湖南学业水平考考纲数学[首发].doc

2013年湖南省普通高中学业水平考试大纲数 学一、考试目标普通高中数学学业水平考试是面向全体普通高中学生的达标性考试。考试依据普通高中的培养目标，系统检测学生学习数学必修课程的情况，突出考查学生数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，以及应用相关知识分析和解决问题的能力，全面评估普通高中学校落实数学课程标准的基本要求的情况。考试充分体现新课程理念，关注数学学科与日常生活、生产实践的联系，引导社会、学校和家庭形成正确的质量观和人才观，发挥考试对高中数学教学正确导向的作用。 二、命题依据为实现普通高中教育培养目标，数学学业水平考试将依据高中数学课程标准（试验稿）（下文简称课程标准）、湖南省普通高中学业水平考试实施方案（试行）（下文简称实施方案）和2013年湖南省普通高中学业水平考试大纲数学（试行）（下文简称考试大纲），以及我省现行使用的普通高中数学课程标准实验教科书（人教A版，数学1数学5），结合我省普通高中数学教学的实际情况命题，力求规范、科学，符合我省高中数学教学实践最广泛的要求。三、命题原则1. 导向性原则。命题立意面向全体学生，有利于促进学生全面、和谐、健康地发展，有利于中学实施素质教育，有利于体现数学学科新课程理念，充分发挥学业水平考试对普通高中数学学科教学的正确导向作用。2. 基础性原则。试卷选题突出考查数学学科基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，考查初步应用数学学科知识与方法分析问题、解决问题的能力。试题植根于教材，关注作为普通高中毕业学生必须具备的数学素养。3.科学性原则。试题设计必须与课程标准和考试大纲要求一致，关注数学学科的主干知识和核心内容，关注数学学科与社会实践的联系，贴近学生的生活实际。试卷结构合理、内容科学，试题表述简洁规范、答案准确。4.公平性原则。试题选材充分考虑我省高中数学教学的实际情况，注意到我省不同市（州）基础教育发展的不平衡性，面向全体学生。联系日常生活、生产实际的试题背景应当是不同层面学生都熟悉并能理解的，以保证测试的公平性。四、考试内容与要求普通高中数学学业水平考试根据实施方案、课程标准和考试大纲，将本学科能力层级由低到高分为“识记”、“理解”、“掌握”和“应用”，并分别用A、B、C、D表示。学科能力层级与实施方案中提出的能力层级关系如下：A：识记（包括了解、体会、知道、感知等）对所学过的内容（包括基础知识、基本方法、基本体验和基本思想（下同）能准确识别、再认和直接应用。B：理解（包括描述、解释、归纳、总结等）对所学过的内容能进行理性分析和综合论证，并将其融入已有的认知结构。C：掌握（包括导出、分析、推理、证明等）对所学过的内容有较深刻的认识，能直接运用于解决与本内容相关的问题。D：应用（包括探究、讨论、迁移、问题解决等）能运用所学过的知识分析和解决有关的数学问题。模块内容能力层级备注ABCD数学1集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数的概念包括求简单函数的解析式、定义域和值域函数的表示法函数的单调性与最大（小）值关注学科内综合函数的奇偶性指数与指数幂的运算指数函数及其性质对数与对数运算对数函数及其性质幂函数方程的根与函数的零点用二分法求方程的近似解几类不同增长的函数模型函数模型的应用关注实践应用数学2柱、锥、台、球的结构特征简单组合体的结构特征中心投影与平行投影空间几何体的三视图空间几何体的直观图柱体、锥体、台体、球的表面积和体积平面空间中直线与直线之间的位置关系包括异面直线所成的角空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系直线与平面平行的判定与性质平面与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质包括直线与平面所成的角平面与平面垂直的判定与性质包括二面角直线的倾斜角与斜率包括斜率公式两条直线平行与垂直的判定直线的点斜式、两点式和一般式方程包括直线的斜截式、截距式方程两直线的交点坐标两点间的距离点到直线的距离两条平行直线之间的距离圆的标准方程圆的一般方程直线与圆的位置关系关注学科内综合圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用关注实践应用空间直角坐标系空间两点间的距离公式数学3算法的概念程序框图与算法的基本逻辑结构 输入语句、输出语句和赋值语句条件语句 循环语句算法案例简单随机抽样系统抽样分层抽样用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征关注实践应用变量之间的相关关系两个变量的线性相关随机事件的概率概率的意义概率的基本性质古典概型（整数值）随机数的产生几何概型均匀随机数的产生数学4任意角弧度制任意角的三角函数同角三角函数的基本关系三角函数的诱导公式正弦函数、余弦函数的图象包括“五点法”作图正弦函数、余弦函数的性质正切函数的性质与图象函数的图象三角函数模型的简单应用关注实践应用平面向量的物理背景与概念平面向量的几何表示相等向量与共线向量平面向量加法运算及其几何意义平面向量减法运算及其几何意义平面向量数乘运算及其几何意义平面向量基本定理平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算平面向量共线的坐标表示平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量的应用举例两角和与差的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的三角恒等变换数学5正弦定理和余弦定理包括三角形的面积公式正弦定理和余弦定理的应用举例关注实践应用数列的概念与简单表示法等差数列包括等差数列通项公式等差数列的前n项和等比数列包括等比数列通项公式等比数列的前n项和不等关系与不等式一元二次不等式及其解法二元一次不等式（组）与平面区域简单的线性规划问题关注实践应用基本不等式关注学科内综合五、考点分布统计表必修模块能力层次总计ABCD数学1384116数学29108128数学34123120数学45137126数学5227112合计2345275102所占百分比23%45%27%5%100%六、考试方式、时量与分值考试方式纸笔测试；闭卷考试时量120分钟试卷分值100分七、试卷结构1各类题型与分值题 型题 量分 值选择题 10小题 40分填空题5小题20分60分解答题5小题40分2考试内容与分值必修模块数学1数学2数学3数学4数学5所占分值20分20分20分20分20分3难度分布难度级别容易题中档题稍难题难度系数0.85,10.70,0.85)0.55,0.70)约占比例70%20%10%八、题型示例【例1】下列判断正确的是（ ）.A BC D【说明】本题由教材数学1第7页第2题、第12页第5题等整合改编而成，主要考查了集合的概念、元素与集合的关系和集合与集合的关系，能力层级为A，属于容易题，预测难度为0.96.【参考答案】A【例2】下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）.A B C D 【说明】本题涉及几个最常见的初等函数，综合考查了一元二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性，能力层级为A，属于容易题，预测难度为0.94.【参考答案】BABCD（例3图）【例3】如图，ABCD为平行四边形，若a，b，则下列结论正确的是（ ） Aa Ba+ b Cb Da+ b【说明】本题植根于教材数学4，主要考查平面向量的概念、平面向量加减法的运算及几何意义，能力层级为A，属于容易题，预测难度为0.92.【参考答案】B.（例4图）开 始输入输出输出结束是否【例4】已知某程序框图如图所示，若输入的值为-1，则输出的值为 【说明】本题考查程序框图的基本逻辑结构，能力层级为B，属于容易题，预测难度为0.91.【参考答案】.【例5】已知函数，R（1）求的值；（2）求函数的周期；（3）判断函数的奇偶性，并说明理由【说明】本题主要考查基本的三角变换和三角函数的性质，能力层级为B，属于容易题，预测难度为0.88.【参考答案】（1）因为，所以；（2）函数的周期为；（3）因为的定义域为R，又，所以为奇函数【例6】张山同学家里开了一个小卖部为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量（杯）与当天最高气温（）的有关数据，通过描绘散点图，发现和呈线性相关关系，并求得其回归方程为如果气象预报某天的最高气温为34，则可以预测该天这种饮料的销售量为 杯【说明】本题由教材数学3第90页的例题改编而成。该题主要考查利用回归直线方程对总体进行估计的数学思想，考查考生应用数学知识分析问题和解决问题的能力，体现了“关注实践应用”的考试要求（见前面表格中的“备注”），能力层级为B，属于容易题，预测难度为0.86.【参考答案】128（杯）O-224（例7图）【例7】如下是利用随机模拟方法计算图中阴影部分（和所围成的部分）面积的过程：利用计算器或计算机产生两组0，1区间的随机数=RAND，=RAND；进行平移变换，；数出落在阴影部分内的样本点数，用几何概型公式计算阴影部分面积.现做100次试验，模拟得到落在阴影内的样本点数为62，则可以估计图中阴影部的分面积为 .【说明】本题由教材数学3第100页例4改编而成，考查几何概型、古典概型的计算和用随机模拟的方法估计几何图形的面积，能力层级为B，属于中档题，预测难度为0.84.【参考答案】由，得阴影部分的面积为S=9.92【例8】已知直线，的交点为P求：（1）过点P且与直线平行的直线的方程；（2）以点P为圆心，且与直线相交所得弦长为的圆的方程【说明】本题考查直线的方程、两直线的位置关系、圆的方程和直线与圆的位置关系，能力层级为C，属于中档题，预测难度为0.82.【参考答案】（1）由 得，所以直线与的交点为P（0，1），又直线与直线平行，所以直线的斜率为，所以直线的方程为； （2）设圆的方程为，又圆心P到直线的距离为，所以圆的半径为， 故所求圆的方程为分组频数频率0，1）100.101，2）0.202，3）300.303，4）204，5）100.105，6100.10合计1001.00【例9】我国是严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较为合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中和的值；频率/组距0.10.20.3月均用水量(吨)O123456（例9图1）（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.【说明】本题来源于教材数学3第65页的探究问题，主要考查了统计概率中的基本概念和用样本数字特征估计总体数字特征的统计思想.本题关注数学与现实生活的联系，有助于提高学生学习的积极性，培养学生的应用意识与解决问题的能力，体现了“关注实践应用”的考试要求（见前面表格中的“备注”），能力层级为D，属于中档题，预测难度为0.82.频率/组距0.10.20.3月均用水量(吨)O123456（例9图2）【参考答案】（1）由10+20+30+10+10=100，得20，由0.1+0.2+0.3+0.1+0.1=1，得0.2；（2）补充频率分布直方图如右图，由直方图可以估计该市每位居民月均用水量的众数为2.5（吨）.【例10】如图，在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，SA=SC=，D为AC的中点.（1）求证：AC平面SBD；（2）若平面SAC平面ABC，求直线SB与底面ABC所成的角.（例10图）【说明】本题由教材数学2第67页第1题与第73页第4题整合编制而成，主要考查空间直线与平面、平面与平面的垂直关系、直线与平面所成角的计算，能力层级为C，属于中档题，预测难度为0.80.【参考答案】（1）因为ABC为正三角形，D为AC的中点，所以BDAC，又在SAC中，SA=SC，所以SDAC，因为BD，SD是平面SBD内的两条相交直线，所以AC平面SBD；（2）因为平面SAC平面ABC，又SDAC ，所以SD平面ABC，所以BD是直线SB在平面ABC内的射影，故SBD为直线SB与平面ABC所成的角，在SAC中，SA=SC=，AC=2，所以SD=1，又BD=，在RtSDB中，所以SBD=30，故直线SB与底面ABC所成的角为30.【例11】指数函数满足.试写出一个具体的函数，使其满足，则函数可以是 .【说明】此题由教材数学1第75页B组第5题改编而成，是一道开放性的试题，要求学生能类比题目给出的材料，根据所学知识写出答案。本题综合考查了学生的阅读理解能力与推理探究能力，关注探究过程，能力层级为C，属于中档题，预测难度为0.75.【参考答案】（答案不惟一）.【例12】已知在一定的时间段内，某池塘中浮萍面积与所经过的时间（月）的关系服从指数函数的规律（如图）.O112（例12图）（1）试求的解析式；（2）试问至少经过多少个月，浮萍面积超过30（精确到1.0）？（3）某同学发现浮萍蔓延到2，3，6所经过的时间，满足一个等量关系，请你写出这个等式，并给出证明.【说明】本题由教材数学1第103页例4改编而成，主要考查学生的阅读理解能力、数学建模能力、探究能力和指数函数的概念、图象与性质，体现了“关注实践应用”和“关注学科内综合”的考试要求（见前面表格中的“备注”），能力层级为D，属于稍难题，预测难度为0.60.【参考答案】（1）设，由，得，故；（2）设经过个月浮萍面积超过30，则，解得，故至少经过5个月浮萍面积超过30；（3）等式为.证明如下：因为，所以，即，得.【例13】在正项等比数列中，=4，=64.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和；（3）记=，对于（2）中的，不等式对一切正整数及任意实数恒成立，求实数的取值范围.【说明】本题是一道植根于知识交汇处的综合性试题，考查了数列、函数、不等式等基础知识和基本方法，以及函数与方程、化归与转换、数形结合等重要的数学思想.本题要求学生在具体情境中综合运用所学知识，分析、探究和解决问题, 体现了跨模块数学知识、数学方法的综合运用，落实了 “关注学科内综合”的考试要求（见前面表格中的“备注”）.能力层级为D，属于稍难题，预测难度为0.55. 【参考答案】（1）由=4，=64及数列为正项等比数列，得等比数列的公比为=4，所以数列的通项公式；（2）由，得=，所以数列的前项和=；（3）解法一：不等式等价于.又的最小值为1，所以不等式对一切正整数及任意实数恒成立，等价于1,即对任意实数恒成立，所以.解法二：不等式等价于.又的最小值为1，所以不等式对一切正整数及任意实数恒成立，等价于1,即0对任意实数恒成立，所以,即.解法三：不等式等价于，所以=对一切正整数及任意实数恒成立.因为时，有最大值3，所以.九、2013湖南省普通高中学业水平考试样卷数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分时量120分钟，满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知等差数列的前3项分别为2、4、6，则数列的第4项为 正视图（第2题图） 俯视图 侧视图 A7 B8C10 D122如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 A球 B圆柱 C圆台 D圆锥3函数的零点个数是A0 B1 C2 D34已知集合，若，则的值为 A3 B2 C0 D-15已知直线：，：，则直线与的位置关系是A重合 B垂直C相交但不垂直 D平行6下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是A（0，0） B（2，4） C（-1，4） D（1，8）7某班有50名同学，将其编为1、2、3、50号，并按编号从小到大平均分成5组现用系统抽样方法，从该班抽取5名同学进行某项调查，若第1组抽取的学生编号为3，第2组抽取的学生编号为13，则第4组抽取的学生编号为（第8题图）CABDA14 B23 C33 D438如图，D为等腰三角形ABC底边AB的中点，则下列等式恒成立的是A B C D9将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A B C D（第10题图）10如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为A B C D二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分11比较大小： （填“”或“”）12已知圆的圆心坐标为，则实数 13某程序框图如图所示，若输入的值分别为3，4，5，则输出的值为 开始 输入a,b,c 输出结束（第13题图）14已知角的终边与单位圆的交点坐标为（），则= 15如图，A，B两点在河的两岸，为了测量A、B之间的距离，测量者在A的同侧选定一点C，测出A、C之间的距离是100米，BAC=105，ACB=45，则A、B两点之间的距离为 米（第15题图）BAC10545河三、解答题：本大题共5小题，满分40分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（本小题满分6分）-2-1O2562-11（第16题图）已知函数（）的图象如图根据图象写出：（1）函数的最大值；（2）使的值17（本小题满分8分）一批食品，每袋的标准重量是50，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：），并得到其茎叶图（如图）（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；4 5 6 6 95 0 0 0 1 1 2 （第17题图）（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率18（本小题满分8分）如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，D1D底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB=1，D1D=（第18题图）ABCDA1B1C1D1（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AC平面BB1D1D19（本小题满分8分）已知向量a =（，1），b =（，1），R（1）当时，求向量a + b的坐标；（2）若函数|a + b|2为奇函数，求实数的值20（本小题满分10分）已知数列的前项和为(为常数，N*)（1）求，；（2）若数列为等比数列，求常数的值及；（3）