析：本题首先提出一个具体的问题情境，即“已知矩形的面积为（为常数，），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？”让学生借鉴已经掌握的研究函数的经验，突出学科结合与高中内容的衔接，先探索函数的图象性质，再解决“问题情境”中提出的问题。其过程就是经历数学化的思维过程。试题注重创造“最近发展区”， 引发学生思考，让学生在思考中体验知识的形成过程，让学生始终处于“思考收获再思考再收获”的这样一种情感体验之中。用睿智的语言加以点化，突现评价的导向功能，从而激发和培养学生的数学化思考，引领学生的思维往纵深发展，保证学生应试过程中在和谐融洽的气氛中按既定目标顺利进行。例3：（2011年盐城中考题）情境观察：将矩形纸片沿对角线剪开，得到和，如图31所示，将的顶点与点重合，并绕点按逆时针方向旋转，使点、在同一条直线上，如图32所示。观察图6可知：与相等的线段是 ， 。问题探究如图33，中，于点，以为直角顶点，分别以、为直角边，向外作等腰和等腰，过点、作射线的垂线，垂足分别为、.。试探究与之间的数量关系，并证明你的结论。拓展延伸如图34，中，于点，分别以、为一边向外作矩形和矩形，射线交于点。若，试探究与之间的数量关系，并说明理。 解析：情境观察：易见与相等的线段是，它们是矩形的对边。问题探究：找一个可能与和都相等的线段。考虑，这用易证，得出。同样考虑，得出，从而得证。拓展延伸：如图35，过点作，垂足分别为、。与问题探究相仿，只不过将全等改为相似，证出，再证，从而得证。赏析：本题是研究性学习问题，在问题设计上层层深入，每一步都为下一步的思维活动打下基础，是一个蕴涵了让学生经历观察、猜测、合情推理、有条理论证的数学化思维过程，考查了基于数学实验的数学问题形的一般思路及探究能力。3、回归教育本原、贴近学生数学化发展需求陶行知先生曾说过：“教育必须做到解放学生的眼睛，让他们亲自看一看；解放学生的大脑，让他们亲自想一想；解放学生的嘴巴，让他们亲自说一说；解放学生的双手，让他们亲自做一做。”我们认为，这是对素质教育的最佳诠释。回归教育本原、贴近学生数学化发展需求，是全面实施数学素质教育的根本所在。中考命题中如何从具体情境中抽象出数学材料，并将获得的材料符号化，体现了数学问题源于教学但高于教学的教学理念，使试题始终散发着“数学味”，促进学生个性得充分发展一直是各地命题专家关注的热点。例4（2011年北京市中考题）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题，如图41，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O。若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，的长度为三边长的三角形的面积。小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC，BD，的长度为三边长的三角形（如图42）。参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：如图43，ABC的三条中线分别为AD，BE，CF。在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；若ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于_。解析：本题画法很多，答案不唯一。如：方法一：如图44，过作的平行线与过作的平行线相交于点，则为所求。方法二：如图45，延长至，使，取的中点。为所求；如图45，由已知易得，要求的面积，需要证的面积等于四边形面积。由知四边形是平行四边形，设与交于，与交于，则，有， （同底且等高）。两式相加可得结果。本题图形的本质特征是：以三角形三条中线为边的三角形面积是原三角形面积的。例5：(2011年绍兴市中考题)数学课上，李老师出示了如下题目。在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图51，试确定线段与的大小关系，并说明理由。小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索结论当点为的中点时，如图51，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“”,“”,“”或“=”）.理由如下：如图52，过点作，交于点。（请你完成以下解答过程）拓展结论，设计新题在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且.若的边长为1，求的长（请你直接写出结果）。解析：解析：由题意易知：由的结论猜想。然后证明此结论。如图52，过点作，交于点。易知是等边三角形，即，。由，得，又已知，所以。所以，即。此时实际上是图形的变式，变式图53时结果是1，变式图54为时结果是3。赏析：此上两题都以范例的形式给出，并在解决问题的过程中暗示解题思路，要求学生在理解的基础上进行迁移运用，再以活动中获得的数学经验与知识解决新问题。其实际是在中考中让学生回归教育的本原，求探索基本图形本质特征，贴近学生数学化发展需。体现了数学问题源于教学但高于教学的教学理念，使试题始终散发着“数学味”。4.立足核心概念、寻求试题考查题功能数学化例6：（2011年遵义市中考题）已知抛物线经过, 两点，且与轴交于点。求抛物线的函数关系式及点的坐标；如图61,连接，在题中的抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；如图62,连接，为线段上任意一点（不与、重合）经过、三点的圆交直线于点，当的面积取得最小值时，求点的坐标（遵义市中考题第27题（压轴题），分值14分，以下简称“题目”）。解析：将A(3,0),B(4,1)代人 得， ，C(0,3) (2)假设存在，分两种情况，如图。连接AC, OA=OC=3, OAC=OCA=45O.过B作BD轴于D，则有BD=1，,BD=AD, DAB=DBA=45O.BAC=180O-45O-45O=90O。ABC是直角三角形. C(0,3)符合条件.P1(0,3)为所求. 当ABP=90O时,过B作BPAC,BP交抛物线于点P. A(3,0),C(0,3)，直线AC的函数关系式为 将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为，由,得，又B(4,1), P2(-1,6). 综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6). 另解当ABP=90O时, 过B作BPAC,BP交抛物线于点P. A(3,0),C(0,3)，直线AC的函数关系式为，将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.则直线BP的函数关系式为。点P在直线上，又在上.设点P为，解得P1(-1,6), P2(4,1)(舍) ，综上所述,存在两点P1(0,3), P2(-1,6).(3) OAE=OAF=45O,而OEF=OAF=45O,OFE=OAE=45O,OEF=OFE=45O, OE=OF, EOF=90O，点E在线段AC上,设E，=，= =当时, 取最小值,此时,赏析：试题尽可能从学生的心理承受力出发，在考查学生对数学核心概念、思想方法的理解和应用水平的过程中，使他们感受到数学的数学的魅力，体会到应用数学的价值。学生在解题过程中出现了多种解题思路，有的学生运用到课外知识，拓宽学生的思考空间，体现了试题的筛选优秀学生选拨功能，具有较好的数学教育价值。学生要正确解出此题，要迈过三道坎：第一道坎求该抛物线的函数关系式及点的坐标 ，起点较低，多数学生能迈过；第二道坎求点的坐标要分类讨论，从“以AB为直角边”条件中谨慎分析出A、B分别为