高三函数压轴大题带答案

书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 1 y 1 x y a O 1 2 x 41 4 a y 2 yxxa 高考函数压轴大题高考函数压轴大题 宋苗珂整理 1 已知函数 lg 010 1 6 10 2 xx f x xx 若 a b c 互不相等 且 f af bf c 则 abc的取值范围是 A 1 10 B 5 6 C 10 12 D 20 24 答案 C 2 直线 1y 与曲线 2 yxxa 有四个交点 则a的取值范围是 答案 1 5 4 命题意图 本小题主要考查函数的图像与性质 不等式的解法 着重考查了数形结合的数 学思想 解析 如图 在同一直角坐标系内画出直线 1y 与曲线 2 yxxa 观图可知 a 的取值必须满足 1 41 1 4 a a 解得 5 1 4 a 3 定义域和值域均为 常数 的函数和的图像如图所示 aa 0 a xfy xgy 给出下列四个命题 1 方程有且仅有三个解 0 xgf 2 方程有且仅有三个解 0 xfg 3 方程有且仅有九个解 0 xff 4 方程有且仅有一个解 0 xgg 那么 其中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 2 1 已知函数 55 5 x xf m为正整数 ks5u 求 0 1 ff 和 1 xfxf 的值 若数列 n a的通项公式为 m n fan mn 2 1 求数列 n a的前m项和 m S 设数列 n b满足 2 1 1 b nnn bbb 2 1 设 1 1 1 1 1 1 21 n n bbb T 若 中的 m S满足对任意不小于 3 的正整数 n 57774 nm TS恒成立 试求 m 的最大值 ks5u 解 51 5 55 5 0 1 ff 1 1 xfxf 55 5 55 5 1 xx x x x 555 55 55 5 1 分 由 得 11 1 1 mk m k f m k f 即 1 1 kmk aa m km f m k f 由 m1m321m aaaaaS 得 aaaaaS m13m2m1mm 由 得 21 1 2 mm amS 4 55 2 1 1 1 2 1 1 mfmSm 10 分 2 1 1 b 1b bbbb nnn 2 n1n 对任意的0 n bNn 1b 1 b 1 1b b 1 b 1 nnnn1n 即 1nnn b 1 b 1 1b 1 11113221 1 2 11 11 11 11 nnnn n bbbbbbbbb T 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 3 bb 0bbb n1n 2 nn1n 数列 b n 是单调递增数列 n T关于 n 递增 当3 n 且 Nn时 3 TTn 256 777 1 16 21 16 21 16 21 1 4 3 4 3 4 3 1 2 1 2 1 2 1 4321 bbbb 777 256 2 1 2 4 3 b TTn 57774 3 TSm 5 650 m 而m为正整数 m的最大值为 650 16 分 2 已知函数是奇函数 1 log 1 a mx f x x 0 1 1 aam 1 求实数的值 2 判断函数在上的单调性 并给出证明 m f x 1 3 当时 函数的值域是 求实数与的值 2 xn a f x 1 an 解 1 由已知条件得 对定义域中的均成立 0fxf x x 11 loglog0 11 aa mxmx xx 即 对定义域中的均成立 1 1 1 11 mxmx xx 222 11m xx x 即 舍去 或 2 1m 1m 1m 2 由 1 得 设 1 log 1 a x f x x 1122 1 111 xx t xxx 当时 12 1xx 21 12 1212 2 22 11 1 1 xx tt xxxx 当时 即 12 tt 1a 12 loglog aa tt 12 f xf x 当时 在上是减函数 1a f x 1 同理当时 在上是增函数 3 函数的定义域为01a f x 1 f x 在为增函数 1 1 21na 01a f x 2 n a 要使值域为 1 3 已知函数 当时 恒有 2 lg 1 0 x f xf axb 0 x 1 lgf xfx x 1 求的表达式 f x 2 设不等式的解集为 A 且 求实数 的取值范围 lgf xt 0 4 A t 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 4 3 若方程的解集为 求实数的取值范围 lg 8 f xxm m 解 1 当时 恒成立 0 x 1 lgf xfx x 即恒成立 分 22 lglglg x x axbbxa 2 0ab xab x ab 2 又 即 从而 分 1 0f 2ab 2 1 lg 1 x abf x x 4 2 由不等式 lgf xt 即且 分 2 2 lglg0 11 xt xt t xx 2 0 1 x x 6 由于解集 故 分 0 4 A 02t 7 所以 即 分 0 0 4 2 t A t 8 4 25 t t t 8 又因为 所以实数 的取值范围是 分02t t 8 0 5 10 3 解法一 由分 2 lglg 8 1 x xm x 2 2 8 8 6 0 1 210 0 1 x xm xm xm x xxx x 或 12 方程的解集为 故有两种情况 方程无解 即 得 分 2 8 6 0 xm xm 0 218m 14 方程有解 两根均在内 2 8 6 0 xm xm 1 0 2 8 6 g xxm xm 则 分 0 1 0 0 0 6 10 16 g g m 218 02 610 mm m m 或 17 综合 得实数的取值范围是 分m018m 18 3 解法二 若方程有解 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 5 则由分 2 lglg 8 1 x xm x 2 28 8 1 1 2 100 1 x xxm mx x x x xx x 或 12 由 22 810 8 1 11 x g xxx xx 当则 1 x 2 1028 1 18 1 g xx x 当且仅当时取到 18 当 则是减函数 所以 3 2 x 0 x g x 0 0g xg 即在上的值域为 g x 1 0 0 18 故当方程无解时 的取值范围是 m 0 18 4 已知函数 函数的图像与函数 log1 a f xx 1a xg 33 24 x ya 的图像关于直线对称 1a xy 1 求函数的解析式 xg 2 若函数在区间上的值域为 xg 3 2 m nm npmp aa 3log 3log 求实数的取值范围 p 3 设函数 试用列举法表示集合 xgxf axF 1a ZxFxM 1 由得 由已知可得 1 4 3 2 3 aay x2 333 422 x ayy 4 分 2 333 log 242 a g xxx 2 在上是单调递增的 又 2 33 24 yx 3 2 x 1a 或设则 2 3 21 xx 3 0 2121 xxxx 22 11221212 333330 xxxxxxxx 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 6 22 1122 3333xxxx 22 1122 1 log33log33 aa axxxx 所以函数在区间上为增函数 因此 6 分 xg 3 2 m nm 3log33log 3log33log 22 npnnngmpmmmg aaaa 即 2 3 333 333 22 nmnpnnmpmm 所以 m n 是方程的两个相异的解 8 分 2 3 333 2 xxpxx 设 则 10 分 2 63h xxxp 364 3 0 393 630 242 3 3 2 p hp 所以为所求 12 分 4 15 6 p 另解 由 可转化为函数 图像与函 2 3 36 2 xxxp 2 3 36 2 xxxy 数的图像有两个交点问题 数形结合求得 py 4 15 6 p 3 14 分 2 log1log33 2 13 332 aa xxx f xg x x F xaax xx 当且仅当时等号成立 5725 1 7 1 x x17 x 16 分 3 572 0 5 1 7 1 1 33 1 2 x x xx x 有可能取的整数有且只有 1 2 3 4 3 572 3 xF 当时 解得 舍去 1 33 1 2 xx x 22 22 xx 当时 解得 舍去 2 33 1 2 xx x 1 2 5 xx 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 7 当时 解得 舍去 故集合 18 分 3 33 1 2 xx x 3 4 2 xx 22 2 5 2M 5 已知函数 0 t x t xxf和点 0 1 P 过点P作曲线 xfy 的两条切线PM PN 切点分别为M N 设 tgMN 试求函数 tg的表达式 是否存在t 使得M N与 1 0 A三点共线 若存在 求出t的值 若不存在 请说明理由 在 的条件下 若对任意的正整数n 在区间 64 2 n n 内总存在1 m个实 数 m aaa 21 1 m a 使得不等式 121 mm agagagag 成立 求m的最 大值 解 设M N两点的横坐标分别为 1 x 2 x 2 1 x t xf 切线PM的方程为 1 1 2 1 1 1 xx x t x t xy 又 切线PM过点 0 1 P 有 1 1 0 1 2 1 1 1 x x t x t x 即02 1 2 1 ttxx 1 2 分 同理 由切线PN也过点 0 1 P 得02 2 2 2 ttxx 2 由 1 2 可得 21 x x是方程02 2 ttxx的两根 2 21 21 txx txx 4 分 2 2 2 1 1 2 21 x t x x t xxxMN 1 1 2 21 2 21 xx t xx 1 1 4 2 21 21 2 21 xx t xxxx 把 式代入 得ttMN2020 2 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 8 因此 函数 tg的表达式为 0 2020 2 ttttg 5 分 当点M N与A共线时 NAMA kk 0 1 1 1 1 x x t x 0 1 2 2 2 x x t x 即 2 1 1 2 1 x xtx 2 2 2 2 2 x xtx 化简 得0 211212 xxxxtxx 21 xx 1212 xxxxt 3 7 分 把 式代入 3 解得 2 1 t 存在t 使得点M N与A三点共线 且 2 1 t 9 分 解法1 易知 tg在区间 64 2 n n 上为增函数 64 2 n ngagg i 1 2 1 mi 则 64 2 21 n ngmagagaggm m 依题意 不等式 64 2 n nggm 对一切的正整数n恒成立 11 分 64 20 n 64 20 n 220220 22 n nm 即 64 n 64 n 6 1 2 n nm 对一切的正整数n恒成立 16 64 n n 3 136 1616 6 1 64 n 64 n 6 1 22 n n 3 136 m 由于m为正整数 6 m 13 分 又当6 m时 存在2 21 m aaa 16 1 m a 对所有的n满足条件 因此 m的最大值为6 14 分 解法2 依题意 当区间 64 2 n n 的长度最小时 得到的m最大值 即是所求 值 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 9 16 64 n n 长度最小的区间为 16 2 11 分 当 16 2 i a 1 2 1 mi 时 与解法1相同分析 得 16 2 ggm 解得 3 136 m 6 设函数 f x 是定义域在 0 上的单调函数 且对于任意正数 x y 有 f xyf xf y 已知 2 1f 1 求 1 2 f 的值 2 一个各项均为正数的数列 n a 满足 1 1 nnn f Sf af anN 其中 n S 是数列 n a 的前 n 项的和 求数列 n a 的通项公式 3 在 2 的条件下 是否存在正数M 使 12 2n n a aa 1 21 21 Mna 2 21 a 21 n a 对一切 nN 成立 若存在 求出 M 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 f xyf xf y 令 1xy 有 1 1 1 2 1 ffff 1 0f 再令 1 2 2 xy 有 1 1 2 2 fff 1 1 2 0 11 2 fff 1 1 2 f 2 1 1 nnn f Sf af a 11 1 1 22 nnnn f a affa a 又 f x 是定义域 0 上单调函数 0 n S 1 1 0 2 nn a a 1 1 2 nnn Sa a 当 1n 时 由 111 1 1 2 Sa a 得 1 1a 当 2n 时 111 1 1 2 nnn Saa 由 得 111 11 1 1 22 nnnnnnn SSa aaaa 化简 得 22 11 0 nnnn aaaa 11 1 0 nnnn aaaa 0 n a 1 10 nn aa 即 1 1 nn aa 数列 n a 为等差数列 1 1a 公差 1d 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 10 1 1 1 1 1 n aandnn 故 n an 3 12 221 22 nnn n a aann 12 21 21 21 1 3 21 n aaan 令 12 12 2 21 21 21 21 n n n n a aa b naaa 2 21 1 3 21 n n nn 而 1 1 2 1 23 1 3 21 21 n n n b nnn 1 2 1 21 21 23 n n bnn bnn 2 1 21 23 n nn 2 2 484 1 483 nn nn 1nn bb 数列 n b 为单调递增函数 由题意 n Mb 恒成立 则只需 min n Mb 1 2 3 b 2 3 0 3 M 存在正数M 使所给定的不等式恒成立 M的取值范围为 2 3 0 3 13 分 7 已知定义在上的函数满足 R f x 1 值域为 且当时 1 1 0 x 10f x 2 对于定义域内任意的实数 均满足 1 f mf n f mn f m f n x y 试回答下列问题 试求的值 0f 判断并证明函数 f x的单调性 若函数 f x存在反函数 求证 g x 2 1111 511312 gggg nn 分析与解 在中 令 则 1 f mf n f mn f m f n 0 0mn 有 即 也即 0 10 f mf f m f m f 100f mf m ff mf 2 010ff m 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 11 由于函数的值域为 所以 所以 f x 1 1 2 10f m 00f 函数 f x的单调性必然涉及到 于是 由已知 f xfy 我们可以联想到 是否有 1 f mf n f mn f m f n 1 f mf n f mn f m f n 这个问题实际上是 是否成立 fnf n 为此 我们首先考虑函数的奇偶性 也即的关系 由于 f x fxf x 与 00f 所以 在中 令 得 所以 函 1 f mf n f mn f m f n nm 0f mfm 数为奇函数 故 式成立 所以 f x 任取 且 则 1f mf nf mnf m f n 12 x xR 12 xx 21 0 xx 故且 所以 21 0f xx 21 1 1f xf x 所以 函数在 R 上单调递 212121 10f xf xf xxf xf x f x 减 由于函数在 R 上单调递减 f x 所以 函数必存在反函数 f x g x 由原函数与反函数的关系可知 也为奇函数 在上单调递减 且当 g x g x 1 1 时 10 x 0g x 为了证明本题 需要考虑的关系式 g x 在 式的两端 同时用作用 得 g 1 f mf n mng f m f n 令 则 则上式可改写为 f mx f ny mg xng y 1 xy g xg yg xy 不难验证 对于任意的 上式都成立 根据一一对应 1 1x y 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 12 这样 我们就得到了的关系式 g x 这个式子给我们以提示 即可以将写成的形式 则可通过裂项相消的方 2 1 31nn 1 xy xy 法化简求证式的左端 事实上 由于 2 1 11 1211 12 111 31121 11 1212 nn nn nnnn nnnn 所以 2 111 3112 ggg nnnn 所以 2 111 51131 ggg nn 111111 233412 11111 22222 gggggg nn ggggg nn 点评 一般来说 涉及函数奇偶性的问题 首先应该确定的值 0f 8 设函数的定义域为全体 R 当 xb c 1 且 a b c 成等差数列 求证 2 bfcfaf 3 本小题只理科做 若 f x 单调递增 且 m n 0 时 有 求证 2 2 nm fnfmf 322m 解 1 取 x 1 q 2 有 若存在另一个实根 使得的一个根 是即0 10 1 2 1 2 xffff1 0 x 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 15 0 0 0 0 0101111 xqfxfqxxxxxf q 有成立 且对任意的 10 0 0 10 xxfxfxf有且只有一个实根与条件矛盾 恒成立 2 21 1 qq bcbacba 不妨设 则0 又 a c 2b q 1 2 0q 2 21 21 bfqqbfbfcfaf qq ac b 2 2 0 4 ac 即 ac b 2 12 2 2 12 1221 02 1 2 qq qq bbqqq q 2 bfcfaf 3 0 1 0 1 0 0 0 1 xfxxfxxff时 当时单调递增 当在 又 0 nfmfnmnfmfnfmfnfmf 令 m b n b且 q 1 q 2 q b 1 0 21 q 则 f m f n qf b f mn 0且 21 q 2 2 10 1 2 nm fmfmnmn 2 2 2 2 1 2 1 nm fmf nm fmfmn nm m 2 2 nm m 即 4m 由 0 n 1 得 22 2nmnm 22 24nmm 1240 2 mm1 m 223 m 10 设 1 1 x x a f x a 0a 且1a g x 是 f x 的反函数 设关于x的方程求 2 17 a t logg x x x 在区间 2 6 上有实数解 求 t 的 取值范围 当 a e e 为自然对数的底数 时 证明 2 2 2 21 n k nn g k n n 当 0 a 时 试比较 1 n k f k n 与 4 的大小 并说明理由 1 2 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 16 解 1 由题意 得 ax 1 1 y y 0 故 g x 1 log 1 a x x x 1 1 由 2 1 loglog 1 7 1 aa tx xxx 得 t x 1 2 7 x x 2 6 则 t 3x2 18x 15 3 x 1 x 5 列表如下 x2 2 5 5 5 6 6 t 0 t5 极大值 32 25 所以 t最小值 5 t最大值 32 所以 t 的取值范围为 5 32 5 分 2 2 1231 lnlnlnln 3451 n k n g k n ln 1231 3451 n n ln 1 2 n n 令 u z lnz2 2 1z z 2lnz z 1 z z 0 则 u z 2 21 1 zz 1 1 z 2 0 所以 u z 在 0 上是增函数 又因为 1 2 n n 1 0 所以 u 1 2 n n u 1 0 即 ln 1 1 2 2 1 1 2 n n n nn n 0 即 2 2 2 2 1 n k nn g k n n 9 分 3 设 a 1 1p 则 p 1 1 f 1 12 1 1 a ap 3 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 学海无涯苦作舟 17 当 n 1 时 f 1 1 2 p 2 4 当 n 2 时 设 k 2 k N 时 则 f k 1 12 1 1 1 1 1 k kk p pp 1 122 2 kk kkk C pC pC p 所以 1 f k 1 12 2444 11 1 1 kk CCk kkk 从而 n 1 2 n k f k