定积分的定义.doc

第六章 定积分6.1 定积分的定义一、曲边梯形的面积 从几何的角度，利用曲线的切线斜率可引出导数.现在通过计算曲线所围的平面图形的面积可引出定积分。已给连续曲线,(假定)，问S=?求S的程序是：1.用分点，将分成n个小区间,长度分别为 .2.在每个小区间上任取一点,则（以直代曲） 3、令.当分点数n无限增大，且时，总和的极限就定义为曲边梯形的面积，即,其中称为函数在区间上的积分和。而把的极限值称为在上的定积分 。记为 .例 计算抛物线,直线和轴所围成的曲边梯形OAB的面积S。解：用均匀分点 将区间分成n个相等的小区间，每个小区间的长都等于。而每个小阴影矩形的面积总和为： =此是曲边梯形OAB的面积的近似值。分点愈多（n愈大），则近似愈好。从近似到精确值，只须取极限：把处理此问题的数学思维方法加以概括抽象，便有定积分定义。定义：设函数在上有定义。用分点 将任意分成n个小区间，每个小区间的长度为 记，在每个小区间上任取一点，作乘积。其和 称为在上的积分和。令，若积分和有极限（且与分法以及的取法无关），则极限值称为在的定积分，记 其中称为积分号，b,a称为定积分的上限，下限，称为积分区间。如果在上的定积分存在，则称在上可积。 定积分是作为和式的极限，是解决“求总量问题”的数学模型。这种和式极限方法是通过“化整为零”,在足够小的局部范围内用初等数学方法求出部分分量的近似值（以直代曲）。只有当对总量S无限细分，即当 时，总量S的近似值（）才能转化为总量的精确值（这是辩证法的运用）。 反过来，有了定积分的概念，曲边梯形的面积 A= () 若，则，此时曲边梯形的面积A即=-A. 所以当时，定积分的几何意义是：它等于曲边梯形的面积A加上一个负号。注意：定积分是一个数，它取决于被积函数以及积分的上、下限。而与积分变量采用什么字母无关，即=为运算方便，规定：当 =-当，=0。如下三类函数都是可积的：定理1：若，则在上可积。定理2：若在闭区间上只有有限个不连续点，则在上可积，即分段连续函数是可积的。定理3：若在闭区间上是单调有界的，则在上可积。 6.2 定积分的基本性质性质1（定积分的线性性质），若，则其中，为任意常数。（用定义可证）性质2（定积分对区间的可加性）由此可知下图中及直线与轴所围的平面图形的面积 例1 例2 =性质3 若，则 事实上， =所以 例 求极限 所以 性质4 若，则有 ，证 性质5 若在，则 证： 性质5的几何意义：性质6 若在上可积，则在上也可积，且*性质7（积分中值定理）若， 则至少存在一点，使 证 由性质5可知 其中 ， 所以，由连续函数的介值定理有 即 积分中值定理的几何意义是右图所示。叫做上的平均值。例 判断 的符号。 解 6.3 微积分基本公式定理1（微积分基本公式）设，是的一个原函数（即），则有(1)此公式也叫牛顿-莱布尼兹公式例如 问 的一个原函数为，则由公式(1)有公式（1）的证明：当 表示曲边梯形ABCD的面积。任取 ，则曲边梯形的面积是的函数，若记为则为区分积分上限与积分变量的不同，记是积分上限的函数，而= 而 （积分中值定理）= 于是，我们有如下结论： 结论1 对积分的上限求导等于被积函数在上限的值。结论2 是的一个原函数（此结论称为原函数存在定理），而的任意两个原函数与间有关系.于是. 由的定义，有.为书写方便，常记作 或 例3 求 。 解 =例5 例6 此解法是错误的， 在-1，1上不连续，且在处变无穷。*例7 =*例8 设实数满足，试证方程，在（0，1）间至少有一实根。证： 设=，则 = =由积分中值定理知，存在，使得 ，即在（0，1）间有实根。例9 *例10 *例11 设时，连续，且 ，求 解 两边对求导 () *例12 设 （），试求的极值点。 解 = =令 ，得驻点 又 故知为的极大值点。为的极小值点。*例13 求极限 *例14 求积分 所以= =*例15（用积分中值定理）计算。 解法一 当时，有 故 解法二 （若用积分不等式更简单） *例16 求 解法一其中在0与之间。解法二 用洛必达法则 =*例17 求解 = = （或说 ） 原式极限为0。*例18 求 ，其中是连续函数。解* 例19 设在上可微，且，证明：在内至少存在一点，使证 令，则在上可微，由积分中值定理得 ，又上满足罗尔定理条件，故存在一点，使，即 ，亦即.*例20 设，求.解*例21 设 ，求.解 =*例22 设，求. 解 = = =*例23 设是连续函数，且 求 解 代入原式有即 ，故 6.4定积分的换元法设函数，令，如果（1）在区间上有连续的导数；（2）当从变到时，从单调地变到.则有 , 换元要换限*例1 解