正弦定理和余弦定理

第七节正弦定理和余弦定理 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 正弦定理 2R R是 ABC外接圆的半径 2 余弦定理 在 ABC中 有a2 b2 c2 在 ABC中 有 cosA cosB cosC b2 c2 2bccosA c2 a2 2cacosB a2 b2 2abcosC 3 在 ABC中 已知a b和A时 三角形解的情况 一解 两解 一解 一解 无解 2 必备结论教材提炼记一记 1 三角形的内角和定理 在 ABC中 A B C 其变式有 A B 等 2 三角形中的三角函数关系 sin A B cos A B sin cos C sinC cosC 3 正弦定理的公式变形 a b c sinA sinB sinC sinA sinB sinC 2RsinA 2RsinB 2RsinC a b c 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 代入法 边角转化法 2 数学思想 数形结合 分类讨论 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立 2 三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等 3 已知两边及其夹角求第三边 用余弦定理 4 在 ABC的六个元素中 已知任意三个元素可求其他元素 5 在 ABC中 若sinA sinB 则A B 解析 1 正确 由正弦定理和余弦定理的证明过程可知 它们对任意三角形都成立 2 错误 由正弦定理可知该结论错误 3 正确 由余弦定理可知该结论正确 4 错误 当已知三个角时不能求三边 5 正确 由正弦定理知sinA sinB 由sinA sinB得a b 即A B 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5P8T2 1 改编 在 ABC中 已知a 5 b 7 c 8 则A C A 90 B 120 C 135 D 150 解析 选B 先求B cosB 因为0 B 180 所以B 60 故A C 120 2 必修5P4T1 2 改编 在 ABC中 已知A 60 B 75 c 20 则a 解析 C 180 A B 180 60 75 45 由正弦定理 得答案 10 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 湖北高考 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 已知A a 1 b 则B 解析 依题意 由正弦定理知得出sinB 由于0 B 所以B 答案 2 2014 福建高考 在 ABC中 A 60 AC 2 BC 则AB等于 解析 由余弦定理BC2 AB2 AC2 2AB AC cosA 得3 AB2 4 2 2AB cos60 即AB2 2AB 1 0 解得AB 1 答案 1 考点1正弦定理的应用 典例1 1 在 ABC中 已知a 2 b A 45 则满足条件的三角形有 A 一个B 两个C 0个D 无法确定 2 2014 广东高考 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 已知bcosC ccosB 2b 则 3 2015 吉林模拟 如图 在 ABC中 AB AC 2 BC 2 点D在BC边上 ADC 75 则AD的长为 解题提示 1 利用正弦定理计算 2 利用正弦定理化边为角 利用三角恒等变换进行化简 3 根据等腰三角形三线合一的性质求出角B 再利用正弦定理求解 规范解答 1 选B 由正弦定理 得sinB 因为b a 所以B 60 或120 故满足条件的三角形有两个 2 由正弦定理得 sinBcosC sinCcosB 2sinB 所以sin B C 2sinB sin A 2sinB 即sinA 2sinB 再由正弦定理得a 2b 所以 2 答案 2 3 过点A作AE BC 垂足为E 则在Rt ABE中 在 ABD中 ADB 180 ADC 180 75 105 由正弦定理得AD 答案 一题多解 解答本例 1 2 你还有其他方法吗 1 选B 数形结合法 如图 CD sin45 又a 2 b 所以CD a b 故满足条件的三角形有两个 2 如图 作AD BC于点D 则a BC BD DC ccosB bcosC 2b 即 2 答案 2 规律方法 1 正弦定理的应用技巧 1 求边 利用公式或其他相应变形公式求解 2 求角 先求出正弦值 再求角 即利用公式sinA 或其他相应变形公式求解 3 相同的元素归到等号的一边 即可应用这些公式解决边或角的比例关系问题 2 判断三角形解的个数的两种方法 1 代数法 根据大边对大角的性质 三角形内角和公式 正弦函数的值域等判断 2 几何图形法 根据条件画出图形 通过图形直观判断解的个数 变式训练 2015 三门峡模拟 已知在 ABC中 a x b 2 B 45 若三角形有两解 则x的取值范围是 A x 2B x2且xsin45 2 所以2 x 2 加固训练 1 在 ABC中 a 10 B 60 C 45 则c等于 A 10 B 10 1 C 1D 10 解析 选B A 180 B C 180 60 45 75 由正弦定理 得 2 2015 绵阳模拟 在锐角 ABC中 角A B所对的边分别为a b 若2asinB b 则角A 解析 由正弦定理得2sinA sinB sinB 又sinB 0 故sinA 又0 A 90 所以A 60 答案 60 3 2015 黄山模拟 若 ABC的三内角A B C满足A C 2B 且最大边为最小边的2倍 则三角形三内角之比为 解析 因为A C 2B 不妨设A B C B 因为A B C 所以B B B 所以B 再设最小边为a 则最大边为2a 由正弦定理得即sincos cossin 2 sincos cossin 所以tan 所以三内角分别为它们的比为1 2 3 答案 1 2 3 考点2余弦定理的应用 典例2 1 2015 青岛模拟 已知锐角三角形的边长分别为1 3 x 则x的取值范围是 A 8 x 10B 2 x C 2 x 10D x 8 2 2015 咸阳模拟 在 ABC中 三个内角A B C所对的边分别为a b c 若 a b c a b c bc 0 则A 3 2014 辽宁高考 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且a c 已知 2 cosB b 3 求 a和c的值 cos B C 的值 解题提示 1 使大边的对角是锐角 其余弦值大于0 列不等式组求解 2 已知三边的关系求角用余弦定理 3 利用向量运算及余弦定理找等量关系求解 利用已知条件求sinB cosC sinC 代入公式求值 规范解答 1 选B 因为3 1 所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可 故又因为x 0 所以 2 因为 a b c a b c bc a2 b c 2 bc a2 b2 c2 bc 0 所以a2 b2 c2 bc cosA 又A 0 所以A 答案 3 由 cacosB 2 所以ac 6 又由b 3及余弦定理得b2 a2 c2 2accosB 所以a2 c2 13 因为a c 解得a 3 c 2 由a 3 b 3 c 2得cosC sinC 由cosB 得sinB 所以cos B C cosBcosC sinBsinC 互动探究 对于本例 2 若 ABC的三边a b c满足a2 b2 c2 则A 解析 由余弦定理 得cosA 因为A 0 所以A 答案 规律方法 1 利用余弦定理解三角形的步骤 2 利用余弦定理判断三角形的形状在 ABC中 c是最大的边 若c2a2 b2 则 ABC是钝角三角形 提醒 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形 可用正弦定理 也可用余弦定理 用正弦定理时 需判断其解的个数 用余弦定理时 可根据一元二次方程根的情况判断解的个数 变式训练 2015 合肥模拟 设 ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c 若b c 2a 3sinA 5sinB 则角C 解析 选B 因为3sinA 5sinB 所以由正弦定理可得3a 5b 所以a 因为b c 2a 所以c 所以cosC 因为C 0 所以C 加固训练 1 在 ABC中 若a b c 3 5 7 则这个三角形中最大内角为 A 60 B 90 C 120 D 150 解析 选C 令a 3x b 5x c 7x x 0 则c为最大边 角C为三角形中最大内角 由余弦定理 得cosC 所以C 120 2 在 ABC中 C 60 a b c分别为角A B C的对边 则 解析 因为C 60 所以a2 b2 c2 ab 所以a2 b2 ab c2 等式两边都加上ac bc 整理得 a2 ac b2 bc b c a c 所以答案 1 考点3正 余弦定理的综合应用知 考情利用正 余弦定理求三角形中的边和角 判断三角形的形状是高考的重要考向 常与三角恒等变换相结合 以选择题 填空题 解答题的形式出现 以后两种题型为主 明 角度命题角度1 综合利用正 余弦定理求角 或其正 余弦值 典例3 2014 天津高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别是a b c 已知b c a 2sinB 3sinC 则cosA的值为 解题提示 利用正弦定理化角为边 解方程组得边的关系 然后利用余弦定理求cosA的值 规范解答 因为2sinB 3sinC 所以2b 3c 又b c a 解得b a 2c 所以cosA 答案 命题角度2 判断三角形的形状 典例4 2013 陕西高考改编 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若bcosC ccosB asinA 且sin2B sin2C 则 ABC的形状为 A 等腰三角形B 锐角三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 解题提示 由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断 规范解答 选D 因为bcosC ccosB asinA 所以由正弦定理得sinBcosC sinCcosB sin2A 所以sin B C sin2A sinA sin2A sinA 1 即A 又因为sin2B sin2C 所以由正弦定理得b2 c2 即b c 故 ABC为等腰直角三角形 命题角度3 综合利用正 余弦定理求边长 典例5 2014 湖南高考 如图 在平面四边形ABCD中 AD 1 CD 2 AC 1 求cos CAD的值 2 若cos BAD sin CBA 求BC的长 解题提示 利用余弦定理和正弦定理求解 规范解答 1 在 ADC中 由余弦定理 得cos CAD 2 设 BAC 则 BAD CAD 因为cos CAD cos BAD 所以sin CAD 悟 技法1 综合利用正 余弦定理求边和角的步骤 1 根据已知的边和角画出相应的图形 并在图中标出 2 结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解 提醒 在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的运用 2 判断三角形形状的方法若已知条件中有边又有角 则 1 化边 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 化角 通过三角恒等变形 得出内角的关系 从而判断三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 通 一类1 2013 山东高考 ABC的内角A B C的对边分别是a b c 若B 2A a 1 b 则c A 2B 2C D 1 解析 选B 由B 2A 则sinB sin2A 由正弦定理知即所以cosA 所以A B 2A 所以C B A 所以c2 a2 b2 1 3 4 故c 2 2 2015 锦州模拟 在 ABC中 cos2 a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形状为 A 等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形或直角三角形D 等腰直角三角形 解析 选B 因为cos2 所以2cos2所以cosB 所以所以c2 a2 b2 所以 ABC为直角三角形 3 2015 开封模拟 如图 ABC中 已知点D在BC边上 满足 0 sin BAC AB 3 BD 1 求AD的长 2 求cosC 解析 1 因为所以AD AC 所以sin BAC sin BAD cos BAD 因为sin BAC 所以cos BAD 在 ABD中 由余弦定理可知BD2 AB2 AD2 2AB ADcos BAD 即AD2 8AD 15 0 解之得AD 5或AD 3 由于AB AD 所以AD 3 2 在 ABD中 由正弦定理可知又由cos BAD 可知sin BAD 所以sin ADB 因为 ADB DAC C DAC 所以cosC 规范解答4正 余弦定理在三角形计算中的应用 典例 12分 2014 天津高考 在 ABC中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知a c b sinB sinC 1 求cosA的值 2 求cos 2A 的值 解题导思研读信息快速破题 规范解答阅卷标准体会规范 1 在 ABC中 由及sinB sinC 可得b c 2分又由a c b 有a 2c 4分所以cosA 7分 2 在 ABC中 由cosA 可得sinA 8分于是 cos2A 2cos2A 1 9分sin2A 2sinA cosA 10分所以 高考状元满分心得把握