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第二章 群表示理论基础2.1 群表示【定义2.1】 （线性空间） 数域K（实数域R或复数域C）上的线性空间V是一个向量集合，；该集合定义了加法和数乘两种二元运算，且集合V在加法运算下构成交换群，满足：数乘运算KVV满足：【定义2.2】 （线性无关和维数）线性空间V中，任意n个向量，其线性组合当且仅当时成立，则称此n个向量线性无关，否则它们线性相关。线性空间中线性无关向量的最大个数m，称为空间V的维数，记为dimV = m。【定义2.3】 （基矢） 设V是n维线性空间，则V中任意一组n个线性无关的向量，称为空间V的基矢，记为。空间中任意矢量均可表示为n个基矢的线性组合，。矩阵形式：【定义2.4】 （线性变换） 线性变换A是将V映入V的线性映射，满足：线性变换的矩阵形式：采用列矢量记法故有矩阵形式：若，则称线性变换A非奇异，A有逆变换A-1，A-1=A-1。【定义2.5】 （线性变换群）定义两个变换的乘法为两个线性变换的相继作用，则n维复线性空间V上的全部非奇异线性变换构成的集合在此乘法下构成一个群，称为n维复一般线性群，记为GL(V , C)，其子群L(V, C)称为V上的线性变换群。【定义2.6】 （群表示）设有群G，如果存在一个从G到n维线性空间V上的线性变换群L的同态映射A，则同态映射A称群G的一个线性表示，V为表示空间，n称为表示的维数。其中g0为G的单位元，E为L中的恒等变换。系1 在表示空间V选一组基，线性变换群可化为矩阵形式，故群在表示空间V上的线性表示，亦可定义为G到矩阵群的同态映射A。系2 若群GG，则G的表示也是G的表示。系3 一个群G原则上可有无限多的表示。【定义2.7】 （忠实表示）如果群G到线性变换群L的映射A为同构映射，则该表示称为忠实表示。群表示理论研究抽象群的矩阵表示的结构、类型等规律。例2.1 任何群G恒与1同态，1是任何群G的表示，称为一维恒等表示。例2.2 三个简单的二阶变换群的表示。其矩阵形式即为它们的表示。取表示空间为R3，基矢：。 为对xy平面的反演。群本身是定义在R3空间上的线性变换，故其本身是自己的一个表示，选择一个具体基矢可以将其矩阵化：故表示矩阵为： ，表示矩阵为： ，其表示为： 以上三个群均是R3上的变换群，故其本身就是他们的表示（忠实表示）。他们还可以有其他的表示。如空间反演群有表示，如： 它实际上是三个一维表示的合成：或者说一个二维恒等表示与一个一维非恒等表示的直和。，均是互相同构的二阶循环群，具有相同的群表示。他们两个最基本的表示为：, a分别为。例2.3 D3=群的表示。 D3有一维恒等表示，； D3与Z2同态： 故D3有非恒等一维表示： D3为R3的线性变换群，其矩阵形式本身即为它的一个表示。表示空间V 为R3，取基： 同理，可得表示矩阵 D3在x , y, z的二次齐次函数空间中的表示，空间的基为：任何二次齐次函数可表示为以上基函数的线性组合。三维空间中的线性变换g对向量r的改变，同时将对定义在该空间中的标量函数作变换，即g对应一个标量函数变换算符，即。由容易发现，。可以验证变换群与算符做成的函数变换群同构。对于，有：故, 故在函数线性空间上的矩阵形式即为群的一个表示。 故可得Pd的表示矩阵：其他群元的表示矩阵可以同样得到。例2.4 设粒子的哈密顿量H的对称群为，以粒子某一能级的简并波函数为表示空间，求G的群表示。解：所有使哈密顿算符H(r)不变的变换形成哈密顿算符群G： ，与变换对应有标量函数变换算符。设H的本征值为En的，对应本征数为u为简并度指标，简并度为fn ，有：。这些简并波函数的任意组合均是相同本征值下的本征函数。可以检验，也是H的本征函数：故En能级的所有简并波函数构成哈密顿算符群不变的线性空间。在简并本征函数空间中变换算符的矩阵形式即为哈密顿算符对称群的表示。记的表示矩阵为，具体形式由下式确定： 2.2 等价表示、不可约表示和酉表示一个群的表示原则上可以有无穷多个，它们可以分解或约化为有代表性的最基本表示的组合。【定义2.7】（等价表示）设群G在表示空间V取基下的表示为，在另一组基下的表示为，若，X为两组基之间的变换，有：，detX0 则称表示等价，或为A的等价表示。系1 两个用相似变换相联系的表示互相等价：或，(detP0), A和B等价。等价表示只是不同基的选择而已，故重要的是寻找不等价的表示，这样就产生了寻找不等价表示的问题。【定义2.8】 （可约表示） 设A是群G在表示空间V上的一个表示，V如果存在G不变的非平庸子空间，是子空间W上的变换群。此时称A是G的一个可约表示。系1 设是子空间W的基，则取空间V的一组基：，使得。在此基下表示矩阵具有如下形式： m列 n-m列为mm矩阵，为m (n-m) 矩阵，为矩阵。子空间W中矢量的形式：（t表示转置，成列矩阵），X经过变换仍然在子空间中： 。系2 可以验证在变换下不具有封闭性：。系3 另外，仍然具有相同的结构，故、均构成新的群表示。系4 对于有限群，上述阶梯矩阵都可以通过相似变换化为对角分块形式。【定义2.9】 (线性空间的直和)设线性空间V有子空间W1和W2， W1W2 =0。对任意，可找到，并唯一的将表示为：，则称线性空间V是子空间W1和W2的直和，记为。【定义2.10】 (完全可约表示)设群G的表示空间V可以分解为子空间W1和W2的直和，且W1和W2都是A(G)不变的(即A(G)是W1和W2上的变换群)，则称G在V上的表示为完全可约表示。系1 系2 总可以选一组基，使和分别为子空间W1和W2的基，在此基下表示矩阵具有如下形式： m列 (n-m)列系3 若表示A有一个等价表示具有对角形式，则A为完全可约表示。系4 对于有限群，可约表示的矩阵总可以化为分块对角形式，因而一定是完全可约的。对于无限群，存在可约而不完全可约表示。这样的表示虽然存在群不变非平庸 子空间，但无论如何选择，其补空间都不是群不变的，这样的表示仍然称为可约表示，是不能完全约化的可约表示。如，一维平移群T： ， 它是无限阿贝尔群，存在不能完全约化的可约表示：。【定义2.11】 (不可约表示)设A为G群在表示空间V中的表示，若V不存在A(G)不变的真子空间，则称A是G的不可约表示。系1 G的不可约表示矩阵不具有对角或三角形式。系2 一般地，G的表示空间V总可以表示为不可进一步分解的G不变子空间的直和，而G在V上的表示可以写为G在这些不可分解的子空间上的不可约表示的直和：其中整数mp为不可约表示Ap在表示Ap中出现的次数，称为重复度。系3 群的任何表示都可以写成其不等价不可约表示的直和，故寻找一个群的所有不等价不可约表示有重要意义。【定义 2.12】 （内积和内积空间）设V是数域C上的线性空间，将V中两个有序向量x，y映为复数域C上的一个数，满足：，有； （共轭），则称为的内积，而定义了内积的线性空间称为内积空间。内积空间中向量的长度或模：；向量垂直若；系1 证：系2 任何内积空间总存在正交归一基，。证：设是V的一个基，用施米特正交化方法可以构造正交归一基。作 有又作 有：，一般地，可令 ，可得正交归一基：（）。【定义2.13】 （幺正变换）设U是内积空间V上的线性变换，若对任意 U保持x和y的内积不变，即：，则称U为V上的幺正变换。系1 幺正变换将正交归一基变为另一组正交归一基：。系2 记U+为幺正变换U的共轭变换，则其逆变换U-1=U+，U+U=E为恒等变换。证：内积空间上的线性变换A的共轭变换为A+，有： 故有，由于x，y任意，故有U+U=E，U-1=U+。系3 在正交归一基下，线性变换U的共轭变换U+的矩阵即酉矩阵有：U+=为U的转置共轭U*t (即)。（对于幺正变换有：）【定义2.14】 （群的酉表示）群G到内积空间V中的幺正变换群A上的同态映射，称为群G的酉表示。系1 群G到幺正矩阵群的同态，也是群G的酉表示。 定理2.1 设V是内积空间，W是V的子空间，定义，为V中所有与W中矢量垂直的向量的集合，则有称为W的正交补空间。证明：设W的一个正交归一基为 ，可证与W中的任意矢量垂直：因 ，对成立，故，从而；又若即则有：. 定理2.2 若群G的酉表示A是可约的，则A是完全可约的。证明：设表示空间为V，G的表示A可约，则V有G不变的子空间W。由定理2.1有：为W的正交补空间；对；而W是G不变的，故故：即或故也是G不变的子空间。因此A是完全可约的。适当选择正交归一基A具有如下形式：。系1. 若W，中仍然有G不变的子空间，则上述分解可以继续进行下去，A最终可表示为：。其中整数为不可约酉表示表示中的重复度。定理2.3 有限群的每一个表示都有等价的酉表示。证明： 设，为群G的表示若能找到相似变换X，对有，使为酉矩阵即 则定理得证。（ + 表示矩阵的转置共轭）构造如下矩阵 : 为显然为厄密矩阵：W+ = W，并且有如下性质： = = = 可以检验如上的厄密矩阵可以表示为 ，X为非奇异矩阵：首先厄密矩阵总可以找到酉矩阵U使之完全对角化为，其对角元为实数，即：，并且可以发现为正定矩阵：故正定对角矩阵可以表示为形式，其中D也是正定对角矩阵。由可得：，。可以验证，X即为所寻找的使表示A化为酉表示的相似变换：令 则=故 为酉表示。 得证。2.3 群代数和群代数正则表示【定义2.15】 （代数或线性代数）在数域K上的线性空间D中，若定义了乘法，满足：（封闭性）（加法分配律）乘法和数乘满足：则称D为代数或线性代数。若还满足结合率：则D称为结合代数。例2.5 全都复矩阵集合，在矩阵乘法下构成结合代数。【定义2.16】 （群空间）设群，以G的群元为基作复数域C上的线性空间VG，即：，满足： ，其中， ，称VG为群空间。【定义2.17】 （群代数）按照群G中群元的乘法，可以定义群空间VG中矢量的乘法：，定义(上述过程应用了矢量在上的分量等于在上的分量，故VG构成代数，可以验证VG满足结合律，故VG构成结合代数，记为DG，代数的维数等于群G的阶。【定义2.18】 （群代数空间中的正则表示）取群G的群代数空间DG为群G的表示空间，定义G到DG上的线性变换的映射为线性变换定义为：，令故映射L保持了群的乘法结构不变,为同构映射, L(G)称为群G的左正则表示。系1. 若定义G到DG上的线性变换的映射为：，线性变换定义为：, 同态映射R称为群G的右正则表示。系2. L(G)和R(G)为群的忠实表示。例2.6 二价循环群的正则表示。, 群代数Dz2的基底为e,a, 则:， 有 ， ，有 正则表示L(Z2)可约：取相似变换矩阵：, 具对角化形式。例2.7 正三角形对称群D3的正则表示：群代数的基：e, d, f, a, b, c,线性变换L（d）,对基底的作用：L(d)的表示矩阵：同理可求出其他群元的左正则表示矩阵。群的代数空间正则表示相当于对代数空间的基进行变换2.4 群函数和群函数空间正则表示【定义2.19】 （群函数）G为一个群，以G为定义域、以复数域C为值域的函数称为群函数：如：。群函数的例子如群表示矩阵的矩阵元。【定义2.20】（群函数空间）对，定义群函数，以此n个函数为基，可以构造复数域C上的群函数空间V(G)：，并且满足： ； 。称V(G)为群函数线性空间，简称群函数空间。系1 群函数空间的基函数fg1, fg2, ，fgn线性无关。则，故基函数fg1, fg2, ，fgn线性无关。系2,。系3 定义基函数乘法可以验证如此定义的群函数矢量乘法满足代数条件： 数乘：故V(G)构成结合代数，记为D(G)系4 群代数DG与群函数代数D(G)代数同构（不同于群的同构）。同构影射： 满足：，故，有，（）因此，两个代数结构相同，如有关于代数DG上的定理，则群函数代数D(G)中必有相同的定理成立。【定义2.21】 (群的群函数代数空间正则表示)取群G的群函数代数D(G)为表示空间，定义G到D(G)上的线性变换的映射，为：，定义线性变换： 又有：故映射为同构映射，为群G的表示，称为群G的群函数空间左正则表示。系1 若定义G到D(G)上线性变换的映射为： 且， 称为群G的群函数空间右正则表示。系2. 由于DG与D(G)代数同构，G在DG和D(G)上的正则表示的矩阵形式相同。例2.8 D3的群函数空间区别表示：D3 = e, d, f, a, b, c群函数空间的基：fe , fd , ff , fa , fb , fc表示矩阵：【定义2.22】 (群函数空间的内积)群G的群函数空间D(G)，定义其基底的内积：, n为G的阶。空间中矢量的内积定义为：系1 为该内积下的酉变换。故(G)为酉表示。同理可证(G)也是酉表示。2.5 有限群表示理论关于有限群的不可约表示，有如下舒尔引理。定理2.4 (舒尔引理一)设群G在有限维向量空间VA和VB上有不可约表示A和B，M为将VA映入VB的线性变换，若对任意gG, 满足：则有：（1）当M0时，表示A和B必等价；（2）当表示A和B不等价时，必有M0。证明：（1）假设M0，证明A和B等价(即证M为一一映射)：作VA的子空间：， 为M的0空间；N是G不变的： ， 即N构成VA中G不变的子空间。 由于A是G在VA上的不可约表示，故VA无真不变子空间； 又由于M0，故必有N0，为零空集。 由N0可证，M是从VA到VB的单射： 反证：若 x1，x2VA，x1x2， 且 M x1 = y, M x2 = y， 则 M(x1 - x2)=0， 则 x1 - x2 N 即 N 不为零空间，这与N0矛盾 故 M是VA到VB的单射； 还可以证明M也是VA到VB的满射： 作VA在M作用下的象集合R： R是G不变的： ， ，即R构成VB中G不变的子空间。而B是G的不可约表示，故VB无真不变子空间； 又由于M0，故必有R = VB 故 M是VA到VB的满映射。综上所述： M为双射，故存在逆射射M1 ，故表示A和B等价（2）当表示A和B不等价时，M0 反证： 若M0，则由（1）知A和B等价与已知条件A和B不等价相矛盾m故M0。证毕 定理2.5 (舒尔引理二)设是群G在有限维复表示空间V的表示，若有V上的非零线性变换或矩阵M满足：，（1）若A为不可约表示，则仅当 （E为恒等变换，）时上式成立。（2）反之，若有的线性变换或非零矩阵与所有对易，则A必为可约表示。(1的逆否命题)证明： 复线性变换M至少存在一个本征矢y0，有则可用M的所有本征矢构造V的子集：可证是G不变的子空间： , 有 即 故为V中G的不变子空间 而A为V上的不可约表示表明V无真不变子空间 而，故： 即： ， 故有 证毕。舒尔引理的逆命题也成立：系1. 除零矩阵外，若仅有单位矩阵的常数倍矩阵与群表示的所有矩阵对易，则该表示为不可约表示。系2. 若群的表示为可约表示，则一定可以找到非零的、不是单位矩阵的常数倍的矩阵与所有群元的矩阵对易。（系1的逆否命题）只需证明系2即可： 假设群G的表示为可约表示，则一定存在一个幺正矩阵S，使全部变成具有相同块对角结构的矩阵： 为分块对角矩阵，例如：，则可做一矩阵,其中、为与、维数分别相同的单位矩阵，有：，即，上式左边乘上S，右边乘上S的逆，有，取，显然不具有单位矩阵的常数倍形式。系2得证。定理2.6 群表示正交性定理 有限群的所有不等价不可约酉表示记为，其维数分别为。则由表示矩阵Ap构成的群函数空间矢量或表示矢量有如下正交关系：证明：（一）的情形，即证由同一表示构成的两矢量的内积：证： 用任意Sp维非零矩阵D，构造矩阵如下C：(1)用表示矩阵Ap(gj)从左边作用于C： (2)即，由于AP为不可约表示，由舒尔引理二知，必有：(3)E为单位矩阵，为与D有关的常数。取D的一种特殊形式：除外，所有其他元素，则由（1）得C的矩阵元 （利用了（3）式）（4）即：（5）为了定出与上面所取的特殊形式的D相对应的，求矩阵C的迹： (5)式中令，并对u求和： 故： (6)由（5）和（6）得：(7)由于Ap是酉表示，故有：(8)由（7）并利用（8），最后得： （二）的情形，即证由两不同表示、构成的两矢量的内积：证：用任意非零矩阵，构造矩阵用表示矩阵右乘，得：由于Ap与Ar为不等价的不可约表示，由舒尔引理一，有；取一种特殊形式：除外，所有其他元素则的矩阵元:综合证明（1）（2），正交定理得证。系1 不可约表示矩阵元的完全性关系：由群表示正交性定理有：上式两边乘上，得： 两边对、求和得： 上式成立必须满足：定理2.7 群表示完备性定理设Ap（p = 1, 2, , q）是有限群的所有不等价不可约酉表示，其维数为sp, 则所有表示矢量:()在群函数空间D(G)中是完备的。证明：设表示AP是维数是由正交性定理：，故群函数矢量线性无关，可以它们为基构成群函数空间D(G)的一个子空间，记为V（G）。 V(G)是G不变的：取右正则表示，有：故子空间V(G)是G不变得。而正则表示为酉表示，故是完全可约的，D(G)可分解为：为V的正交补空间。可以证明 仅含有零向量:反证：，它也是G的不变子空间。设的基底为，G在其上的表示为Ar，则：，另一方面，有： 有：，两边作用于单位元e有：故有：，于是有上式可见，不管Ar是可约表示还是不可约表示，中的基均是不可约表示矢量的叠加，因为即使是可约表示，其表示矢量也可以表示为不可约表示矢量的叠加。于是这与矛盾，故必有：，所以D(G)=V(G)， 即：构成群函数空间D(G)的完备基。，可表示为：。系1 勃恩赛德 (Burside) 定理有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和等于阶的群，即：系2 个表示矢量载荷一个右正则不可约表示AP:证明：表示矢量, 用右正则表示作用：故当u取遍1，2，sp时，有组基，它们载荷的都是不可约表示AP。同样可以发现，组基载荷的都是左正则不可约表示A*P。系3 显然群的正则表示包含了群的所有不等价不可约表示，正则表示按不等价不可约酉表示可约化为：，。2.6 群表示的特征标理论【定义2.23】 （特征标）设A是群G的一个表示，则群表示的特征标定义为：。系1 等价表示的特征标相同, 因。系2 群G中即相互共轭的表示其特征标相同。则：系3 特征标是类函数。设是G中含元素的一个类:以上定义和性质也适用于无限群，下面讨论有限群表示的有关定理。定理2.8 （特征标第一正交定理）设有限群G=g1, g2 , gn有q个不等价不可约表示AP（P=1，2，q），AP的维数为SP，表示AP(gi)的特征标为，则特征标满足以下正交关系：若令：，则正交可表为内积形式：。证明：有限群G的不可约表示AP，Ar必有等价的酉表示，由正交定理2.6 有：上式中取u=，u=v并分别对u，u求和，有： , 正交关系成立。系1 因特征标是类函数，设群共有个类k1, k2, kq,类元素个数分别为,则正交关系可以表述为:系2 有限群的不可约表示的特征标矢量内积为1，因为。系3 有限群可约表示的特征标内积大于1。证明：设群G有可约表示，则：为G的不等价不可约表示。对上式两边求迹有：有系4 可约表示的约化。表示A中不可约表示出现的重复度mp为：。由及易得上述结果。 定理2.9 （类函数空间完备性定理）有限群的所有不等价不可约表示的特征标生成的群函数矢量，在类函数空间中是完备的。证明：所谓类函数即以群的一个类中的不同元素为自变量时，具有相同函数值的群函数。即设群G的所有不等价不可约酉表示为Ap(p=1,2,q)，群函数空间中任意群函数可用AP生成的群函数矢量展开，即：，。若是类函数，则有：。可以验证任意类函数都可以表示为不可约表示特征标矢量的叠加。由类函数满足，得：即任意类函数都可表示为不等价不可约表示的特征表生成的群函数矢量的线性组合，构成类函数空间的完备基，而类函数空间的维数为q即群的不等价不可约表示的个数。系1 有限群的不等价不可约表示的个数等于群的类的个数。证：类函数空间中独立的类函数的个数等于类的个数q,设G有类：k1，k2，则可定义个独立的类函数，i = 1，2，q:, 显然线性无关，因此这q个类函数构成类函数空间的基，类函数空间的维数为q；而定理2.9 表明类函数空间的维数为不等价不可约表示的个数q，故必有q = q，即群的不等价不可约表示的个数等于该群类的个数。【定义2.24】 (特征标表)把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类函数给出一个表，称为G的特征标表，表中的行为一个不可约表示中不同类的特征标，列为群的一个类 ki在各不等价不可约表示中的特征标，具有如下形式：n1k1n2k2nqkqA1A2Aq习惯上特征表的第一行为一维恒等表示的特征标，第一列为自成一类的单位元的特征标。所有特征标形成一个qq方阵，特征标表中的行遵守第一正交定理。定理2.10 （特征标第二正交定理）证明：第二正交定理表明特征标表中的列也满足正交关系。由第一正交定理可以得到第二正交定理：第一正交定理：；定义qq矩阵F，其矩阵元为：则第一正交定理可用F矩阵表示为： ，因为例2.9 n阶循环群G=a, a2,an=e的不等价不可约表示。n循环群是Abel群，每个元素自成一类，共有n个类，对应有n个不等价不可约一维表示。元素a的表示A(a)易求出：由于n个不可约不等价一维表示中恒有 A(e) = 1, 有：，故有：由群元a的一个一维表示AP(a)，可以得到群的第P个表示：特例：4阶循环群的表示为：例2.10 求D3群的特征标表。D3 =e , d , f , a , b , c，D3有三个类：e，d , f，a , b , c，故有三个不等价不约表示。总有一维恒等表示：A（e）=A( d )=A( f )=A( a )=A( b )=A( c )=1；D3与Z2群1，-1同态，同态核为, 故有一维非恒等表示为：A2( e )=A2( d )=A2( f )=1，A2( a )=A2( b )=A2( c ) = 1由12+12+=6知S3=2，即还有一个二维不等价不可约表示。利用特征标的正交关系可以求出特征标表：由第二正交定理：第一，二列正交：11 + 11 + 2(d)=0 ，得 (d) = 1第一，三列正交：11 + 1（1）+ 2(a)=0 ，得 ( a ) = 0可以验证行之间满足正交。以xy平面为表示空间，以i , j为基，可得D3的二维表示：， ，。可以验证上述表示是不可约表示。 2. 7 新表示的构成由前述理论知，用群的不等价不可约表示以任意的方式做直和可以构成群的新表示。同样群的新表示还可以直积的方式构成。【定义2.25】 （群表示的直积）设群G有两个表示A和B，作表示矩阵A(g)和B(g)的直积：集合C= C(g) 称为群表示A和B的直积。若A为mm矩阵，B为nn矩阵，则C为mnmn矩阵。采用双指标可以用A和B的矩阵元表示出C的矩阵元：定理2.11 群表示的直积构成群的一个新表示。证明：故C也是群的表示，称为A和B的张量积表示。系1 C的的特征标：。系2 C表示特征标的内积：，它不一定等于1，故C一般是可约表示。系3 直积表示的表示空间是表示A和B的表示空间VA和VB的直积，直积空间的基底为空间VA的基底和VB的基底的所有组合。变换关系为：系4 在量子力学中，当所考虑的体系包含多个全同粒子时，就需要取同一个群的两个表示做直积。如，氦原子这样的双电子原子中，若单电子的波函数按群的不可约表示变换，则两个电子的体系的波函数将按此群的直积表示变换（忽略电子间相互作用）。定理2.12 （直积群的表示）设群的直积，A、B分别是群G1、G2的表示，令C(g1g2) = A(g1)B(g2)，则C构成直积群G的表示。证明：，有：保持了群的运算结构不变，C为群G的表示。系1 C的特征标：系2 C的特征标的内积：设当A、B分别为G1、G2的不可约表示时，C=AB也是G=G1G2的不可约表示。系3 直积群共轭类由