勾股定理培优讲义

精品文档 1欢迎下载 c b a H G F E D C BA b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D CB A 勾股定理知识点汇总勾股定理知识点汇总 1 1 基础知识点 基础知识点 勾股定理 勾股定理 直角三角形直角三角形两两直角边的平方和直角边的平方和等于等于斜边的平方斜边的平方 表示方法 如果直角三角形的两直角边分别为如果直角三角形的两直角边分别为 斜边为 斜边为 那么 那么abc 222 abc 勾股定理的证明勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 常见方法如下 方法一 化简可证 4 EFGH SSS 正方形正方形ABC D 22 1 4 2 abbac 方法二 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积 与小正方形面积的和为 大正方形面积为 22 1 42 2 Sabcabc 222 2Sabaabb 所以 222 abc 方法三 化简得证 1 2 Sabab 梯形 2 11 2S2 22 ADEABE SSabc 梯形 222 abc 勾股定理的适用范围勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系 它只适用于直角三角形它只适用于直角三角形 对于锐角三角 形和钝角三角形的三边就不具有这一特征 勾股定理的应用勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长 求第三边在中 则 ABC 90C 22 cab 22 bca 22 acb 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 如果三角形三边长如果三角形三边长 满足满足 那么这个三角形是直角三角形 其中 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜边 为斜边 abc 222 abc c 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数转化为形 来确定三 角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和与较长边的平方作比较 若它们相 22 ab 2 c 等时 以 为三边的三角形是直角三角形 abc 若 时 以 为三边的三角形是钝角三角形 若 时 以 为三边 222 abc abc 222 abc abc 的三角形是锐角三角形 定理中 及只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长 满abc 222 abc abc 足 那么以 为三边的三角形是直角三角形 但是为斜边 222 acb abcb 该定理在应用时 同学们要注意处理好如下几个要点 该定理在应用时 同学们要注意处理好如下几个要点 已知的条件 某三角形的三条边的长度已知的条件 某三角形的三条边的长度 满足的条件 最大边的平方满足的条件 最大边的平方 最小边的平方最小边的平方 中间边的平方中间边的平方 得到的结论 这个三角形是直角三角形 并且最大边的对角是直角得到的结论 这个三角形是直角三角形 并且最大边的对角是直角 如果不满足条件 就说明这个三角形不是直角三角形 如果不满足条件 就说明这个三角形不是直角三角形 勾股数勾股数 满足满足 a a2 2 b b2 2 c c2 2的三个正整数 称为勾股数 的三个正整数 称为勾股数 注意 注意 勾股数必须是正整数 不能是分数或小数 勾股数必须是正整数 不能是分数或小数 一组勾股数扩大相同的正整数倍后 仍是勾股数 常见勾股数有 一组勾股数扩大相同的正整数倍后 仍是勾股数 常见勾股数有 3 3 4 4 5 5 5 5 1212 1313 6 6 8 8 1010 7 7 2424 2525 8 8 1515 1717 9 9 1212 1515 用含字母的代数式表示用含字母的代数式表示组勾股数 组勾股数 为正整数 为正整数 n 22 1 2 1nn n 2 n n 精品文档 2欢迎下载 为正整数 为正整数 为正整数 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 2222 2 mnmn mn mn mn 勾股定理的应用 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾 股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角三角形中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理 进行计算 应设法添加辅助线 通常作垂线 通常作垂线 构造直角三角形 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行求解 勾股定理逆定理的应用勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形 在具体推算 过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比 较而得到错误的结论 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理 判定一个三角形是直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者相辅相成 完成对问题的解决 常见图形 A B C 30 D C BA A DB C 1010 互逆命题的概念 互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互逆命题 如果把其中 一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 经过证明被确认正确的命题叫做定理 如果一个定理的的逆命题经过证明是正确的 它也是一个定理 称这两个定理互为逆定理 考点剖析考点剖析 精品文档 3欢迎下载 考点一 利用勾股定理求面积考点一 利用勾股定理求面积 1 求阴影部分面积 1 阴影部分是正方形 2 阴影部分是长方形 3 阴影部分是半圆 2 如图 以 Rt ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆 试探索三个半圆的面积之间的 关系 3 如图所示 分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形 其面积分别是 S1 S2 S3 则它们之间的关系是 A S1 S2 S3 B S1 S2 S3 C S2 S31 那么它的斜边长是 1n 2 A 2n B n 1 C n2 1 D 1n 2 S3 S2 S1 精品文档 4欢迎下载 7 在 Rt ABC 中 a b c 为三边长 则下列关系中正确的是 A B C D 以上都有可能 222 abc 222 acb 222 cba 8 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24B 36 C 48D 60 2 cm 2 cm 2 cm 2 cm 9 已知 x y 为正数 且 x2 4 y2 3 2 0 如果以 x y 的长为直角边作一个直角三角形 那么以这个直 角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A 5B 25 C 7D 15 考点三 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高考点三 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例 如图 1 所示 等腰中 是底边上的高 若 求 AD 的长 ABC 的面积 考点四 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角的问题考点四 勾股数的应用 利用勾股定理逆定理判断三角形的形状 最大 最小角的问题 1 下列各组数据中的三个数 可作为三边长构成直角三角形的是 A 4 5 6 B 2 3 4 C 11 12 13 D 8 15 17 2 若线段 a b c 组成直角三角形 则它们的比为 A 2 3 4 B 3 4 6 C 5 12 13 D 4 6 7 3 下面的三角形中 ABC 中 C A B ABC 中 A B C 1 2 3 ABC 中 a b c 3 4 5 ABC 中 三边长分别为 8 15 17 其中是直角三角形的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 若三角形的三边之比为 则这个三角形一定是 21 1 22 A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 不等边三角形 5 已知 a b c 为 ABC 三边 且满足 a2 b2 a2 b2 c2 0 则它的形状为 A 直角三角形B 等腰三角形 C 等腰直角三角形D 等腰三角形或直角三角形 6 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 得到的三角形是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 7 若 ABC 的三边长 a b c 满足试判断 ABC 的形状 222 abc20012a16b20c 8 ABC 的两边分别为 5 12 另一边为奇数 且 a b c 是 3 的倍数 则 c 应为 此三角形为 例 3 求 1 若三角形三条边的长分别是 7 24 25 则这个三角形的最大内角是 度 精品文档 5欢迎下载 2 已知三角形三边的比为 1 2 则其最小角为 3 考点五考点五 应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题 某楼梯的侧面视图如图 3 所示 其中米 因某种 活动要求铺设红色地毯 则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 面积为 考点六 利用列方程求线段的长 方程思想 考点六 利用列方程求线段的长 方程思想 小强想知道学校旗杆的高 他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米 当他把绳子的下端拉开 5 米后 发 现下端刚好接触地面 你能帮他算出来吗 2 一架长 2 5的梯子 斜立在一竖起的墙上 梯子底端距离墙底 0 7 如图 如果梯子的顶端沿墙下滑mm 0 4 那么梯子底端将向左滑动 米m 3 如图 一个长为 10 米的梯子 斜靠在墙面上 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米 如果梯子的顶端下滑 1 米 那么 梯子底端的滑动距离 1 米 填 大于 等 于 或 小于 4 在一棵树 10 m 高的 B 处 有两只猴子 一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处 另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A 外 距离以直线计算 如果两只猴子所经过的距 离相等 试问这棵树有多高 5 如图 是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图 根据图中标出尺寸 单位 mm 计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为 8 6 C A D B A BC 60 120 140 B 60 A C 精品文档 6欢迎下载 8 米 2 米 8 米 第 6 题图 6 如图 有两棵树 一棵高 8 米 另一棵高 2 米 两树相距 8 米 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树 梢 至少飞了 米 7 如图所示 某人到一个荒岛上去探宝 在A处登陆后 往东走 8km 又往北走 2km 遇到障碍后又往西走 3km 再折向北方走到 5km 处往东一拐 仅 1km 就找到了宝藏 问 登陆点 A处 到宝藏埋藏点 B处 的直 线距离是多少 考点七 折叠问题考点七 折叠问题 1 如图 有一张直角三角形纸片 两直角边 AC 6AC 6 BC 8BC 8 将 ABC 折叠 使点 C 落在 A 边上 上的点 E 折痕为 AD 连接 DE 则 CD 等于 A B C D 3 4 25 3 22 4 7 2 如图所示 已知 ABC 中 C 90 AB 的垂直平分线交 BC 于 M 交 AB 于 N 若 AC 4 MB 2MC 求 AB 的 长 3 折叠矩形 ABCD 的一边 AD 点 D 落在 BC 边上的点 F 处 已知 AB 8CM BC 10CM 求 CF 和 EC 4 如图 在长方形 ABCD 中 DC 5 在 DC 边上存在一点 E 沿直线 AE 把 ABC 折叠 使点 D 恰好在 BC 边上 设此点为 F 若 ABF 的面积为 30 求折叠的 AED 的面积 A BC E F D 精品文档 7欢迎下载 5 如图 矩形纸片 ABCD 的长 AD 9 宽 AB 3 将其折叠 使点 D 与点 F 重合 那么折叠后 DE 的长是多少 6 如图 在长方形 ABCD 中 将ABC 沿 AC 对折至AEC 位置 CE 与 AD 交于 点 F 1 试说明 AF FC 2 如果 AB 3 BC 4 求 AF 的长 7 如图 2 所示 将长方形 ABCD 沿直线 AE 折叠 顶点 D 正好落在 BC 边上 F 点处 已 知 CE 3cm AB 8cm 则图中阴影部分面积为 8 如图 把矩形 ABCD 沿直线 BD 向上折叠 使点 C 落在 C 的位置上 已知 AB 3 BC 7 重合部分 EBD 的面积为 9 如图 5 将正方形 ABCD 折叠 使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合 折痕交 AD 于 E 交 BC 于 F 边 AB 折叠后与 BC 边交于点 G 如果 M 为 CD 边的中点 求证 DE DM EM 3 4 5 10 如图 2 5 长方形 ABCD 中 AB 3 BC 4 若将该矩形折叠 使 C 点与 A 点重合 则折叠后痕迹 EF 的长为 A 3 74 B 3 75 C 3 76 D 3 77 精品文档 8欢迎下载 2 5 11 如图 1 3 11 有一块塑料矩形模板 ABCD 长为 10cm 宽为 4cm 将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直 角顶点 P 落在 AD 边上 不与 A D 重合 在 AD 上适当移动三角板顶点 P 能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请说明理由 再次移动三角板位置 使三角板顶点 P 在 AD 上移动 直角边 PH 始终通过点 B 另一直角边 PF 与 DC 的 延长线交于点 Q 与 BC 交于点 E 能否使 CE 2cm 若能 请你求出这时 AP 的长 若不能 请你说明理由 12 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 13 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设拖拉机行驶 时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校受影响的时间为多少秒 考点八 应用勾股定理解决勾股树问题考点八 应用勾股定理解决勾股树问题 1 如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的 正方形的边长为 5 则正方形 A A B B C C D D 的面积的和为 2 已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形 以 Rt ABC的斜边AC为直角边 画第二个等腰 Rt ACD 再以 Rt ACD的斜边AD为直角边 画第三个等腰 Rt ADE 依此类推 第n个等腰直角三角形的斜边长是 精品文档 9欢迎下载 4 3 12 13 B C D A 考点九 图形问题考点九 图形问题 1 1 如图 1 求该四边形的面积 2 如图 2 已知 在 ABC中 A 45 AC AB 1 则边 BC 的长为 2 3 3 某公司的大门如图所示 其中四边形 是长方形 上部是以 为直径 的半圆 其中 2 3 2 现有一辆装满货物的卡车 高为 2 5 宽为 1 6 问这辆卡车能否通过公司的大门 并说明你的理由 4 将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5 高为 12 的圆柱形水杯中 设筷子 露在杯子外面的长为 h 则 h 的取值范围 5 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA 垂直 AB 于 A CB 垂直 AB 于 B 已知 AD 15km BC 10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E 使得 C D 两村到 E 站的距离 相等 则 E 站建在距 A 站多少千米处 考点十 其他图形与直角三角形考点十 其他图形与直角三角形 如图是一块地 已知 AD 8m CD 6m D 90 AB 26m BC 24m 求这块地的面积 考点十一 与展开图有关的计算考点十一 与展开图有关的计算 1 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D 的表面上 求从顶点 A 到顶点 C 的最短距离 精品文档 10欢迎下载 2 如图一个圆柱 底圆周长 6cm 高 4cm 一只蚂蚁沿外壁爬行 要从 A 点爬到 B 点 则最少要爬行 cm 3 国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状 目前正在全国各地农村进行电网改造 某地有四个村庄 A B C D 且正好位于一个正方形的四个顶点 现计划在四个村庄联合架设一条线路 他们设计了四种架设 方案 如图实线部分 请你帮助计算一下 哪种架设方案最省电线 考点十二 航海问题考点十二 航海问题 1 一轮船以 16 海里 时的速度从 A 港向东北方向航行 另一艘船同时以 12 海里 时的速度从 A 港向西北方向航 行 经过 1 5 小时后 它们相距 海里 2 如图 某货船以 24 海里 时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处 在点 A 处测得某岛 C 在北 偏东 60 的方向上 该货船航行 30 分钟到达 B 处 此时又测得该岛在北偏东 30 的方向上 已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁 若继续向正东方向航行 该货船有无暗礁危险 试说明理由 3 如图 某沿海开放城市 A 接到台风警报 在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风 中心 沿 BC 方向以 15km h 的速度向 D 移动 已知城市 A 到 BC 的距离 AD 100km 那 么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点 如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都 将有受到台风的破坏的危险 正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险 考点十三 网格问题考点十三 网格问题 1 如图 正方形网格中 每个小正方形的边长为 1 则网格上的三角 形 ABC 中 边长为无理数的边数是 A B D B C A 东 东 30 60 BA C M D 精品文档 11欢迎下载 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 正方形网格中的 ABC 若小方格边长为 1 则 ABC 是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 以上答案都不对 3 如图 小方格都是边长为 1 的正方形 则四边形 ABCD 的面积是 A 25 B 12 5 C 9 D 8 5 B C A A B C D C B A 图 1 图 2 图 3 4 如图 正方形网格中的每个小正方形边长都是 1 每个小格的顶点叫格点 以格点为顶点分别按下列要求画 三角形 使三角形的三边长分别为 3 在图甲中画一个即可 85 使三角形为钝角三角形且面积为 4 在图乙中画一个即可 甲 乙 培优题培优题 精品文档 12欢迎下载 一 选择题一 选择题 1 一等腰三角形底边长为 10cm 腰长为 13cm 则腰上的高为 A 12cm B C D 2 已知直角三角形一个锐角 60 斜边长为 1 那么此直角三角形的周长是 A B 3 C 2 D 5 2 3 33 2 3 下列条件中 不能判断一个三角形是直角三角形的是 A 三个角的比为 1 2 3 B 三条边满足 2 a 2 b 2 c C 三条边的比为 1 2 3 D 三个角满足关系 B C A 4 下列各组数中能作为直角三角形三边长的是 9 12 15 13 12 6 9 12 14 12 16 20 A B C D 5 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子露在杯子外面的长 度为 hcm 则 h 的取值范围是 A h 17cm B h 8cm C 15cm h 16cm D 7cm h 16cm 6 ABC 中 AB 13 AC 15 高 AD 12 则 BC 的长为 A 14 B 14 或 4 C 8 D 4 和 8 7 ABC 中 C 90 若 AB 5 则 2 AB 2 AC 2 BC A 10 B 15 C 30 D 50 8 直角三角形有一条直角边的长为 11 另外两边的长也是正整数 则此三角形的周长 1 A 120 B 121 C 132 D 123 9 一个三角形的三边分别是 m2 1 2m m2 1 则此三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形 10 已知一个 Rt 的两边长分别为 3 和 4 则第三边长的平方是 A 25 B 14 C 7D 7 或 25 二 解答题二 解答题 1 如图 8 水池中离岸边 D 点 1 5 米的 C 处 直立长着一根芦苇 出水部分 BC 的长 是 0 5 米 把芦苇拉到岸边 它的顶端 B 恰好落到 D 点 求水池的深度 AC 2 如图 3 正方形 ABCD 中 E 是 BC 边上的中点 F 是 AB 上一点 且 那么 DEF 是 ABFB 4 1 直角三角形吗 为什么 3 如图 4 已知长方形 ABCD 中 AB 8cm BC 10cm 在边 CD 上取一点 E 将 ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的 点 F 求 CE 的长 求折痕 AE 的长和重叠部分 AEF 的面积 精品文档 13欢迎下载 4 有一个传感器控制的灯 安装在门上方 离地高 4 5 米的墙上 任何东西只要移至 5 米以内 灯就自动打开 一个身高 1 5 米的学生 要走到离门多远的地方灯刚好打开 5 如图 P 是等边三角形 ABC 内一点 PA 2 PB PC 4 求 ABC 的边长 2 3 6 变式2 如图 ABC为等腰直角三角形 BAC 90 E F是BC上的点 且 EAF 45 试探究间的关系 并说明理由 222 BECFEF 7 如图 矩形纸片 ABCD 的边 AB 10cm BC 6cm E 为 BC 上一点 将矩形纸片沿 AE 折叠 点 B 恰好落在 CD 边 上的点 G 处 求 BE 的长 8 变式 如图 AD 是 ABC 的中线 ADC 45 把 ADC 沿直线 AD 翻折 点 C 落在点 C 的位置 BC 4 求 BC 的长 9 如右图 1 19 壁虎在一座底面半径为 2 米 高为 4 米的油罐的下底边沿 A 处 它发现在自己的正上方油罐 上边缘的 B 处有一只害虫 便决定捕捉这只害虫 为了不引起害虫的注意 它故意不走直线 而是绕着油罐 沿一条螺旋路线 从背后对害虫进行突然袭击 结果 壁虎的偷袭得到成功 获得了一顿美餐 请问壁虎至少 精品文档 14欢迎下载 要爬行多少路程才能捕到害虫 取 3 14 结果保留 1 位小数 可以用计算器计算 10 变式 如图为一棱长为 3cm 的正方体 把所有面都分为 9 个小正方形 其边长都是 1cm 假设一只蚂蚁每 秒爬行 2cm 则它从下地面 A 点沿表面爬行至右侧面的 B 点 最少要花几秒钟 11 已知 如图13 ABC 中 AB 10 BC 9 AC 17 求 BC 边上的高 12 如下图 一个牧童在小河的南 4km 的A处牧马 而他的小屋位于他的南 7km东 8km 处 他想把他的马牵到小 河边去饮水 然后回家 他要完成这件事情所走的最短路程是多少 13 如图 在 ABC 中 AB AC P 为 BC 上任意一点 求证 PCPBAPAB 22 14 在正方形 ABCD 中 E 是 AD 的三等分点 BE 与 EF 垂直吗 请说明理由 FC DF 7 2 A B 小河 东 北 牧童 小屋 A B P C 精品文档 15欢迎下载 15 有一块直角三角形的绿地 量得两直角边分别为 BC 6m AC 8m 现在要将绿地扩充成等腰三角形 且扩充部 分是以 8m 为直角边的直角三角形 求扩充后等腰三角形绿地的周长 图 2 图 3 备用 16 请阅读下列材料 问题 现有 5 个边长为 1 的正方形 排列形式如图 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 画出分割线并在正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为 1 中用实线画出拼接成的新正方形 小东同学的做法是 设新正方形的边长为 x x 0 依题意 割补前后图形的面积相等 有 x2 5 解 得 x 由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长 于是 画出如图 所示的分5 割线 拼出如图 所示的新正方形 请你参考小东同学的做法 解决如下问题 现有 10 个边长为 1 的正方形 排列形式如图 请把它们分割后拼接成一个新的正方形 要求 在图 中画出 分割线 并在图 的正方形网格图 图中每个小正方形的边长均为 1 中用实线画出拼接成的新正方形 说明 直接画出图形 不要求写分析过程 17 如图 把长方形纸片 ABCD 折叠 使顶点 A 与顶点 C 重合在一起 EF 为折痕 若 AB 9 BC 3 1 求 BF 的长 2 求 EF 的长 18 如图 ABC 中 ACB 90 AC 12 BC 5 AN AC BM BC 求 MN 的长度 精品文档 16欢迎下载 P M B CA 19 如图所示 在 Rt ABC 中 BAC 90 AC AB DAE 45 且 BD 3 CE 4 求 DE 的长 20 如图 已知 于 P 求证 90CCMAM ABMP 222 BCAPBP 21 探索与研究 方法 1 如图 对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转 90 所得 所以 BAE 90 且四边形 ACFD 是一个正方形 它的面积和四边形 ABFE 面积相等 而四边形 ABFE 面积等于 Rt BAE 和 Rt BFE 的面积之 和 根据图示写出证明勾股定理的过程 方法 2 如图是任意的符合条件的两个全等的 Rt BEA 和 Rt ACD 拼成的 你能根据图示再写一种证明勾股 定理的方法吗 22 已知 ABC 中 a